蘇 勇 范東明 黃 強(qiáng)

(西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，成都 611756)

GOCE梯度數(shù)據(jù)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換及誤差分析*

蘇 勇 范東明 黃 強(qiáng)

(西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，成都 611756)

分析逐點(diǎn)旋轉(zhuǎn)法模型轉(zhuǎn)換過(guò)程中誤差對(duì)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響，給出了梯度張量的轉(zhuǎn)換策略。處理結(jié)果表明，GOCE的姿態(tài)誤差滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求，但GOCE梯度張量觀測(cè)數(shù)據(jù)質(zhì)量非常差，包含大量的低頻有色噪聲，在轉(zhuǎn)換前需要對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，且采用“移去-恢復(fù)”方法能顯著提高梯度數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換精度。

GOCE衛(wèi)星;引力梯度;梯度張量轉(zhuǎn)換;逐點(diǎn)旋轉(zhuǎn)法;誤差分析

目前，有多個(gè)機(jī)構(gòu)正致力于利用GOCE觀測(cè)數(shù)據(jù)恢復(fù)地球重力場(chǎng)［1－3］。于錦海等［4－5］采用張量不變量法反演得到了相應(yīng)的GOCE重力場(chǎng)模型。利用張量不變量法解算地球重力場(chǎng)模型對(duì)梯度數(shù)據(jù)所在的坐標(biāo)系沒(méi)有要求，研究的主要對(duì)象是梯度張量的不變量，從理論上講不需要考慮梯度數(shù)據(jù)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問(wèn)題。但由于GOCE衛(wèi)星梯度儀設(shè)計(jì)的原因，GOCE 只能有效給出 VXX、VYY、VZZ、VXZ四個(gè)高精度的梯度分量，而無(wú)法有效給出VXY、VYZ兩個(gè)低精度的梯度分量，因此GOCE任務(wù)無(wú)法獲取全張量梯度數(shù)據(jù)。一個(gè)直觀簡(jiǎn)單的解決辦法是利用已有重力場(chǎng)模型模擬兩個(gè)低精度的梯度分量，并替換掉觀測(cè)值。但問(wèn)題是，無(wú)法直接模擬梯度儀坐標(biāo)系GRF中的梯度分量，需要將模擬的其他坐標(biāo)系中的梯度分量轉(zhuǎn)換到GRF中，梯度張量數(shù)據(jù)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換問(wèn)題無(wú)法回避。同時(shí)，文獻(xiàn)［4，6］的研究結(jié)果表明，張量不變量法對(duì)衛(wèi)星的姿態(tài)控制還是有要求的。文獻(xiàn)［7－12］的研究結(jié)果表明，逐點(diǎn)旋轉(zhuǎn)法的轉(zhuǎn)換效果要優(yōu)于最小二乘配置法。

利用梯度數(shù)據(jù)反演地球重力場(chǎng)模型一般有兩種策略［13］:1)觀測(cè)數(shù)據(jù)適應(yīng)函數(shù)模型，將GRF中的梯度數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到其他所需的坐標(biāo)系中;2)函數(shù)模型適應(yīng)觀測(cè)數(shù)據(jù)，將函數(shù)模型轉(zhuǎn)換到觀測(cè)數(shù)據(jù)所在的坐標(biāo)系中。由于重力場(chǎng)位系數(shù)大多數(shù)情況下是在ERF、IRF或LNOF中解算得到的，但GOCE獲取的是GRF中的梯度數(shù)據(jù)，因此GOCE衛(wèi)星梯度數(shù)據(jù)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換就顯得很有必要。本文將主要研究梯度數(shù)據(jù)或函數(shù)模型在各個(gè)坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)換的逐點(diǎn)旋轉(zhuǎn)法。

1 逐點(diǎn)旋轉(zhuǎn)法模型

利用逐點(diǎn)旋轉(zhuǎn)法將梯度張量由一個(gè)直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一個(gè)直角坐標(biāo)系的廣義函數(shù)模型為［9－10，14－15］:

其中φ、λ分別為衛(wèi)星質(zhì)量中心的瞬時(shí)經(jīng)緯度。

其中 r=(x，y，z)，v=(vx，vy，vz)。由此得梯度張量在各個(gè)坐標(biāo)系中的廣義轉(zhuǎn)換模型為:

2 衛(wèi)星姿態(tài)誤差分析

由于衛(wèi)星采用磁力矩器控制其飛行姿態(tài)，受地球磁場(chǎng)的影響，GRF和LORF兩個(gè)坐標(biāo)系之間存在旋轉(zhuǎn)。若令3個(gè)旋轉(zhuǎn)角φ為翻滾角，θ為俯仰角，Ψ為偏航角，則:

分析發(fā)現(xiàn)，采用磁力矩器控制衛(wèi)星姿態(tài)時(shí)，衛(wèi)星的姿態(tài)會(huì)出現(xiàn)微小的偏差(偏差反映為3個(gè)歐拉角的變化，但最大值不會(huì)超過(guò) ±4°［16］)，同時(shí)反映出GRF和LORF兩種坐標(biāo)系極為相近。

假設(shè)衛(wèi)星空間位置在經(jīng)緯度方向的誤差分別為Δλ、Δφ，忽略非線(xiàn)性項(xiàng) ΔλΔφ，得 ERF 與 LNOF 之間的轉(zhuǎn)換矩陣為:

以GOCE衛(wèi)星為例，假設(shè)衛(wèi)星的定位精度為10 cm，造成經(jīng)緯度差異的量級(jí)約為10－8～10－9rad，則ERF與LNOF之間轉(zhuǎn)換矩陣的精度只能達(dá)到10－8～10－9量級(jí)。假設(shè)衛(wèi)星的定位精度為5 cm，造成經(jīng)緯度差異的量級(jí)約為 10－9～10－10rad，則 ERF 與LNOF之間轉(zhuǎn)換矩陣的精度只能達(dá)到10－9～10－10量級(jí)。由此可見(jiàn)，ERF與LNOF之間轉(zhuǎn)換精度的高低直接取決于衛(wèi)星軌道坐標(biāo)的精度。若衛(wèi)星的定位精度為5～10 cm，可以保證引力梯度在ERF和LNOF之間的轉(zhuǎn)換精度達(dá)到10－13～10－14s－2量級(jí)。

若兩個(gè)直角坐標(biāo)系的歐拉旋轉(zhuǎn)角為ξ={α，β，γ}，則式(1)中的轉(zhuǎn)換矩陣R為:

由于歐拉旋轉(zhuǎn)角ξ一般較小，近似取sinξ≈ξ，cosξ≈1，并忽略非線(xiàn)性項(xiàng)，得:

將式(12)代入式(2)，并忽略非線(xiàn)性項(xiàng)，化簡(jiǎn)后可得:

根據(jù)誤差傳播定律，由式(13)得梯度張量各分量的誤差傳播公式為(這里僅給出主對(duì)角線(xiàn)的3個(gè)分量，其余可類(lèi)似得到):

可以推知，當(dāng)姿態(tài)角誤差分別為10、20、50角秒時(shí)，對(duì)主對(duì)角線(xiàn)三個(gè)梯度分量會(huì)造成1×10－12、2×10－12、5 ×10－12s－2的誤差［6］。因此，對(duì)于精度達(dá)到3×10－12s－2左右的GOCE梯度觀測(cè)值而言，衛(wèi)星的姿態(tài)控制誤差是不能忽略的。

由于SST-PSO-2數(shù)據(jù)中的歷元和EGG-NOM-2數(shù)據(jù)中的歷元時(shí)刻不一樣，為了對(duì)EGG-NOM-2中的梯度數(shù)據(jù)進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，將SST-PSO-2中的數(shù)據(jù)內(nèi)插到與EGG-NOM-2中的歷元相對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，利用內(nèi)插后得到的ERF與IRF轉(zhuǎn)換四元素可以得到將梯度數(shù)據(jù)從ERF轉(zhuǎn)換到IRF的轉(zhuǎn)換矩陣，同時(shí)將其與IERS網(wǎng)站上計(jì)算得到的ERF轉(zhuǎn)換到IRF的轉(zhuǎn)換矩陣進(jìn)行比較。由圖1可知，利用SST-PSO-2數(shù)據(jù)中的四元素計(jì)算得到的ERF到IRF轉(zhuǎn)換矩陣的精度達(dá)到了10－10左右的量級(jí)，可以保證引力梯度在ERF和IRF之間的轉(zhuǎn)換精度達(dá)到10－14～10－15s－2量級(jí)，完全滿(mǎn)足GOCE梯度測(cè)量的要求。

圖1 ERF到IRF轉(zhuǎn)換矩陣與IERS計(jì)算值之差Fig.1 Conversion matrix from ERF to IRF and differences between IRF values and IERS values

3 梯度張量的轉(zhuǎn)換策略

利用2009-11-02一天的GOCE幾何學(xué)軌道數(shù)據(jù)，采用EIGEN-5C模型(前300階)和GO_CONS_GCF_2_DIR_R3模型(240階)分別模擬在ERF和IRF中的梯度張量，前者模擬值作為真實(shí)值，后者模擬值作為參考值。按照?qǐng)D2的流程分別采用直接逐點(diǎn)旋轉(zhuǎn)法和“移去-恢復(fù)”逐點(diǎn)旋轉(zhuǎn)法將ERF中的梯度數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換至IRF中，并與模擬的IRF中的梯度值進(jìn)行比較(圖3)?？梢钥闯觯捎趨⒖贾亓?chǎng)模型的差異，模擬的參考值和真實(shí)值之間的差值在10－12量級(jí)(圖3(a));無(wú)論是采用直接法(圖3(b))還是“移去-恢復(fù)”法(圖3(c))，轉(zhuǎn)換后的精度均比原始模擬值的精度低，這是由于轉(zhuǎn)換矩陣存在誤差。但采用“移去-恢復(fù)”法進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的精度要比直接旋轉(zhuǎn)的精度高一個(gè)量級(jí)以上，非常接近原始模擬值，可以認(rèn)為其主要受轉(zhuǎn)換矩陣精度的影響(即星載恒星敏感器的精度限制)。

圖2 “移去-恢復(fù)”法旋轉(zhuǎn)流程示意圖Fig.2 Schematic diagram of rotation gradients with the“remove-restore”method

圖3 逐點(diǎn)旋轉(zhuǎn)法的精度Fig.3 Accuracy of pointwise rotation

本文采用的數(shù)據(jù)為EGG-NOM-2、EGG-TRF-2和SST-PSO-2，選擇的參考重力場(chǎng)模型為GO_CONS_GCF_2_DIR_R3。具體數(shù)據(jù)處理流程為:首先獲取EGG-NOM-2中每個(gè)歷元對(duì)應(yīng)時(shí)刻的衛(wèi)星位置，以EGG-NOM-2中的歷元時(shí)間為參考(由于EGG-TRF-2數(shù)據(jù)是EGG-NOM-2數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步處理得到的，因此兩者歷元時(shí)間一樣)，將SST-PSO-2中的軌道數(shù)據(jù)和姿態(tài)數(shù)據(jù)內(nèi)插至與EGG-NOM-2對(duì)應(yīng)的各個(gè)歷元。然后沿軌模擬 ERF(或IRF)中的梯度值［16－19］，將模擬的梯度張量轉(zhuǎn)換至GRF中作為參考引力梯度張量，替換掉兩個(gè)低精度的觀測(cè)分量VXY、VYZ，同時(shí)得到其他分量的擾動(dòng)引力梯度值。對(duì)其他觀測(cè)分量的擾動(dòng)引力梯度值進(jìn)行帶通濾波，再加上參考引力梯度張量，得到濾波后GRF中的引力梯度張量值。

4 結(jié)語(yǔ)

本文給出了梯度張量在不同坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)換的逐點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型，并分析了各種誤差對(duì)梯度張量轉(zhuǎn)換的影響，引入“移去-恢復(fù)”方法對(duì)梯度張量進(jìn)行轉(zhuǎn)換?！耙迫?恢復(fù)”方法是利用重力場(chǎng)頻譜的可疊加特性，由于GOCE實(shí)測(cè)梯度數(shù)據(jù)含有大量的低頻有色噪聲，利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)減去高精度先驗(yàn)重力場(chǎng)模型的模擬值，可以有效削弱低頻誤差的影響，因此“移去-恢復(fù)”方法的轉(zhuǎn)換誤差要比直接轉(zhuǎn)換的誤差小。實(shí)際處理結(jié)果表明，GOCE的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣的誤差對(duì)梯度張量轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響不會(huì)超過(guò)測(cè)量帶寬內(nèi)的精度，對(duì)原始梯度張量觀測(cè)值進(jìn)行濾波處理是必須的，采用“移去-恢復(fù)”方法能顯著提高梯度數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換精度。

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致謝 感謝歐空局(ESA)提供GOCE觀測(cè)數(shù)據(jù)。

COORDINATE SYSTEM CONVERSION OF GOCE GRADIENTS DATA AND ERROR ANALYSIS

Su Yong，F(xiàn)an Dongming and Huang Qiang
(Faculty of Geoscience and Environment Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 611756)

The gravitational gradients along the orbit observed by GOCE satellite is given in the gradiometer coordinate system(GRF)while the Earth’s gravity field model from gradients is generally in non-instrument coordinate system.Due to GOCE can not measure full tensor gradient efficiently，it is necessary to replace VXY、VYZas model values and to converse coordinate system of gradient.Therefore，in the rotation process，the error of the gradients data and the error of the rotation matrix have be taken into account.A pointwise rotation model of gradients in various coordinate systems and analysis the impact of various errors in conversion process of gradients were described，and gradients tensor rotation strategy is discussed simultaneously.Actual processing results show that the attitude error of the GOCE meets the design requirements，but the quality of GOCE gradients tensor，is not good for containing a large number of low-frequency colored noises，which needs to filter before conversion.In addition，“remove-restore”method can significantly improve the accuracy.

GOCE satellite;gravitational gradient;tensor rotation;point-wise rotation;error analysis

P223.0

A

1671-5942(2014)03-0151-04

2013-09-26

高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金項(xiàng)目(2012018412006);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金項(xiàng)目(SWJTU10ZT02，SWJTU12BR012);西南交通大學(xué)博士研究生創(chuàng)新基金項(xiàng)目。

蘇勇，男，1987年生，博士研究生，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星重力測(cè)量。E－mail:suyongme@foxmail.com。