姚婉若

所謂面積法就是利用幾何圖形中的邊、角與面積之間的關(guān)系，運(yùn)用代數(shù)手段完成幾何中的推理過程的方法.用面積法一般可不添或少添輔助線，證法簡潔，易于接受和掌握.可以用來證明線段的數(shù)量關(guān)系、圖形的分割、求線段的比和面積等.在數(shù)學(xué)解題過程中，面積法有著廣泛的應(yīng)用.

應(yīng)用面積法解題的理論依據(jù)：①等積定理：兩個全等圖形的面積相等；等底等高的兩個三角形的面積相等；整個圖形的面積等于其各部分面積之和.②面積比定理：兩個三角形面積之比等于它們的底、高之積的比；等底（高）的兩個三角形面積之比等于它們的高（底）之比；相似三角形（多邊形）面積之比等于它們對應(yīng)邊的平方比.

在中學(xué)階段，面積法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種常用的解題方法，并且具有解題便捷快速、簡單易懂等特點(diǎn).現(xiàn)分類舉例如下，希望同學(xué)們在今后的做題中有所啟發(fā).

一、利用等面積解決有關(guān)圖形面積的分割

例：如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線.

（1）三角形有？搖 ？搖條面積等分線，平行四邊形有？搖 ？搖條面積等分線.

（2）如圖①所示，在矩形中剪去一個小正方形，請畫出這個圖形的一條面積等分線.

（3）如圖②所示，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB≠CD，且S■

圖① 圖②

分析：（1）讀懂面積等分線的定義，不難得出：一定是三角形的面積等分線的是三角形的中線所在的直線，所以有3條；對于平行四邊形，只要過它的兩條對角線的交點(diǎn)的直線都可以把平行四邊形的面積分成2個相等的部分，所以應(yīng)該有無數(shù)條.

（2）由（1）知，過矩形的兩條對角線的交點(diǎn)的直線都可以把矩形的面積分成2個相等的部分，所以圖①中過兩個矩形的對角線的交點(diǎn)的直線就是該圖形的一條面積等分線.

（3）能.過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E，連接AE.那么可以得到“△ABC和△AEC的公共邊AC上的高相等”，進(jìn)一步得到S■=S■，然后由“割補(bǔ)法”可以求得S■=S■+S■=S■+S■=S■，所以要畫出四邊形ABCD的面積等分線就轉(zhuǎn)化為畫出△AED的面積等分線.

解答：（1）三角形有3條面積等分線，平行四邊形有無數(shù)條面積等分線.

（2）如下圖①所示：連接2個矩形的對角線的交點(diǎn)的直線即把這個圖形分成2個相等的部分，即OO′為這個圖形的一條面積等分線.

（3）如下圖②所示.能，過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E，連接AE.

∵BE∥AC

∴根據(jù)同底等高可得S■=S■

∴S■=S■+S■=S■+S■=S■

∴面積等分線是△AED中DE邊上的中線

∵S■>S■

所以面積等分線必與CD相交，取DE中點(diǎn)F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線.

圖① 圖②

二、利用等面積解決有關(guān)圖形面積的計(jì)算

例：如圖，半圓的直徑AB=10，P為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C，D為半圓的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積.

分析：本題關(guān)鍵在于證得CD∥AB后就可根據(jù)“同底等高”得到S■=S■，然后由“割補(bǔ)法”得到S■=S■.

解：連接OC，OD，CD，

∵C、D是半圓三等分點(diǎn)

∴∠AOC=∠DOB=∠COD=60°

又OC=OD

∴△OCD是等邊三角形，

∴∠CDO=60°

∴∠CDO=∠DOB=60°

∴CD∥AB

∴根據(jù)同底等高可得S■=S■

∴S■=S■=■=■

∴S■=S■

點(diǎn)評：等面積法是數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛的一種重要方法，它所起的往往是解題過程中的過渡作用，這一思想要仔細(xì)體會.

三、利用等面積計(jì)算線段的長度

有的幾何問題，雖然沒有直接涉及面積，但若靈活地運(yùn)用面積知識解答，則往往會出奇制勝，事半功倍.

例：如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6、8，AE⊥BC，則AE的長是多少？

解：由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，OA=■AC=3，OB=■BD=4

在Rt△AOB中，AB=■=■=5

∴BC=AB=5

S■=■·BC·AE=■·AC·OB

∴5AE=6×4

∴AE=■

四、利用面積的可分性解題

用面積的可分性解題，一般要將圖形分成若干個小三角形，利用其整體性等于部分之和，建立關(guān)于條件和結(jié)論的關(guān)系式，從而方便快捷地解決問題.

例：如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E為對角線BD上的一點(diǎn)，且BE=BC，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，F(xiàn)M⊥BC于M，F(xiàn)N⊥BD于N，求出FM+FN的長.

圖（1）

解：如圖（1），過E點(diǎn)作EH⊥BC，垂足為H，連接BF

∵在Rt△BEH中BE=BC=3，∠EBH=45°

∴EH=■

∵S■+S■=S■

∴■BE×FN+■BC×FM=■BC×EH

∵BE=BC

∴FN+FM=EH=■

例：求證：等邊三角形內(nèi)任一點(diǎn)到各邊的距離的和是一個定值.

已知：△ABC中，AB=BC=AC，D是形內(nèi)任一點(diǎn)，DE⊥BC，DF⊥AC，DG⊥AB，E，F(xiàn)，G是垂足.求證：DE+DF+DG是一個定值.

證明：連接DA，DB，DC，設(shè)△ABC的邊長為a，高為h

∵S■=S■+S■+S■

∴■ah=■a（DE+DF+DG）

∴DE+DF+DG=h

∵等邊三角形的高h(yuǎn)是一個定值

∴DE+DF+DG是一個定值

五、利用面積的可比性解題

這里指的是等底不等高的兩三角形面積的比等于其對應(yīng)高的比，等高而不等底的面積比等于其對應(yīng)底的比.

例：在△ABC中，已知AD平分∠BAC，

求證：■=■.

分析：這道題看起來很一般，然而證起來卻有點(diǎn)難，

如果用“面積法”就較容易得證.

解：如下圖

∵△ABD與△ACD中，

BD邊上的高與CD邊上的高是同高

∴■=■

過D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F

又∵AD平分∠BAC

∴DE=DF

∴■=■=■

∴■=■

例：如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，BD∶CD=2∶1，E為AD的中點(diǎn)，連接BE并延長交AC于F，求AF∶FC.

分析：這道題要利用三角形的面積公式或面積關(guān)系，把線段的比轉(zhuǎn)化為面積的比.

解：∵△EDC和△BED是等高三角形

∴■=■=2

設(shè)S■=x，則S■=2x

∵△EDC和△BED是等高三角形

E為AD的中點(diǎn)

∴S■=S■=2x

同理可得S■=S■=x

設(shè)S■=x，則S■=x-y，S■=2x+（x-y）=3x-y

S■=2x+x+y=3x+y

∵△ABF和△CBF是等高三角形

∴■=■=■

同理可得■=■=■

∴■=■

化簡得x=■y

∴■=■=■

從上面的例題可以看出面積法是數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛的一種重要方法，面積與面積、面積與線段的互相轉(zhuǎn)化是面積法解題的重要手段.靈活運(yùn)用知識點(diǎn)，巧妙應(yīng)用面積法往往能化難為易，化繁為簡.

所謂面積法就是利用幾何圖形中的邊、角與面積之間的關(guān)系，運(yùn)用代數(shù)手段完成幾何中的推理過程的方法.用面積法一般可不添或少添輔助線，證法簡潔，易于接受和掌握.可以用來證明線段的數(shù)量關(guān)系、圖形的分割、求線段的比和面積等.在數(shù)學(xué)解題過程中，面積法有著廣泛的應(yīng)用.

應(yīng)用面積法解題的理論依據(jù)：①等積定理：兩個全等圖形的面積相等；等底等高的兩個三角形的面積相等；整個圖形的面積等于其各部分面積之和.②面積比定理：兩個三角形面積之比等于它們的底、高之積的比；等底（高）的兩個三角形面積之比等于它們的高（底）之比；相似三角形（多邊形）面積之比等于它們對應(yīng)邊的平方比.

在中學(xué)階段，面積法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種常用的解題方法，并且具有解題便捷快速、簡單易懂等特點(diǎn).現(xiàn)分類舉例如下，希望同學(xué)們在今后的做題中有所啟發(fā).

一、利用等面積解決有關(guān)圖形面積的分割

例：如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線.

（1）三角形有？搖 ？搖條面積等分線，平行四邊形有？搖 ？搖條面積等分線.

（2）如圖①所示，在矩形中剪去一個小正方形，請畫出這個圖形的一條面積等分線.

（3）如圖②所示，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB≠CD，且S■

圖① 圖②

分析：（1）讀懂面積等分線的定義，不難得出：一定是三角形的面積等分線的是三角形的中線所在的直線，所以有3條；對于平行四邊形，只要過它的兩條對角線的交點(diǎn)的直線都可以把平行四邊形的面積分成2個相等的部分，所以應(yīng)該有無數(shù)條.

（2）由（1）知，過矩形的兩條對角線的交點(diǎn)的直線都可以把矩形的面積分成2個相等的部分，所以圖①中過兩個矩形的對角線的交點(diǎn)的直線就是該圖形的一條面積等分線.

（3）能.過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E，連接AE.那么可以得到“△ABC和△AEC的公共邊AC上的高相等”，進(jìn)一步得到S■=S■，然后由“割補(bǔ)法”可以求得S■=S■+S■=S■+S■=S■，所以要畫出四邊形ABCD的面積等分線就轉(zhuǎn)化為畫出△AED的面積等分線.

解答：（1）三角形有3條面積等分線，平行四邊形有無數(shù)條面積等分線.

（2）如下圖①所示：連接2個矩形的對角線的交點(diǎn)的直線即把這個圖形分成2個相等的部分，即OO′為這個圖形的一條面積等分線.

（3）如下圖②所示.能，過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E，連接AE.

∵BE∥AC

∴根據(jù)同底等高可得S■=S■

∴S■=S■+S■=S■+S■=S■

∴面積等分線是△AED中DE邊上的中線

∵S■>S■

所以面積等分線必與CD相交，取DE中點(diǎn)F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線.

圖① 圖②

二、利用等面積解決有關(guān)圖形面積的計(jì)算

例：如圖，半圓的直徑AB=10，P為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C，D為半圓的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積.

分析：本題關(guān)鍵在于證得CD∥AB后就可根據(jù)“同底等高”得到S■=S■，然后由“割補(bǔ)法”得到S■=S■.

解：連接OC，OD，CD，

∵C、D是半圓三等分點(diǎn)

∴∠AOC=∠DOB=∠COD=60°

又OC=OD

∴△OCD是等邊三角形，

∴∠CDO=60°

∴∠CDO=∠DOB=60°

∴CD∥AB

∴根據(jù)同底等高可得S■=S■

∴S■=S■=■=■

∴S■=S■

點(diǎn)評：等面積法是數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛的一種重要方法，它所起的往往是解題過程中的過渡作用，這一思想要仔細(xì)體會.

三、利用等面積計(jì)算線段的長度

有的幾何問題，雖然沒有直接涉及面積，但若靈活地運(yùn)用面積知識解答，則往往會出奇制勝，事半功倍.

例：如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6、8，AE⊥BC，則AE的長是多少？

解：由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，OA=■AC=3，OB=■BD=4

在Rt△AOB中，AB=■=■=5

∴BC=AB=5

S■=■·BC·AE=■·AC·OB

∴5AE=6×4

∴AE=■

四、利用面積的可分性解題

用面積的可分性解題，一般要將圖形分成若干個小三角形，利用其整體性等于部分之和，建立關(guān)于條件和結(jié)論的關(guān)系式，從而方便快捷地解決問題.

例：如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E為對角線BD上的一點(diǎn)，且BE=BC，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，F(xiàn)M⊥BC于M，F(xiàn)N⊥BD于N，求出FM+FN的長.

圖（1）

解：如圖（1），過E點(diǎn)作EH⊥BC，垂足為H，連接BF

∵在Rt△BEH中BE=BC=3，∠EBH=45°

∴EH=■

∵S■+S■=S■

∴■BE×FN+■BC×FM=■BC×EH

∵BE=BC

∴FN+FM=EH=■

例：求證：等邊三角形內(nèi)任一點(diǎn)到各邊的距離的和是一個定值.

已知：△ABC中，AB=BC=AC，D是形內(nèi)任一點(diǎn)，DE⊥BC，DF⊥AC，DG⊥AB，E，F(xiàn)，G是垂足.求證：DE+DF+DG是一個定值.

證明：連接DA，DB，DC，設(shè)△ABC的邊長為a，高為h

∵S■=S■+S■+S■

∴■ah=■a（DE+DF+DG）

∴DE+DF+DG=h

∵等邊三角形的高h(yuǎn)是一個定值

∴DE+DF+DG是一個定值

五、利用面積的可比性解題

這里指的是等底不等高的兩三角形面積的比等于其對應(yīng)高的比，等高而不等底的面積比等于其對應(yīng)底的比.

例：在△ABC中，已知AD平分∠BAC，

求證：■=■.

分析：這道題看起來很一般，然而證起來卻有點(diǎn)難，

如果用“面積法”就較容易得證.

解：如下圖

∵△ABD與△ACD中，

BD邊上的高與CD邊上的高是同高

∴■=■

過D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F

又∵AD平分∠BAC

∴DE=DF

∴■=■=■

∴■=■

例：如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，BD∶CD=2∶1，E為AD的中點(diǎn)，連接BE并延長交AC于F，求AF∶FC.

分析：這道題要利用三角形的面積公式或面積關(guān)系，把線段的比轉(zhuǎn)化為面積的比.

解：∵△EDC和△BED是等高三角形

∴■=■=2

設(shè)S■=x，則S■=2x

∵△EDC和△BED是等高三角形

E為AD的中點(diǎn)

∴S■=S■=2x

同理可得S■=S■=x

設(shè)S■=x，則S■=x-y，S■=2x+（x-y）=3x-y

S■=2x+x+y=3x+y

∵△ABF和△CBF是等高三角形

∴■=■=■

同理可得■=■=■

∴■=■

化簡得x=■y

∴■=■=■

從上面的例題可以看出面積法是數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛的一種重要方法，面積與面積、面積與線段的互相轉(zhuǎn)化是面積法解題的重要手段.靈活運(yùn)用知識點(diǎn)，巧妙應(yīng)用面積法往往能化難為易，化繁為簡.

所謂面積法就是利用幾何圖形中的邊、角與面積之間的關(guān)系，運(yùn)用代數(shù)手段完成幾何中的推理過程的方法.用面積法一般可不添或少添輔助線，證法簡潔，易于接受和掌握.可以用來證明線段的數(shù)量關(guān)系、圖形的分割、求線段的比和面積等.在數(shù)學(xué)解題過程中，面積法有著廣泛的應(yīng)用.

應(yīng)用面積法解題的理論依據(jù)：①等積定理：兩個全等圖形的面積相等；等底等高的兩個三角形的面積相等；整個圖形的面積等于其各部分面積之和.②面積比定理：兩個三角形面積之比等于它們的底、高之積的比；等底（高）的兩個三角形面積之比等于它們的高（底）之比；相似三角形（多邊形）面積之比等于它們對應(yīng)邊的平方比.

在中學(xué)階段，面積法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種常用的解題方法，并且具有解題便捷快速、簡單易懂等特點(diǎn).現(xiàn)分類舉例如下，希望同學(xué)們在今后的做題中有所啟發(fā).

一、利用等面積解決有關(guān)圖形面積的分割

例：如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線.

（1）三角形有？搖 ？搖條面積等分線，平行四邊形有？搖 ？搖條面積等分線.

（2）如圖①所示，在矩形中剪去一個小正方形，請畫出這個圖形的一條面積等分線.

（3）如圖②所示，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB≠CD，且S■

圖① 圖②

分析：（1）讀懂面積等分線的定義，不難得出：一定是三角形的面積等分線的是三角形的中線所在的直線，所以有3條；對于平行四邊形，只要過它的兩條對角線的交點(diǎn)的直線都可以把平行四邊形的面積分成2個相等的部分，所以應(yīng)該有無數(shù)條.

（2）由（1）知，過矩形的兩條對角線的交點(diǎn)的直線都可以把矩形的面積分成2個相等的部分，所以圖①中過兩個矩形的對角線的交點(diǎn)的直線就是該圖形的一條面積等分線.

（3）能.過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E，連接AE.那么可以得到“△ABC和△AEC的公共邊AC上的高相等”，進(jìn)一步得到S■=S■，然后由“割補(bǔ)法”可以求得S■=S■+S■=S■+S■=S■，所以要畫出四邊形ABCD的面積等分線就轉(zhuǎn)化為畫出△AED的面積等分線.

解答：（1）三角形有3條面積等分線，平行四邊形有無數(shù)條面積等分線.

（2）如下圖①所示：連接2個矩形的對角線的交點(diǎn)的直線即把這個圖形分成2個相等的部分，即OO′為這個圖形的一條面積等分線.

（3）如下圖②所示.能，過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E，連接AE.

∵BE∥AC

∴根據(jù)同底等高可得S■=S■

∴S■=S■+S■=S■+S■=S■

∴面積等分線是△AED中DE邊上的中線

∵S■>S■

所以面積等分線必與CD相交，取DE中點(diǎn)F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線.

圖① 圖②

二、利用等面積解決有關(guān)圖形面積的計(jì)算

例：如圖，半圓的直徑AB=10，P為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C，D為半圓的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積.

分析：本題關(guān)鍵在于證得CD∥AB后就可根據(jù)“同底等高”得到S■=S■，然后由“割補(bǔ)法”得到S■=S■.

解：連接OC，OD，CD，

∵C、D是半圓三等分點(diǎn)

∴∠AOC=∠DOB=∠COD=60°

又OC=OD

∴△OCD是等邊三角形，

∴∠CDO=60°

∴∠CDO=∠DOB=60°

∴CD∥AB

∴根據(jù)同底等高可得S■=S■

∴S■=S■=■=■

∴S■=S■

點(diǎn)評：等面積法是數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛的一種重要方法，它所起的往往是解題過程中的過渡作用，這一思想要仔細(xì)體會.

三、利用等面積計(jì)算線段的長度

有的幾何問題，雖然沒有直接涉及面積，但若靈活地運(yùn)用面積知識解答，則往往會出奇制勝，事半功倍.

例：如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6、8，AE⊥BC，則AE的長是多少？

解：由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，OA=■AC=3，OB=■BD=4

在Rt△AOB中，AB=■=■=5

∴BC=AB=5

S■=■·BC·AE=■·AC·OB

∴5AE=6×4

∴AE=■

四、利用面積的可分性解題

用面積的可分性解題，一般要將圖形分成若干個小三角形，利用其整體性等于部分之和，建立關(guān)于條件和結(jié)論的關(guān)系式，從而方便快捷地解決問題.

例：如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E為對角線BD上的一點(diǎn)，且BE=BC，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，F(xiàn)M⊥BC于M，F(xiàn)N⊥BD于N，求出FM+FN的長.

圖（1）

解：如圖（1），過E點(diǎn)作EH⊥BC，垂足為H，連接BF

∵在Rt△BEH中BE=BC=3，∠EBH=45°

∴EH=■

∵S■+S■=S■

∴■BE×FN+■BC×FM=■BC×EH

∵BE=BC

∴FN+FM=EH=■

例：求證：等邊三角形內(nèi)任一點(diǎn)到各邊的距離的和是一個定值.

已知：△ABC中，AB=BC=AC，D是形內(nèi)任一點(diǎn)，DE⊥BC，DF⊥AC，DG⊥AB，E，F(xiàn)，G是垂足.求證：DE+DF+DG是一個定值.

證明：連接DA，DB，DC，設(shè)△ABC的邊長為a，高為h

∵S■=S■+S■+S■

∴■ah=■a（DE+DF+DG）

∴DE+DF+DG=h

∵等邊三角形的高h(yuǎn)是一個定值

∴DE+DF+DG是一個定值

五、利用面積的可比性解題

這里指的是等底不等高的兩三角形面積的比等于其對應(yīng)高的比，等高而不等底的面積比等于其對應(yīng)底的比.

例：在△ABC中，已知AD平分∠BAC，

求證：■=■.

分析：這道題看起來很一般，然而證起來卻有點(diǎn)難，

如果用“面積法”就較容易得證.

解：如下圖

∵△ABD與△ACD中，

BD邊上的高與CD邊上的高是同高

∴■=■

過D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F

又∵AD平分∠BAC

∴DE=DF

∴■=■=■

∴■=■

例：如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，BD∶CD=2∶1，E為AD的中點(diǎn)，連接BE并延長交AC于F，求AF∶FC.

分析：這道題要利用三角形的面積公式或面積關(guān)系，把線段的比轉(zhuǎn)化為面積的比.

解：∵△EDC和△BED是等高三角形

∴■=■=2

設(shè)S■=x，則S■=2x

∵△EDC和△BED是等高三角形

E為AD的中點(diǎn)

∴S■=S■=2x

同理可得S■=S■=x

設(shè)S■=x，則S■=x-y，S■=2x+（x-y）=3x-y

S■=2x+x+y=3x+y

∵△ABF和△CBF是等高三角形

∴■=■=■

同理可得■=■=■

∴■=■

化簡得x=■y

∴■=■=■

從上面的例題可以看出面積法是數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛的一種重要方法，面積與面積、面積與線段的互相轉(zhuǎn)化是面積法解題的重要手段.靈活運(yùn)用知識點(diǎn)，巧妙應(yīng)用面積法往往能化難為易，化繁為簡.