鄧宇龍

(湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系計(jì)算數(shù)學(xué)研究所,湖南永州425199)

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系各專業(yè)的一門必修的重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程.由于數(shù)學(xué)分析中的一些數(shù)學(xué)概念十分抽象,長(zhǎng)期以來對(duì)于該課程的學(xué)習(xí),學(xué)生普遍感到非常困難.極限概念貫穿數(shù)學(xué)分析課程的始終,學(xué)生對(duì)于極限概念的理解直接影響到數(shù)學(xué)分析課程的學(xué)習(xí)和掌握.從以往的教學(xué)實(shí)踐當(dāng)中發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)于極限概念的ε語(yǔ)言理解模糊,難于把握.因此,在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中加強(qiáng)極限概念的教學(xué)尤為重要.

在數(shù)學(xué)分析課程里使用Matlab可以很容易的實(shí)現(xiàn)和驗(yàn)證所講述的內(nèi)容,這對(duì)于學(xué)生深刻理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)有著巨大的促進(jìn)作用[1].Matlab有強(qiáng)大的圖形圖像功能,對(duì)于那些數(shù)學(xué)分析中難于理解的概念,采用Matlab的輔助教學(xué),通過形象的幾何解釋,可化難為易,使數(shù)學(xué)分析的教學(xué)更生動(dòng)和直觀,引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.本文結(jié)合Matlab語(yǔ)言和數(shù)學(xué)分析極限概念的特點(diǎn),闡明Matlab在數(shù)學(xué)分析極限概念教學(xué)中的3種實(shí)踐.

1 運(yùn)用Matlab實(shí)現(xiàn)數(shù)列極限概念的理解

在Matlab打開figure(1)圖形窗口,在命令窗口輸入程序:

n=1:100;

an=n./(n+1);%數(shù)列

for i=1:100

plot(n(i),an(i),′rd′)%作數(shù)列圖像

hold on%圖形保持

pause %等待鍵盤輸入操作

end

通過空格鍵或者回車鍵的鍵盤輸入操作,可以再現(xiàn)數(shù)列an隨著n變化所生成的點(diǎn)列的圖形變化形式.圖1是figure(1)圖形窗口中an的最終極限形式.從圖1可以看出1的任何鄰域中都包含an的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),因此an以1為極限.

如果用程序bn=(-1).^n.*an代替an,在圖形窗口figure(2)中可以再現(xiàn)數(shù)列bn的生成過程,并且可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列bn中的點(diǎn)在-1和1波動(dòng),因此bn的極限不存在.

圖1 數(shù)列an的圖像 圖2 數(shù)列bn的圖像

例1給出的程序中,只需要對(duì)an的表達(dá)式作相應(yīng)修改,我們可以通過這種方法求出一系列的數(shù)列的極限或者利用它來判斷數(shù)列極限的不存在.值得注意的是,數(shù)列an中n的冪次不能太高,一般不超過3次,否則超過Matlab所能容許的操作.

2 運(yùn)用Matlab實(shí)現(xiàn)一元函數(shù)極限概念的理解

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,考察函數(shù)f(x)的極限就是考察自變量x在定義域D內(nèi)變化時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值f(x)的變化趨勢(shì).在高等數(shù)學(xué)所選用的教材中,函數(shù)極限概念普遍采用了定性描述的方式,即“若當(dāng)x無(wú)限接近于x0∈D(x≠x0)時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)限逼近于某一個(gè)常數(shù)A,則稱A為f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限.”這種定義有“只可意會(huì)不可言傳”之感,因而難以理解[2].而數(shù)學(xué)分析采用定量的ε-δ語(yǔ)言更具有嚴(yán)密的邏輯性和高度的抽象性,學(xué)生更難于接受.對(duì)于一元函數(shù)求極限問題,利用Matlab提供的符號(hào)計(jì)算功能可以直接求解.由于數(shù)列可以看作定義域?yàn)樽匀粩?shù)集的一類特殊的函數(shù),因此我們也可以利用Matlab的符號(hào)計(jì)算功能求極限.雖然Matlab提供的符號(hào)計(jì)算功能可以調(diào)用庫(kù)函數(shù)limit( )很方便地求出一元函數(shù)的極限,但是一元函數(shù)的極限概念從數(shù)值計(jì)算中根本無(wú)法理解.

根據(jù)數(shù)學(xué)分析中嚴(yán)格的函數(shù)極限ε-δ定義,對(duì)任給的ε>0,總存在與ε相應(yīng)的δ(ε)>0,使得x進(jìn)入x0的δ去心鄰域時(shí),f(x)的圖像全部落在以直線y=A為中心線,寬為2ε的橫帶內(nèi).函數(shù)圖像能直觀形象的反映函數(shù)的變化趨勢(shì),通過函數(shù)圖像,能夠很好的體現(xiàn)抽象的一元函數(shù)極限概念.一些簡(jiǎn)單的易于理解的函數(shù)圖像,學(xué)生很容易能作出,但一些復(fù)雜的抽象的圖形,往往難于準(zhǔn)確作出,也無(wú)法解釋的清楚.這時(shí),利用Matlab的作圖功能,只需幾行簡(jiǎn)單的命令,就能畫出直觀準(zhǔn)確的函數(shù)圖像,從而使函數(shù)在x趨于x0的變化趨勢(shì)一目了然.

在Matlab命令窗口輸入程序：

syms x%說明x是符號(hào)變量

fx=x/(x-1)-1/(x^2-x);%函數(shù)

ezplot(fx,[-5,5])%函數(shù)作圖

grid on%作網(wǎng)格線

hold on; plot(1,2,′rd′)

xlabel(′圖3 f(x)的圖像′)

從圖3可知,當(dāng)x→1時(shí),函數(shù)f(x)以2為極限.而當(dāng)x→0時(shí),由f(x)的圖形知x→0+時(shí),f(x)→+∞;x→0-時(shí),f(x)→-∞.故f(x)當(dāng)x→0時(shí)極限不存在.

圖3 f(x)的圖像 圖4 g(x)的圖像

函數(shù)整體的作圖可以從函數(shù)圖像變化趨勢(shì)觀察函數(shù)極限的情況,但是不能演示函數(shù)極限的生成過程.為了演示函數(shù)極限的變化情況,可以通過Matlab動(dòng)畫來展示.

在Matlab命令窗口輸入程序,畫出g(x)在[-1,1]上的圖形：

for x=-1:0.01:0;%循環(huán)改變橫坐標(biāo)取值

g1=x.*sin(1./x);%函數(shù)g(x)

drawnow%截取圖形

hold on%圖形保持

plot(x,g1, ′r+′)%作g(x)在x=0的左極限

pause(0.1)%停留0.1秒

end%循環(huán)結(jié)束

hold on

for t=1:-0.01:0;%循環(huán)再次改變橫坐標(biāo)取值

g2=t.*sin(1./t);%函數(shù)g(x)

drawnow%截取圖形

hold on

plot(t,g2, ′bd′)%作g(x)在x=0的右極限

pause(0.1)

end

hold on

plot(0,0, ′g.′)

title (′g(x)=xsin(1/x)′)%加圖名

xlabel(′圖4 g(x)的圖像′)

圖4演示了函數(shù)g(x)當(dāng)x→0時(shí)的極限生成過程.可以看出g(x)隨著x的減小,雖然頻率越來越高作無(wú)限次振蕩,但振幅越來越小趨近與0,因而函數(shù)g(x)當(dāng)x→0時(shí)的極限為0.利用這種方法可以對(duì)任一函數(shù)的極限進(jìn)行動(dòng)畫演示.對(duì)于極限不存在的情況,也可以通過動(dòng)畫演示來觀察其變化情況[2].

3 運(yùn)用Matlab對(duì)二元函數(shù)極限概念理解的實(shí)踐

與一元函數(shù)極限概念類似,二元函數(shù)的極限也是反映函數(shù)值隨自變量變化而變化的趨勢(shì).設(shè)函數(shù)f(P)的定義域是平面區(qū)域D,P0∈D,當(dāng)P∈D且無(wú)限趨于P0時(shí),f(P)無(wú)限趨于常數(shù)A,則稱A為f(P)當(dāng)P趨于P0時(shí)的極限.注意到P在區(qū)域D內(nèi)沿著任意的路徑趨于定點(diǎn)P0時(shí),f(P)都要以A為極限.雖然利用Matlab作圖功能,可以作出三維圖形,但是根據(jù)函數(shù)圖形卻不能如一元函數(shù)一樣直觀的看出自變量趨于某定值時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì).

二元函數(shù)的極限知識(shí)還涉及到重極限、累次極限等概念,而重極限的存在是一個(gè)比較復(fù)雜的問題.一般不能通過累次極限來確定重極限,但是數(shù)學(xué)分析關(guān)于重極限和累次極限之間有這樣的聯(lián)系：如果二元函數(shù)f(x,y)的重極限和兩個(gè)累次極限都存在,則三者必相等.換句話說,這個(gè)聯(lián)系給出了一個(gè)判斷累次極限交換順序的充分而非必要條件,或者也可以說給出了一個(gè)判斷重極限不存在的方法.

Matlab在求二元函數(shù)的極限時(shí),用的是limit函數(shù)的嵌套來完成的.但是通過在Matlab中輸入help limit命令,我們可以看到程序的說明并不可以用來求多元函數(shù)的極限.雖然有時(shí)確實(shí)能用limit函數(shù)嵌套碰巧得到真實(shí)的結(jié)果,但從實(shí)質(zhì)上來說,多元函數(shù)極限的求法并不是一系列的一元函數(shù)分別求極限的問題.因此,我們?cè)诳紤]多元函數(shù)極限問題時(shí),一定要考慮重極限和累次極限的關(guān)系,注意驗(yàn)證結(jié)果.

4 結(jié)束語(yǔ)

將Matlab引入到數(shù)學(xué)分析極限概念的教學(xué)中,不僅有利于克服傳統(tǒng)教學(xué)中講解內(nèi)容抽象、概念理解困難的不足,也有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí).在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程中,明白理解數(shù)學(xué)概念的重要性.值得注意的是,Matlab函數(shù)作圖的功能盡管很強(qiáng)大,但是對(duì)于多元函數(shù)的極限問題,我們不能如一元函數(shù)一樣,通過Matlab函數(shù)作圖來清楚極限過程,對(duì)于函數(shù)列求極限問題,也沒有找到適當(dāng)?shù)姆椒▉砻枋鰳O限函數(shù).另外,數(shù)學(xué)分析課程主要講授的還是數(shù)學(xué)的經(jīng)典知識(shí),即以極限概念為基礎(chǔ)的微積分知識(shí),Matlab在極限概念理解中的應(yīng)用僅僅是起到輔助教學(xué)的作用,而不能喧賓奪主,淡化了學(xué)生對(duì)極限概念的理解和掌握,沖淡了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)典知識(shí)的學(xué)習(xí).

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 張志涌.精通Matlab6.5版教程[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2003.

[2] 楊志明.Matlab動(dòng)畫在函數(shù)極限教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2010,29(7):45-48.

[3] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2009.