何曉霞, 侯 萱, 李春麗
(武漢科技大學理學院,湖北武漢430065)
計算隨機變量函數(shù)的期望是在運用期望值進行決策時經(jīng)常碰到的問題,在經(jīng)典的概率論教材里都有隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的計算方法.
定理1.1[1]設Y是隨機變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù)).
(1.1)
(1.2)
該定理為我們提供了一個計算隨機變量函數(shù)的期望的較簡單的求法,因為計算期望的時候并不需要求出Y的分布律或者密度函數(shù).運用這個定理,我們來計算下面的例子.
例1.1設隨機變量X在區(qū)間[-π,π]上服從均勻分布,求E[min(|X|,1)].
解X的概率密度函數(shù)為
故
這個例子之所以能運用定理,是因為
因此min[|X|,1]是隨機變量X的連續(xù)函數(shù),符合定理的假設條件.雖然定理中只需假設復合給隨機變量的函數(shù)g連續(xù)即可,即g(X)是什么類型的隨機變量實際上并未做任何要求.事實上,例1.1中的min[|X|,1]是一個混合型隨機變量.這是因為
P(min[|X|,1]≤x) =1-P(min[|X|,1]>x)=1-P(|X|>x,1>x)
(1.3)
要找到混合隨機變量期望的一般求法,首先要將離散型和連續(xù)型隨機變量的期望的計算方法進行統(tǒng)一.為此,需要用到Stieltjes積分.若隨機變量X的分布函數(shù)為F(x),類似于連續(xù)型隨機變量的場合,做分割x0 定義2.1[2]若隨機變量X的分布函數(shù)為F(x),則定義 (2.1) 為X的數(shù)學期望.這里要求積分絕對收斂,否則數(shù)學期望不存在. 按照上述數(shù)學期望的定義,則可以根據(jù)Stieltjes積分的定義來計算混合型隨機變量的數(shù)學期望.一般地,若混合型隨機變量的分布函數(shù)有可列個跳躍間斷點{xi;i≥1}(這一點是可以做到的,由于分布函數(shù)是單調的,所以它的間斷點至多可列),則 (2.2) 其中I為分布函數(shù)F(x)連續(xù)且可導的區(qū)域,f(x)為可導區(qū)域上分布函數(shù)F(x)的導函數(shù).再回到第一節(jié)中的例1.1,由(2.2)式, 所得結果與運用定理計算的結果是相同的,為何為出現(xiàn)這樣的結果?事實上,(2.1)式可以同時用來計算離散型和連續(xù)型隨機變量的積分.用測度論的語言來說,數(shù)學期望是特殊的測度空間——概率空間上的積分. 定義2.2[3]如果概率空間(Ω,I,P)上可測函數(shù)X的積分存在,則說它的數(shù)學期望存在,并定義X的數(shù)學期望為 (2.3) (2.1)和(2.3)是等價的,文獻[4]對這兩種定義的等價性進行了詳細的探討.有了抽象空間中隨機變量期望的定義,則有如下定理. 定理2.1[3]設X是概率空間(Ω,I,P)上的隨機變量,其分布函數(shù)為F, 則對任何(,B())上的可測函數(shù)g,g(X)是(Ω,I,P)的可測函數(shù),而且只要 之一端有意義,另一端也有意義且等式成立. 混合型隨機變量在實際應用中的大量存在的,這里主要討論混合型隨機變量期望在保險精算中的應用.人們向保險公司投保來規(guī)避損失,而保險公司本身為了規(guī)避風險,它也可以選擇再保險公司.目前常見的兩種再保險方法為比例再保險和超額損失再保險.所謂超額損失再保險,即保險公司和再保險公司約定一個值M,若索賠額變量X不超過M,則損失全部由保險公司承擔;若索賠額X超過M,則超出部分由再保險公司承擔,即保險公司承擔的索賠額為Y=min(X,M),再保險公司承擔的索賠額為Z=max(0,X-M).顯然這兩個隨機變量都是混合型的,若索賠額索賠隨機變量X的分布函數(shù)為F,則 在精算過程中常常要需要計算索賠額的各階矩,通過前述方法即可計算得 若X服從均值為100的指數(shù)分布,則 [參 考 文 獻] [1] 盛驟,謝式千,潘承毅. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]. 3版. 北京: 高等教育出版社,2001. [2] 李賢平. 概率論基礎[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社, 1997. [3] 程士宏. 測度論與概率論基礎[M]. 北京: 北京大學出版社,2004. [4] 何曉霞. 數(shù)學期望的兩種定義及其等價性[J]. 大學數(shù)學, 2013, 29(3): 91-93. [5] David C M Dickson. Insurance risk and ruin[M]. Cambridge:Cambridge University Press, 2005.3 混合型隨機變量期望的應用