林植林

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州510631)

在實(shí)分析中,Lipschitz條件和實(shí)函數(shù)往往會(huì)有著十分緊密的聯(lián)系，例如有限實(shí)函數(shù)f(x)在[a,b]上滿足Lipschitz條件的充要條件為f(x)是[a,b]上某個(gè)有界可積函數(shù)的不定積分[1].因此,對(duì)Lipschitz條件成立時(shí)充要條件的分析,對(duì)于研究實(shí)函數(shù)的某些性質(zhì)則具有深遠(yuǎn)意義.

1 Lipschitz條件及相關(guān)引理

定義設(shè)f(x)是定義在[a,b]上的實(shí)函數(shù).若存在一個(gè)常數(shù)M,使得對(duì)于?x,y∈[a,b],都有f(x)-fy≤Mx-y成立,則稱f(x)在[a,b]上滿足Lipschitz條件.

引理1設(shè)f(x)為定義在[a,b]上的有限函數(shù).若f(x)在每一點(diǎn)的導(dǎo)出數(shù)均為正數(shù),則f(x)是[a,b]的嚴(yán)格增函數(shù).

這表明f(x)在x′處有Dfx′≤0,與f(x)在每一點(diǎn)的導(dǎo)出數(shù)均為正數(shù)矛盾,故假設(shè)不成立,從而f(x)是[a,b]的嚴(yán)格增函數(shù).

由引理1,可得到以下的引理2.

引理2設(shè)f(x)為定義在[a,b]上的有限函數(shù).若f(x)在每一點(diǎn)的導(dǎo)出數(shù)均為非負(fù)數(shù),則f(x)是[a,b]的增函數(shù).

證取fμ(x)=f(x)+μx,其中μ>0,則有

Dfμ(x)=Df(x)+μ≥0+μ=μ>0.

由引理1可斷言,fμ(x)在[a,b]上關(guān)于x嚴(yán)格單調(diào)遞增.從而,當(dāng)y>x,x,y∈[a,b]時(shí),有

fy+μy=fμy>fμ(x)=f(x)+μx.

令μ→0+,可得

fy>f(x),

這表明f(x)為[a,b]的增函數(shù).

2 Lipschitz條件成立的充要條件

定理f(x)在[a,b]上滿足Lipschitz條件的充要條件是f(x)的所有導(dǎo)出數(shù)滿足|Df(x)|≤M, ?x∈[a,b].

證先證必要性.假定f(x)為在[a,b]上滿足Lipschitz條件的實(shí)函數(shù),則對(duì)于?x1,x2∈[a,b],有

fx1-fx2≤Mx1-x2.

f(xn)-f(x0)≤Mxn-x0,

即

由x0的任意性知，f(x)的所有導(dǎo)出數(shù)滿足Df(x)≤M.

下證充分性.先證f(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù).若不然,不妨設(shè)x′∈[a,b]為其不連續(xù)點(diǎn),則存在ε0>0,存在αn→0n→∞,αn≠0,使得

fx′+αn-fx′≥ε0,

故有

這與f(x)的所有導(dǎo)出數(shù)滿足Df(x)≤M矛盾,故f(x)必為[a,b]上的連續(xù)函數(shù).

現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)

g1(x)=Mx+f(x),g2(x)=Mx-f(x).

注意到Df(x)≤M,則有

Dg1(x)=M+Df(x)≥0,

Dg2(x)=M-Df(x)≥0.

由引理2知g1(x)與g2(x)均為[a,b]的增函數(shù)，故當(dāng)x,y∈[a,b],且當(dāng)y>x時(shí),有

My+fy=g1y≥g1(x)=Mx+f(x),

My-fy=g2y≥g2(x)=Mx-f(x),

從而有

-My-x≤fy-f(x)≤My-x,

即

f(x)-fy≤Mx-y.

這表明f(x)在[a,b]上滿足Lipschitz條件.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 程其襄,等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2003:97-175.

[2] 周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].北京:北京大學(xué)出版社,2001:149-270.

[3] 曹廣福.實(shí)變函數(shù)論與泛函分析(上冊(cè))[M].3版 .北京:高等教育出版社,2011:96-139.

[4] Aliprantis C D.Principles of real analysis[M].北京:世界圖書(shū)出版公司,2008:161-254.