陳桂東， 崔周進(jìn)

(1.解放軍理工大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京211101； 2. 江蘇海事職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇南京211170)

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽是一項(xiàng)面向本科生的全國(guó)性高水平學(xué)科競(jìng)賽，它為青年學(xué)子提供了一個(gè)展示數(shù)學(xué)基本功和數(shù)學(xué)思維的舞臺(tái). 自2010年起已連續(xù)舉辦三屆，現(xiàn)已成為全國(guó)影響最大、參加人數(shù)最多的學(xué)科競(jìng)賽之一.競(jìng)賽分為數(shù)學(xué)專業(yè)和非數(shù)學(xué)專業(yè)組，其中規(guī)定的非數(shù)學(xué)專業(yè)組競(jìng)賽內(nèi)容為理工科本科教學(xué)大綱所包含的的高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，并未涉及到線性代數(shù)，然而在這三屆競(jìng)賽中都出現(xiàn)了與線性代數(shù)內(nèi)容直接或間接相關(guān)的試題，體現(xiàn)了線性代數(shù)對(duì)高等數(shù)學(xué)較強(qiáng)的滲透性. 本文對(duì)此進(jìn)行了分析，希望能夠?qū)@兩門課的教學(xué)工作有所裨益.

1 矩陣、行列式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

解析 該題為第一屆競(jìng)賽的決賽試題. 因?yàn)?/p>

由此推出

的元素之和，將其記為sumA. 另一方面，記

則

于是

從而命題得證.

注1 估計(jì)F(n)的值之所以困難，是由于其中e-n系數(shù)的形式復(fù)雜而難以理清，當(dāng)采用矩陣表示以后，其形式變得簡(jiǎn)潔明了而便于處理. 事實(shí)上矩陣、行列式在高等數(shù)學(xué)中的向量積、混合積、旋度、Stokes公式等知識(shí)點(diǎn)中都有具體的應(yīng)用，盡管它們大多是作為速記符號(hào)出現(xiàn)的，卻能夠使得這些知識(shí)點(diǎn)變得清晰而便于掌握，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美. 另一方面，作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言的矩陣的作用遠(yuǎn)不止于此，矩陣的對(duì)角化在解線性微分方程組中的應(yīng)用[1]充分說(shuō)明了線性代數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用.

2 線性方程組在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例2設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0),f′(0),f″(0)均不為零. 證明存在唯一一組實(shí)數(shù)k1,k2,k3，使得

解析 該題為第二屆競(jìng)賽的決賽試題. 由題設(shè)可知，在x=0的某鄰域內(nèi)

于是

k1f(h)+k2f(2h)+k3f(3h)-f(0)

=(k1+k2+k3-1)f(0)+(k1+2k2+3k3)f′(0)h+(k1+4k2+9k3)f″(0)h2+o(h2).

其系數(shù)行列式為不等于零的Vandermonde行列式，故方程有唯一解，從而命題得證.

注2 線性方程組不僅是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，在高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)、空間解析幾何、微分方程等章節(jié)中也有著重要的應(yīng)用，同時(shí)也是數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)常用工具.

3 正交變換在求曲面積分中的應(yīng)用

此時(shí)單位球面x2+y2+z2=1變成u2+v2+w2=1，則

注3 該命題即為普阿松公式. 正交變換能夠保持幾何體的形狀、大小不變這一性質(zhì)在積分學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用[2]. 需要說(shuō)明的是證明中我們未采用曲面的參數(shù)方程，而采用了學(xué)生更加熟悉的微元法來(lái)確定新坐標(biāo)系下的面積微元表達(dá)式. 事實(shí)上對(duì)于某些積分曲面，如果不知道或者很難使用參數(shù)形式表示出來(lái)，則可嘗試正交變換的方法[3].

在競(jìng)賽中，以上三題，尤其是例1和例3，參賽學(xué)生的得分率都非常低，這一方面反映了學(xué)生欠缺將數(shù)學(xué)不同學(xué)科知識(shí)相融合的能力. 另一方面也反映了我們?cè)诮虒W(xué)、競(jìng)賽輔導(dǎo)中缺少相關(guān)的引導(dǎo). 事實(shí)上，線性代數(shù)與高等數(shù)學(xué)是大學(xué)理工科的兩門重要的基礎(chǔ)課．雖然這兩門課解題方法有些差異，卻密切相關(guān)，在很多方面都有內(nèi)在的滲透. 例如二次型在函數(shù)極值、不等式中有著重要的應(yīng)用，線性空間理論也可用于數(shù)列極限的求解. 而另一方面，高等數(shù)學(xué)中的許多內(nèi)容，譬如函數(shù)的連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)等都可廣泛地應(yīng)用于線性代數(shù)眾多章節(jié)之中[4]. 如何在教學(xué)中將這兩門課的內(nèi)容更好地交叉、融合，近三屆的全國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽在命題中作了積極的探索，給了我們?cè)S多有益的啟示. 筆者認(rèn)為, 這也是我們大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作者所面臨的一個(gè)有待進(jìn)一步研究的課題.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 李明泉. 線性代數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用[J]. 長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007, 26 (4)：27-30.

[2] 凌征球, 龔國(guó)勇，龔文振. 高等代數(shù)在數(shù)學(xué)分析解題中的某些應(yīng)用[J].玉林師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010, 31 (5)：34 -37.

[3] 米永生，梁靜. 線性代數(shù)方法在高等數(shù)學(xué)中的滲透[J]. 石家莊學(xué)院學(xué)報(bào), 2007, 9(6): 17-21.

[4] 米永生. 線性代數(shù)與微積分學(xué)問(wèn)題與解法的滲透[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué),2007, 23(2)：108-111:185-189.