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        一類重積分解法的探討

        2014-09-17 06:52:52龔偉楓
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2014年4期
        關(guān)鍵詞:雙曲面極坐標雙曲

        龔偉楓, 吳 潔

        (1.華中科技大學(xué)光學(xué)與電子信息學(xué)院,湖北武漢430074; 2.華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北武漢430074)

        在2010年全國碩士生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三中有如下試題:

        圖1

        解法1區(qū)域D如圖1所示.

        =14/15 .

        說明:

        (i)ρ和t并沒有幾何意義,它們僅表示關(guān)于x,y的某個表達式的值.

        圖2 圖3

        圖4 圖5

        解法1利用直角坐標并由對稱性,得

        可見,當被積函數(shù)含x2-y2,用“雙曲坐標變換”避免了復(fù)雜的計算過程.例3將說明當被積函數(shù)和積分區(qū)域同時含有x2-y2項時,采用“雙曲坐標變換”的優(yōu)越性.

        解法2利用直角坐標并由對稱性,得

        由于后面的積分過程比較復(fù)雜,積分結(jié)果由以下Matlab程序提供.

        syms y;

        f=inline(′sqrt(1+y.^2)′);

        i=quad(f,0,1);

        f1=inline(′y.^2.*log(sqrt(1+y.^2)+1)′);

        i1=quad(f1,0,1);

        i2=quad(′sqrt(2).*y.^2′,0,1);

        f3=inline(′y.^2.*log((sqrt(2)+1).*y)′);

        i3=quad(f3,0,1);

        i0=i-i1-i2+i3;

        運行結(jié)果:

        i0=0.5876.

        兩種方法的計算結(jié)果一致,說明了運用“雙曲坐標變換”方法的正確性.

        類似于極坐標,利用雙曲坐標變換還可以處理一些直角坐標無法計算的問題.

        注 該題被積函數(shù)為ey2·e-x2,在直角坐標系下,無論是先對x還是先對y積分,均無法積出.

        “雙曲坐標變換”的方法也可以運用到三重積分的計算上.如果單葉雙曲面、雙葉雙曲面、圓錐面、雙曲拋物面或雙曲柱面的標準形式出現(xiàn)在積分區(qū)域邊界上或被積函數(shù)中,可以根據(jù)需要做相應(yīng)的變換,變換的形式可以多樣.

        圖6

        因此

        解法2利用對稱性,

        例5的積分區(qū)域含單葉雙曲面,且單葉雙曲面在積分區(qū)域邊界上.對比兩種解法可以看出 “雙曲坐標變換”更加直觀和自然.例6則根據(jù)區(qū)域的不同邊界選取了不同的“雙曲坐標變換”,均可達了到簡化計算的效果.

        圖7

        解法1利用對稱性,

        因此

        本文引入的“雙曲坐標變換”實際上是重積分極坐標代換的一種推廣.極坐標代換便于解決積分區(qū)域為圓域、被積表達式中含有平方和項的重積分問題,從前面幾例可以看出,“雙曲坐標變換”適用于積分區(qū)域邊界含有雙曲線、被積表達式中含有平方差項的重積分問題.在這類問題上,這種變換有著不可替代的優(yōu)越性.應(yīng)當指出的是,使用“雙曲坐標變換”時積分區(qū)域受到一定限制,積分區(qū)域不應(yīng)當越出該變換可以使用的范圍,否則該方法失效.

        [參 考 文 獻]

        [1] 華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系. 微積分學(xué)[M].3版.北京:高等教育出版社, 2008.

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