李衛(wèi)高， 李兆強

(漯河醫(yī)學高等?？茖W校, 漯河462002)

(1)

其中

而

于是

為表示自然數(shù)冪和，在(1)式中依次令x=1,2,3,…,n，得到

……

把以上n個等式相加，得

此時

m=2kn,k=1,2,3,….

易知這些項中每一個括號的和都等于n，于是

或者

(2)

例2r=3，m為偶數(shù)時，

代入(2)式，

r為偶數(shù)時，

r為奇數(shù)時，

同理可得

為簡便起見，把它們統(tǒng)一寫成

(3)

不難看出，這種一般表達式和歷史上伯努利冪和公式雖形式不同，但是相通的.同時和zeta函數(shù)建立了聯(lián)系，(3)式本身包含了求ζ(2k)的計算方法，例如求ζ(2)，ζ(4).

令n=1,r=2，

令n=1,r=4，

[參 考 文 獻]

[1] 陳傳璋,等.數(shù)學分析(下冊)[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2] 羅見今．自然數(shù)冪和公式的發(fā)展[J]．高等數(shù)學研究，2004，7(4)：56-61.