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        用傅里葉級數(shù)求自然數(shù)冪和

        2014-09-17 06:52:16李衛(wèi)高李兆強
        大學數(shù)學 2014年4期
        關鍵詞:易知漯河高等教育出版社

        李衛(wèi)高, 李兆強

        (漯河醫(yī)學高等??茖W校, 漯河462002)

        (1)

        其中

        于是

        為表示自然數(shù)冪和,在(1)式中依次令x=1,2,3,…,n,得到

        ……

        把以上n個等式相加,得

        此時

        m=2kn,k=1,2,3,….

        易知這些項中每一個括號的和都等于n,于是

        或者

        (2)

        例2r=3,m為偶數(shù)時,

        代入(2)式,

        r為偶數(shù)時,

        r為奇數(shù)時,

        同理可得

        為簡便起見,把它們統(tǒng)一寫成

        (3)

        不難看出,這種一般表達式和歷史上伯努利冪和公式雖形式不同,但是相通的.同時和zeta函數(shù)建立了聯(lián)系,(3)式本身包含了求ζ(2k)的計算方法,例如求ζ(2),ζ(4).

        令n=1,r=2,

        令n=1,r=4,

        [參 考 文 獻]

        [1] 陳傳璋,等.數(shù)學分析(下冊)[M].北京:高等教育出版社,1983.

        [2] 羅見今.自然數(shù)冪和公式的發(fā)展[J].高等數(shù)學研究,2004,7(4):56-61.

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