張順

【摘要】橢圓中定值問(wèn)題一直以來(lái)深受高考命題人的青睞，因?yàn)樵趧?dòng)點(diǎn)動(dòng)線的變化之中，某些值竟然是不變的，“變”中存在“不變”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美，體現(xiàn)了哲學(xué)上的“動(dòng)”與“靜”的辯證統(tǒng)一.一般的橢圓定值問(wèn)題，基本上是設(shè)點(diǎn)或是設(shè)線，將所要求的量用所設(shè)的參數(shù)來(lái)表示，最后證明該量不受參數(shù)的影響，從而得到這個(gè)量為定值.但是代數(shù)解法相對(duì)計(jì)算煩瑣，本文嘗試從幾何的角度出發(fā)，通過(guò)仿射變換，將橢圓仿射為圓來(lái)挖掘圖形的本質(zhì)特征.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線;定值;仿射變換

一、問(wèn)題提出

2018屆揚(yáng)州中學(xué)高三10月月考數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)了這樣一道解析幾何題：

如圖1所示，已知橢圓C：x2/4+y2/3=1的右焦點(diǎn)F（1，0），左、右頂點(diǎn)分別為A，B，直線l過(guò)F點(diǎn)且與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在x軸上方），直線直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2.是否存在常數(shù)λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

筆者通過(guò)仿射變換，將橢圓仿射為圓，再研究圓中的情形得到了更為一般和簡(jiǎn)潔的結(jié)論，而根據(jù)仿射變換的性質(zhì)，這些結(jié)論在橢圓之中，同樣是成立的，這就具有了一般性的意義.

二、改造問(wèn)題

通過(guò)將橢圓仿射“還圓”，我們嘗試解決這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖2所示，圓O是以原點(diǎn)為圓心半徑為R的一個(gè)圓，圓O與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，在圓O內(nèi)的x軸上有一定點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作一直線分別交圓O為P，Q兩點(diǎn)，連接線段AP，BQ，證明kAP∶kBQ為定值.

證明過(guò)點(diǎn)C作AP的垂線，垂足為M，如圖3所示，則不難得到kAPkBQ=tan∠PACtan∠ABQ=tan∠PACtan∠APC=PMAM=BCAC，

再通過(guò)仿射變換的性質(zhì)，可以立即得到在橢圓之中也存在這個(gè)性質(zhì)，也就是kAPkBQ=BFAF.

三、問(wèn)題再探

通過(guò)剛剛的解題體驗(yàn)，我們不得不再追問(wèn)一下，如果A，B兩點(diǎn)不再是橢圓的端點(diǎn)，而是其長(zhǎng)軸上的任意兩個(gè)定點(diǎn)是否還有以上的結(jié)論，于是我們便見到了如下的試題：圖4如圖4所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=k1x與橢圓E：x29+y24=1交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），過(guò)點(diǎn)F的直線AF，BF分別交橢圓E于點(diǎn)C，D.直線CD交x軸于點(diǎn)G.設(shè)直線CD的斜率為k2，求證：k2k1為定值.

首先證明這樣一個(gè)事實(shí)：上題中直線CD過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，而且這個(gè)定點(diǎn)就是直線CD與x軸的交點(diǎn)G.

為了使問(wèn)題稍顯簡(jiǎn)單，還是先證明在圓中有這樣的結(jié)論：如圖5所示，圓O是以原點(diǎn)為圓心半徑為R的一個(gè)圓，交x軸于點(diǎn)H，I.E，F(xiàn)為x軸上兩個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，分別連接AF，BF并延長(zhǎng)且與圓交于D，C兩點(diǎn)，求證直線CD過(guò)定點(diǎn).

為了證明上述結(jié)論，我們先介紹一下蝴蝶定理的推廣定理：坎迪定理

如圖6所示，過(guò)圓的弦AB上任意一點(diǎn)M引任意兩條弦CD和EF，連接ED，CF交AB于P，Q，若AM=a，BM=b，PM=x，QM=y則有1a-1b=1x-1y，特別地，a=b時(shí)即蝴蝶定理[1].

利用坎迪定理，不難得到1HF-1IF=1EF-1GF，而題目中可以知道點(diǎn)HF，IF，EF均為定長(zhǎng)，那么FG必然為定長(zhǎng)，于是點(diǎn)G即為定點(diǎn).不妨假設(shè)E，F(xiàn)，G三定點(diǎn)坐標(biāo)分別為（e，0），（f，0）（g，0），根據(jù)坎迪定理可以得到1R+f-1R-f=1f-e-1g-f，進(jìn)一步可以得到g=2R2f-e（R2+f2）R2+f2-2ef，這個(gè)結(jié)論與張培強(qiáng)老師在《幾何畫板助力橢圓中的蝴蝶翻飛》一文中得到的結(jié)論是一致的，不同是的是張老師采取的解析的做法，而本文則采用平面幾何知識(shí)證明.另外張老師在文中得到了這樣的結(jié)論：kABkCD=R2-f2R2+f2-2ef.[2]

這個(gè)結(jié)論記憶起來(lái)很不方便，通過(guò)第一道例題我們類比歸納思想，大膽猜測(cè)kABkCD=FGEG，

FGEG=g-ff-e=2R2f-e（R2+g2）R2+f2-2ef-ff-e=R2-f2R2+f2-2ef=kABkCD.

有了以上的結(jié)論，再回顧第二個(gè)問(wèn)題就不難看出k2k1=OFFG，由坎迪定理13-5-13+5=1GF-15算出GF=257，從而k2k1=OFFG=5257=72.

四、問(wèn)題存疑

在解決第二個(gè)問(wèn)題kABkCD=FGEG的過(guò)程中，先是利用了張培強(qiáng)老師的解析證法得到的一個(gè)結(jié)論kABkCD=R2-f2R2+f2-2ef，再說(shuō)明FGEG=R2-f2R2+f2-2ef，從而得到結(jié)論，那么是否能用第一個(gè)問(wèn)題幾何的證明方法直接證明這個(gè)結(jié)論？筆者還沒能得到好的幾何證法！希望各位老師同行能夠不惜賜教！

【參考文獻(xiàn)】

[1]段惠民，饒慶生.坎迪定理在圓錐曲線上的推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2007（3）：15.

[2]張培強(qiáng).幾何畫板助力橢圓中的蝴蝶翻飛[J].數(shù)學(xué)之友，2017（12）：80.