李生彪

摘 要 本文研究在數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)中，構(gòu)造法在定理論證、反例構(gòu)想、不等式證明等方面的一些應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 構(gòu)造法 數(shù)學(xué)分析 應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：O171 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

On the Application of Construction Method in Mathematical Analysis

LI Shengbiao

（Lanzhou University of Arts and Sciences， Lanzhou， Gansu 730000）

Abstract This paper studies in mathematical analysis teaching， some application of construction method in theorem proof， counterexample， inequality proof of concept.

Key words construction method； mathematical analysis； application

0 引言

在數(shù)學(xué)分析課程中，定義、定理和習(xí)題中有大量的存在性問(wèn)題， 證明存在性命題，構(gòu)造法是經(jīng)常用到的一種方法。構(gòu)造法根據(jù)題設(shè)的條件，先構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，使該輔助函數(shù)符合另一個(gè)已經(jīng)證明成立的定理，從而使所求證的命題得以證明。然而，構(gòu)造法一般無(wú)章可循，具有很大的靈活性，沒(méi)有固定的模式，因此，如何才能設(shè)計(jì)和構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，這是構(gòu)造法的關(guān)鍵所在。筆者在講授數(shù)學(xué)分析中微分中值定理等問(wèn)題時(shí)，針對(duì)問(wèn)題的具體特點(diǎn)，總結(jié)出一些構(gòu)造輔助函數(shù)的規(guī)律。本文將結(jié)合實(shí)例具體介紹這一方法及其應(yīng)用。

1 構(gòu)造法在定理證明中的應(yīng)用

1.1 還原法

還原法證明定理的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，構(gòu)造方法一般從定理的結(jié)論出發(fā)，通過(guò)對(duì)已知和結(jié)論的分析，構(gòu)造出輔助函數(shù)。具體的構(gòu)造方法如下：將欲證結(jié)論中的換成，然后對(duì)等式兩端積分，再移項(xiàng)，使等式一端為常數(shù)，則等式的另一端即為輔助函數(shù)。

例1 設(shè) （），（）在[]上是連續(xù)函數(shù)，證明存在（）使 （）（） = （） （）。

分析過(guò)程：將結(jié)論中的換成有

（）（） = （） （），移項(xiàng)得

（）（）（） （） = 0。

即有（ （）·（）） = 0，

兩端積分得 （）·（） = 。

即構(gòu)造輔助函數(shù)（） = （）·（）。

證明：作輔助函數(shù)（）= （）·（），顯然（）在[]上連續(xù)，在（）內(nèi)可導(dǎo)，且有（）= 0 = （），故滿(mǎn)足羅爾定理的三個(gè)條件。由羅爾定理的結(jié)論有，在（）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得（） = 0，可得 （）（）（） （） = 0，即 （）（） = （） （）。

1.2 微分方程法

在此介紹構(gòu)造輔助函數(shù)的另一種常見(jiàn)方法 ——微分方程法，下面結(jié)合實(shí)例介紹這一方法及其應(yīng)用。

例2 設(shè)函數(shù) （）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，證明存在（0，1）使 （1）2 （） + （0） = （）

分析過(guò)程：將結(jié)論中的換成并變形有，（）= 4[ （1）2 （） + （0）]，記 = 4[ （1）2 （） + （0）]得二階微分方程（） = ，解微分方程可得其通解為： （）= + +，作輔助函數(shù)（） = （）。為了使得（）滿(mǎn)足羅爾中值定理的條件，需令（0）=（）=（1）=0，可求得， = （1） （0）， = （0）。故構(gòu)造輔助函數(shù)（） = （） （ （1） （0）） （0）。

證明：記 = 4[ （1）2 （） + （0）]。

作輔助函數(shù)（） = （） （ （1） （0）） （0）。顯然（）在[]上連續(xù)，在（）內(nèi)可導(dǎo)，且（0）=（）=（1） = 0，故滿(mǎn)足羅爾定理的三個(gè)條件。由羅爾定理有，存在（0，），（，1）使得（）=（）= 0，再次使用羅爾定理存在（，）（0，1），使得（）= 0，即（）= ，即（）= 4[ （1）2 （） + （0）]，整理得 （1）2 （） + （0） = （）。

2 構(gòu)造法在構(gòu)造反例中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過(guò)程，是一個(gè)不斷引出問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程。而解決問(wèn)題的過(guò)程通常是給出證明或舉出反例的過(guò)程，因而構(gòu)造反例在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中占有重要的地位。

例如，我們知道二元函數(shù) （）在點(diǎn)（，）處沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在且相等，但 （）不一定在點(diǎn)（，）處連續(xù)，可微，甚至在點(diǎn)（，）處連二重極限也可能不存在，那么如何構(gòu)造出一個(gè)這樣的二元函數(shù)呢？

由數(shù)學(xué)分析的知識(shí)知方向?qū)?shù)只和直線(xiàn)上點(diǎn)（，）的某線(xiàn)性鄰域∣∣= 有關(guān)，存在即可。因此，我們構(gòu)造的函數(shù)要滿(mǎn)足：①對(duì)于>0，在點(diǎn)（，）的任一鄰域∪（，），從發(fā)出的任一方向上的都存在且相等。②在處 （）的極限不存在。這就要求在鄰域∪（，）內(nèi)既要有使相等的線(xiàn)性鄰域，又要有使函數(shù)值不相等的點(diǎn)。依此，我們可構(gòu)造該函數(shù)。因?yàn)?（0，0） = 0，所以。但在點(diǎn)（0，0）的任意鄰域內(nèi)，總能找到使 （） = 1的點(diǎn)，這就說(shuō)明 （）在點(diǎn)（0，0）處的極限不存在，也就不連續(xù)，不可微了。

3 構(gòu)造法在不等式證明中的應(yīng)用

利用構(gòu)造法證明不等式，通常是依據(jù)所證的不等式先構(gòu)造出一個(gè)輔助函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)這一工具證明不等式。

例3 設(shè)函數(shù) （）在[]上可導(dǎo)，且 （）≤， （） = 0。

求證： （）≤。

證明：構(gòu)造輔助函數(shù)（）= （），（<<），則（）= （）（），（） = （）≤0，有（）是單調(diào)遞減函數(shù)，又因?yàn)椋ǎ? （）（） = （），所以當(dāng)≥時(shí)，（）≤（）= 0，有（）是單調(diào)遞減函數(shù)，又因?yàn)椋ǎ? （） = 0，所以（）≤（）= 0。即 （）≤0，故 （）≤。

構(gòu)造法在數(shù)學(xué)分析的證明中有著廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)分析的授課過(guò)程中適當(dāng)?shù)膽?yīng)用構(gòu)造法解決問(wèn)題，對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)新能力是很有意義的。

參考文獻(xiàn)

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