王 波, 胡長松

湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 黃石 435002

Hilbert空間中變分不等式與最小范數(shù)不動點問題的Noor三步算法收斂性研究

王 波, 胡長松

湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 黃石 435002

提出了一個Noor三步算法，該算法找到非擴張映射下的可作為某些變分不等式解的不動點。證明了一個定理并且得到作為定理的一個推論，結(jié)果推廣并改進了最近他人的結(jié)果。

非擴張映射；Noor三步算法；不動點；變分不等式；強收斂

0 引言

假設(shè)H是一Hilbert空間，C為H的一非空閉凸子集。映射T:C→C稱為L-lipschitzian的，即存在一常數(shù)L>0 使得

‖Tx-Ty‖≤L‖x-y‖,?x,y∈C

當(dāng)0

F(T)={x∈C,Tx=x}

我們所熟知的古典變分不等式是指找到一個x*∈C使得

<Φx*,x-x*>≥0,?x∈X

(1)

其中Φ:C→H非線性映射。變分不等式(1)的解記為VI(C,Φ).變分不等式理論在純科學(xué)與應(yīng)用科學(xué)的幾個分支已被廣泛研究。事實上，變分不等式的應(yīng)用跨越許多不同的學(xué)科，諸如，微分方程，實際時間最優(yōu)控制，優(yōu)化，數(shù)學(xué)規(guī)劃，機械及金融(詳細參見[1,2]).為了解決變分不等式及其相關(guān)的最小范數(shù)的解，許多作者已經(jīng)研究了與之相關(guān)的一些算法([3-5])。

最近Sunthrayuth P等提出了如下迭代過程：

xn+1=βnxn+(1-βn)PC[αnγSxn+(I-αnF)Txn],?n≥1

(2)

其中PC是H到C的度量投影算子， {αn},{βn}∈(0,1)，S:C→H是lipschitzian映射，F(xiàn):C→H是可逆正線性算子，T:C→C是非擴張映射。該文的作者證明αn,βn在不同控制條件下，被方程(2)定義的xn強收斂到T的不動點，并且該不動點是某些變分不等式的唯一解。

深受可解決變分不等式的Noor三步算法的啟示，我們改進了先前的一步算法為三步算法，其中包括了兩步算法。最終我們得到一個推論作為定理的特例。

1 預(yù)備知識

定義1 假設(shè)H是一Hilbert空間，C為H的一非空閉凸子集。PC是H到C的度量投影算子，即對每個x∈H存在唯一的PC∈C使得

很容易知道，PC為非擴張映射且滿足如下不等式：

≥‖PCx-PCy‖2,?x,y∈H

與此同時，對所有的x∈H,z∈C，則

z=PCx?≤0,?y∈C

(3)

(4)

引理2[8]若T:C→C非擴張映射且F(T)≠?.如果存在序列{xn}使得xn弱收斂到x∈C，且xn-Txn強收斂到y(tǒng)∈C，則(I-T)x=y.特別的，若y=0，則x∈F(T).

引理3[10]假設(shè){xn},{ln} 為Banach空間中的有界序列，序列βn∈[0,1] 且滿足0

引理4[7]假設(shè){an} 是一非負實數(shù)序列使得

an+1≤(1-σn)an+σnμn,n≥0

其中序列σn∈(0,1)，μn是實數(shù)序列使得

Tnx=PC[λnγSx+(I-λnF)Tx],?x∈C

‖Tnx-Tny‖≤(1-λnδ)‖x-y‖

2 主要結(jié)果

其中實數(shù)序列{λn},{αn},{βn},{γn}∈(0,1)且滿足如下條件：

(F2)limn→∞βn=0,limn→∞|γn+1-γn|=0;

(F3)0

則序列xn強收斂到x*∈F(T)，且為如下變分不等式的解

<(γS-F)x*,v-x*>≤0,?v∈F(T)

(6)

證明 該定理的證明分為五步。

第一步 證明序列{xn},{yn},{zn} 是有界的。令

un=Tn(yn)=PC[λnγSyn+(I-λnF)Tyn]vn=Tn(zn)=PC[λnγSzn+(I-λnF)Tzn]

又

(7)

與之相似的由(5b)，(5c)我們分別得到

(8)

(9)

由于λn,γn,δ∈(0,1)，將(9)代入(8)得

(10)

由于λn,βn,δ∈(0,1)，將(10)代入(7)得

(11)

通過遞推得

同樣的由(9)及(10)我們有

所以 {xn},{yn},{zn}是有界的，并且我們有

{wn},{vn},{γSxn},{γSyn},{γSzn},{FTxn},{FTyn},{FTzn}均是有界的。

第二步 證明

(12)

為了證明(12)我們假設(shè)

M≥max{‖xn‖,‖wn‖,‖vn‖,‖γSxn‖,‖γSyn‖,‖γSzn‖,‖F(xiàn)Txn‖,‖F(xiàn)Tyn‖,‖F(xiàn)Tzn‖}

由(5c)我們有下面的推導(dǎo)

‖zn+1-zn‖=‖(1-γn+1)xn+1+γn+1wn+1-(1-γn)xn-γnwn‖≤

(1-γn+1)‖xn+1-xn‖+|γn+1-γn|‖xn‖+γn+1‖wn+1-wn‖+|γn+1-γn|‖wn‖≤

(1-γn+1)‖xn+1-xn‖+2M|γn+1-γn|+γn+1‖wn+1-wn‖

(13)

由引理5得

‖wn+1-wn‖=‖Tn+1(xn+1)-Tn(xn)‖≤ ‖Tn+1(xn+1)-Tn+1(xn)‖+‖Tn+1(xn)-Tn(xn)‖≤ (1-λn+1δ)‖xn+1-xn‖+‖PC[λn+1γSxn+(I-λn+1F)Txn]-PC[λnγSxn+(I-λnF)Txn]‖≤ (1-λn+1δ)‖xn+1-xn‖+2M|λn+1-λn|

(14)

由γn+1∈(0,1)，將(14)代入(13)得

‖zn+1-zn‖≤(1-γn+1)‖xn+1-xn‖+γn+1[(1-λn+1δ)‖xn+1-xn‖+2M|λn+1-λn|]+ 2M|γn+1-γn|≤ (1-γn+1λn+1δ)‖xn+1-xn‖+2M|λn+1-λn|+2M|γn+1-γn|

(15)

同樣的由(5b)得

‖yn+1-yn‖≤(1-βn+1)‖xn+1-xn‖+βn+1‖vn+1-vn‖+|βn+1-βn|(‖xn‖+‖vn‖)≤ (1-βn+1)‖xn+1-xn‖+βn+1‖vn+1-vn‖+2M|βn+1-βn|

(16)

并且，

‖vn+1-vn‖=‖Tn+1(zn+1)-Tn(zn)‖≤ ‖Tn+1(zn+1)-Tn+1(zn)‖+‖Tn+1(zn)-Tn(zn)‖≤ (1-λn+1δ)‖zn+1-zn‖+2M|λn+1-λn|

(17)

由于λn,βn,γn,δ∈(0,1)，將(15)，(17)代入(16)得

‖yn+1-yn‖≤(1-βn+1)‖xn+1-xn‖+βn+1[(1-λn+1δ)‖zn+1-zn‖+ 2M|λn+1-λn|]+2M|βn+1-βn|≤ (1-βn+1λn+1δ)‖xn+1-xn‖+4M|λn+1-λn|+ 2M|βn+1-βn|+2M|γn+1-γn|

(18)

此外因為λn,βn,δ∈(0,1)，由引理5得

‖un+1-un‖=‖Tn+1(yn+1)-Tn(yn)‖≤ ‖Tn+1(yn+1)-Tn+1(yn)‖+‖Tn+1(yn)-Tn(yn)‖≤ (1-λn+1δ)‖yn+1-yn‖+|λn+1-λn}(‖γSyn‖+‖F(xiàn)Tyn‖)≤ ‖xn+1-xn‖+6M|λn+1-λn|+2M|βn+1-βn|+2M|γn+1-γn|

即 ‖un+1-un‖-‖xn+1-xn‖≤(6|λn+1-λn|+2|βn+1-βn|+2|γn+1-γn|)M

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

觀察到 ‖xn-Txn‖≤‖xn-xn+1‖+‖(1-αn)xn+αnTn(yn)-Txn‖≤ ‖xn-xn+1‖+(1-αn)‖xn-Txn‖+αn‖Tn(yn)-Txn‖

并且

從而

由條件F2，F(xiàn)3及(22)得

(24)

第四步：證明 lim supn→∞<γSx*-Fx*,un-x*>≤0.其中x*與(6)式一樣。

因為{un} 有界，存在{un} 的子列{ui} 使得

lim supn→∞<γSx*-Fx*,un-x*>=lim supi→∞<γSx*-Fx*,ui-x*>

假設(shè)當(dāng)i→∞ 時，ui弱收斂到v.由(21)與(24)及引理2得v∈F(T)且

lim supn→∞<γSx*-Fx*,un-x*>=lim supn→∞<γSx*-Fx*,xn-x*>= lim supi→∞<γSx*-Fx*,xni-x*>= <(γS-F)x*,v-x*>≤0

(25)

第五步：當(dāng)n→∞，xn→x*,x*與(6)式同。令tn=λnγSyn+(I-λnF)Tyn則un=PCtn

由(3)有如下式子：

(26)

(27)

則(27)簡化為

‖xn+1-x*‖2≤(1-τn)‖xn-x*‖2+τnkn

(28)

推論1 在定理1中假設(shè)S≡0,F≡I，其它條件不變，則序列{xn} 收斂到最小范數(shù)不動點x*∈F(T).

[1] Kinderlehrer D W, Stampacchia G.An Introduction to Variational Inequalities and their Applications[M].New York:Academic press Inc ,1980.

[2] Noor M A.General variational inequalities mappings nonexpansive[J]. J Math Anal Appl, 2007,331:810～822.

[3] Yang X, Liou Y C, Yao Y. Finding minimum-norm fixed point of nonexpansive mappings and applications[J]. Math Probl Eng,2011,13,106450.

[4] Cai Y, Tang Y, Liu L.Iterative algorithms for minimum-norm fixed point of non-expansive mapping in Hilbert space[J]. Fixed Point Theory Appl， 2012, 49.

[5]劉 霞,李曉焱,李曉娜.基于平行算法的非擴張映像的最小范數(shù)不動點[J]．成都信息工程學(xué)院學(xué)報,2012,(03):326～328.

[6] Sunthrayuth P, Cho Y J.General iterative algorithms approach to variational inequalities and minimum-norm fixed point for minimization and split feasibility problems, Opsearch[J].Operational Research Society of India.2013.

[7] Dang Y, Gao Yan. The Strong Convergence of a Three-step Algorithm for the Split Feasibility Problem[J].Optim Lett, 2013,7:1325～1339.

[8] Geobel K, Kirk W A.Topics on metric fixed-point theory. In: Cambridge Studies in Advanced Math-ematics[M]．Cambridge: Cambridge Univ Press,2008.

[9] Marino G, Xu H K.A general iterative method for nonexpansive mappings in Hilbert spaces[J]. J Math Anal Appl,2006,318:43～52.

[10] Suzuki T.Strong convergence of Krasnoselskii and Manns type sequence for one Cparameter nonex-pansive semigroup without Bochner integrals[J]. J Math Anal Appl,2005,305: 227～239.

Thestrongconvergenceofathree-stepalgorithmforvariationalinequalitiesandminimum-normfixedpointinHilbertspaces

WANG Bo, HU Chang-song

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002, China)

In this paper,we introduce a Noor three-step algorithm for finding a fixed point of a nonexparsive mapping T,which is a unique solution of some variational inequalities.We prove a therorem and get a corollary as a special case of our therorem.The main results in this paper exterd and inprove the recent ores annouecd by many others.

nonexpansive mapping；Noor three-step method；fixed point ；variational inequality ；strong convergence；Hilbert spac

2014—04—02

王波(1988— )，男，湖北松滋人，研究方向為抽象迭代算法不動點.

O151.21

A

1009-2714(2014)04- 0068- 06

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.04.015