黃振華，周建新

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

非退化二階曲線內(nèi)接完全四點(diǎn)形的性質(zhì)

黃振華，周建新

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

一個(gè)完全四點(diǎn)形的邊上和完全四點(diǎn)形的對(duì)邊三點(diǎn)形的邊上都存在調(diào)和共軛點(diǎn)，討論了當(dāng)完全四點(diǎn)形內(nèi)接于一條非退化的二階曲線時(shí)，它的對(duì)邊三點(diǎn)形的邊上則有多組調(diào)和共軛點(diǎn)，從而存在對(duì)合點(diǎn)組，并且以它的頂點(diǎn)為切點(diǎn)的切線上也存在調(diào)和共軛點(diǎn)。

完全四點(diǎn)形;二階曲線;切線; 調(diào)和共軛;對(duì)合對(duì)應(yīng)

1 基本概念和性質(zhì)

定義1 平面上無三點(diǎn)共線的四個(gè)點(diǎn)及其每兩點(diǎn)連線所構(gòu)成的圖形叫完全四點(diǎn)形。這四個(gè)點(diǎn)叫頂點(diǎn)，每兩點(diǎn)連線叫邊，沒有公共頂點(diǎn)的兩邊叫對(duì)邊，對(duì)邊的交點(diǎn)叫對(duì)邊點(diǎn)。一個(gè)完全四點(diǎn)形有三組對(duì)邊，有三個(gè)對(duì)邊點(diǎn)，三個(gè)對(duì)邊點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三點(diǎn)形，叫這個(gè)三點(diǎn)形為完全四點(diǎn)形的對(duì)邊三點(diǎn)形。

定義2 如果一個(gè)完全四點(diǎn)形的四個(gè)頂點(diǎn)都在一條非退化的二階曲線上，則叫此完全四點(diǎn)形為二階曲線的內(nèi)接完全四點(diǎn)形。

定理1[1]在完全四點(diǎn)形的每條邊上有一組調(diào)和共軛點(diǎn)，其中兩個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另一對(duì)點(diǎn)偶里，一個(gè)點(diǎn)是對(duì)邊點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)是這個(gè)邊與對(duì)邊三點(diǎn)形的邊的交點(diǎn)。

定理2[1]在完全四點(diǎn)形的對(duì)邊三點(diǎn)形的每條邊上有一組調(diào)和共軛點(diǎn)，其中兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)邊點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是這條邊與通過第三個(gè)對(duì)邊點(diǎn)的一組對(duì)邊的交點(diǎn)。

帕斯卡(Pascal)定理 對(duì)于任意內(nèi)接于非退化二階曲線的一個(gè)簡單六點(diǎn)形，它的三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)在一條直線上。這條直線稱為帕斯卡線。

2 二階曲線內(nèi)接完全四點(diǎn)形的性質(zhì)

定理3 內(nèi)接于一條非退化二階曲線的完全四點(diǎn)形，一組對(duì)邊中每條邊上兩個(gè)頂點(diǎn)切線的交點(diǎn)與另兩個(gè)對(duì)邊點(diǎn)共線。

證明 i.如圖1 (a).

設(shè)完全四點(diǎn)形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在非退化二階曲線上，一組對(duì)邊AC和BD每兩頂點(diǎn)切線的交點(diǎn)分別為R,S，另兩組對(duì)邊的對(duì)邊點(diǎn)為P,Q.將四點(diǎn)A,B,C,D重新編號(hào)P1,P2,P3,P4,P5,P6.

當(dāng)P1,P6表示同一點(diǎn)A，P2表示點(diǎn)B，P3,P4表示同一點(diǎn)C，P5表示點(diǎn)D時(shí)，由帕斯卡定理，對(duì)于內(nèi)接于非退化二階曲線的簡單六點(diǎn)形P1P2P3P4P5P6，可得P,Q,R三點(diǎn)共線；

當(dāng)P1表示點(diǎn)A，P2,P3表示同一點(diǎn)B，P4表示點(diǎn)C，P5,P6表示同一點(diǎn)D時(shí)，由帕斯卡定理，對(duì)于內(nèi)接于非退化二階曲線的簡單六點(diǎn)形P1P2P3P4P5P6，可得P,S,Q三點(diǎn)共線；所以，P,Q,R,S四點(diǎn)共線PQ.

ii.如圖1(b)

圖1 定理3示意圖

設(shè)完全四點(diǎn)形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在非退化二階曲線上，一組對(duì)邊AD和BC每兩頂點(diǎn)切線的交點(diǎn)分別為R,S，另兩組對(duì)邊的對(duì)邊點(diǎn)為P,Q.將四點(diǎn)A,B,C,D重新編號(hào)P1,P2,P3,P4,P5,P6.

當(dāng)P1表示點(diǎn)A，P2,P3表示同一點(diǎn)C，P4表示點(diǎn)D，P5,P6表示同一點(diǎn)B時(shí)，由帕斯卡定理，對(duì)于內(nèi)接于非退化二階曲線的簡單六點(diǎn)形P1P2P3P4P5P6，可得Q,S,P三點(diǎn)共線；

當(dāng)P1,P6表示同一點(diǎn)A，P2表示點(diǎn)C，P3,P4表示同一點(diǎn)D，P5表示點(diǎn)B時(shí)，由帕斯卡定理，對(duì)于內(nèi)接于非退化二階曲線的簡單六點(diǎn)形P1P2P3P4P5P6，可得Q,P,R三點(diǎn)共線；所以，P,Q,R,S四點(diǎn)共線PQ.

iii. 如圖1(c)

設(shè)完全四點(diǎn)形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在非退化二階曲線上，一組對(duì)邊AB和CD每兩頂點(diǎn)切線的交點(diǎn)分別為R,S，另兩組對(duì)邊的對(duì)邊點(diǎn)為P,Q.與ⅱ同理可得，P,Q,R,S四點(diǎn)共線PQ.

定理4 內(nèi)接于一條非退化二階曲線的完全四點(diǎn)形，兩個(gè)對(duì)邊點(diǎn)與第三組對(duì)邊的每條邊上兩個(gè)頂點(diǎn)切線的交點(diǎn)調(diào)和共軛。

證明 如圖2

圖2 定理4示意圖

設(shè)完全四點(diǎn)形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在一條非退化二階曲線上，P,Q是兩個(gè)對(duì)邊點(diǎn)，第三組對(duì)邊AC和BD每條邊上兩頂點(diǎn)切線的交點(diǎn)分別為R，S由定理3得，P,Q,R,S四點(diǎn)共線PQ，又設(shè)AC交BD于O，PQ交BD于H，CR交DS于M，即M為邊CD兩頂點(diǎn)切線的交點(diǎn)，由定理3得，M在直線OQ上；再設(shè)AD交CR于N，則C,M,N,R共線CR，所以有，

定理5 內(nèi)接于一條非退化二階曲線的完全四點(diǎn)形的對(duì)邊三點(diǎn)形的每條邊上有一組對(duì)合點(diǎn)偶，其中一對(duì)點(diǎn)偶是兩個(gè)對(duì)邊點(diǎn)，另兩對(duì)點(diǎn)偶的每對(duì)中，一個(gè)點(diǎn)是這條邊與完全四點(diǎn)形第三組對(duì)邊中一條邊的交點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)是完全四點(diǎn)形第三組對(duì)邊中另一條邊上兩頂點(diǎn)切線的交點(diǎn)。

證明 如圖3

圖3 定理5示意圖

定理6 內(nèi)接于一條非退化二階曲線的完全四點(diǎn)形以一個(gè)頂點(diǎn)為切點(diǎn)的切線上有一組調(diào)和共軛點(diǎn)，其中兩個(gè)點(diǎn)是這個(gè)切點(diǎn)相鄰兩頂點(diǎn)切線與這條切線的交點(diǎn)，另一對(duì)點(diǎn)偶里，一個(gè)點(diǎn)是這個(gè)切點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)是這個(gè)切點(diǎn)相鄰兩頂點(diǎn)所在邊與這條切線的交點(diǎn)。

圖4 定理6示意圖

[1]梅向明，劉增賢.高等幾何[M].北京:高等教育出版社，2008.

[2]梅向明，劉增賢.高等幾何學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題選解[M].北京:高等教育出版社，2003.

[3]孟令江. 非退化二次曲線自共軛極線與極點(diǎn)的射影確定[J]. 河北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，(2)：139～141.

Charactoristicofcompletequadrangleinscribedinsecondordercurve

HUANG Zhen-hua,ZHOU Jian-xin

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

There are harmonic conjugate points on the edge of a complete quadrangle and its diagonal triangle. In this paper, we discussed about the circumstance when the complete quadrangle inscribed in a nondegenerate second order curve, there were multigroup harmonic conjugate points on the edge of its diagonal triangle. There are involution point groups and some harmonic conjugate points on tangent lines with the complete quadrangle's vertices as tangency point.

complete quadrangle; second order curve; tangent; harmonic conjugate; involutive correspondence

2014—07—02

黃振華(1960— )，男，湖北黃石人，副教授，主要研究方向?yàn)閹缀谓虒W(xué)與研究.

O185.1

A

1009-2714(2014)04- 0049- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.04.011