劉 翙，徐麗麗

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 黃石 435002)

脈沖隨機(jī)微分方程的 a.s.指數(shù)穩(wěn)定性

劉 翙，徐麗麗

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 黃石 435002)

基于It隨機(jī)微積分理論，運(yùn)用Lyapunov函數(shù)的方法，Borel-Cantelli引理及隨機(jī)分析技巧得到了帶脈沖隨機(jī)微分方程零解a.s.指數(shù)穩(wěn)定的條件.

隨機(jī)微分方程；脈沖； a.s指數(shù)穩(wěn)定

近幾十年來，SDE在物理、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)、控制理論等多個學(xué)科領(lǐng)域已經(jīng)被廣泛研究.SDE在期權(quán)定價、人口預(yù)測和最優(yōu)投資策略的確定等方面發(fā)揮著重要作用.然而，對于那些除了受Gauss白噪聲影響以外還受到一些重要因素影響的模型，我們不能用經(jīng)典的隨機(jī)微分方程模型來建模.因此，為了對這一類現(xiàn)象進(jìn)行建模，提出了帶跳的隨機(jī)微分方程.

Wu Han和Ming[1]首次提出了由一般的隨機(jī)序列 {ξk}驅(qū)動的帶跳的隨機(jī)微分方程

(1)

其中 {tk}是一個實數(shù)序列，表示脈沖時刻，即x(tk)發(fā)生劇烈變化的時刻，滿足t0

1 預(yù)備知識

本文中會用到的記號和定義如下：

1)設(shè)y為一向量， |·|表示其歐幾里得范數(shù).

3)假設(shè)B(t)是一m維的布朗運(yùn)動.

4)E=Ep表示概率測度p的期望.

考慮如下脈沖隨機(jī)微分方程：

(2)

其中

t∈[t0,∞),t0

f:[t0,∞)×n→n,f(t,0)≡0,t≥t0,

g:[0,∞)×n→n×m,g(t,0)≡0,t≥t0,

△x(t)表示x在時刻t的躍變即 △x(t)=x(t+)-x(t-)=x(t)-x(t-),

Ik:n→n,Ik(0)=0,x0是一個獨立于B(s),s>0 的隨機(jī)變量.

對于方程(2)，假設(shè)下面條件H成立：

H：存在唯一的右連左極隨機(jī)過程x(t)滿足(2)且

E|x(t,t0,x0)|p<∞,p>0,t≥t0

定義1 設(shè)p>0 若?x0∈d,x(t,x0)有負(fù)的Lyapunov指數(shù)，即

則方程(2)零解a.s. 指數(shù)穩(wěn)定.

為了研究(2)的穩(wěn)定性，現(xiàn)引進(jìn)一些重要的記號.

c1,2(表示在×n上的所有對t一次可微，對x連續(xù)二次可微的非負(fù)函數(shù)v(t,x)族.對每一個v(t,x)∈c1,2(定義(2)上的一個無窮小算子Lvi,i=1,2,…,l

其中

2 主要結(jié)果

本節(jié)將討論(2)的零解a.s. 指數(shù)穩(wěn)定性，在給出主要結(jié)果之前先給出一個引理.

引理1 設(shè)β(t):[t0,∞)→上的可積函數(shù).對(2)如果存在v(t,x)∈c1,2(使得

則有

證明 令h>0 充分小，使得t,t+h∈[τk-1,τk)，由廣義It公式，有

D+m(t)表示m(t)的迪尼導(dǎo)數(shù)，則由上式知D+m(t)≤β(t)m(t),則

引理證畢.

定理1 設(shè)a1,a2,λ,K為正實數(shù)，λ1(t),dk(t)[t0,∞)→為 可積函數(shù).如果存在v(t,x)∈c1,2(使得以下條件滿足

v)|xTf(t,x)|∨|g(t,x)|2≤K|x|2,t≥0,x∈Rd,t≠τk.

則方程(2)的零解a.s. 指數(shù)穩(wěn)定.

證明 由iv)，存在M>0,使得

對t∈[t0,τ1)，由引理1及條件i)和iii)可得

(3)

下面證明t∈[τm-1,τm),m∈N,有

(4)

假設(shè)當(dāng)t∈[τm-1,τm),m=k時(4)成立，即

(5)

當(dāng)t=τk時，由ii)得

則當(dāng)t∈[τk,τk+1)，由引理1，有

(6)

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，由(3)(5)(6)知(4)對所有t∈[τm-1,τm),m∈N都成立，即

由i)得

即

由iv)得

代入上式可得E|x(t)|p

E|x(t)|p≤conste-λt(t≥t0)

(7)

若證得

(8)

由定義1知即證得(2)的零解 a.s.指數(shù)穩(wěn)定.

若要證(8)，只要指明，對幾乎所有w∈Ω,?ε>0，有 |x(t)|p≤conste(-λ+ε)t，t充分大,取定τ>0，將以上不等式轉(zhuǎn)化為如下離散不等式：

(9)

由Chebyshev不等式

若能得出矩估計

(10)

即bnenτ(-λ+ε)≤constenτ(-λ)，則bn≤conste-nτε

對上式應(yīng)用Borel-Cantelli引理得

下面將證明(10)成立。

取定τ=1，估計hn由v)、BDG不等式及(7)可得

則hn≤const·en(-λ).

又t0<τ1<τ2<…<τk<…,τk→∞,{τk} 為一可列集，其測度為零.t=τk時(8)仍然成立.

由定義1知方程(2)的零解 a.s.指數(shù)穩(wěn)定.定理證畢.

[1]Wu S J,Han D,Meng X Z. p-moment stability of stochastic differential equations with jumps[J].Applied Mathematics and Computation,2004,152:505～519.

[2]Wu H T,Sun J T.p -moment stability of stochastic differential equationswith impulsive jump and Markovian switching[J].Automatica,2006,42:1753～1759.

[3]Liu B.Stability of solutions for stochastic impulsive systems via comparison approach[J].IEEE Trans Autom Control,2008,53:2128～2133.

[4]Shen L J,Sun J T.p -moment exponential stability of stochastic differential equations with impulse effect[J].Science China,2001,54:1702～1711.

[5]吳述金，韓 東.隨機(jī)脈沖隨機(jī)微分方程解的存在唯一性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2008，51:1041～1052.

[6]胡適耕，黃乘明．隨機(jī)微分方程[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

Thealmostsurelyexponentialstabilityofstochasticdifferentialequationswithimpulseeffect

LIU Hui , XU Li-li

(College of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Huangshi 435002,China)

This paper is devoted to the stability of stochastic differential equations with impulse effect.Based on the theory of It's stochastic calulus,the almost surely exponential stability of stochastic differential equations with impulse effect is addressed.By employing the method of vector Lyapunov functions, Borel-Cantelli lemma and some techinques in stochastic analysis some sufficient conditions for the almost surely exponential stability are established.

stochastic differential equations; impulse effect; almost surely exponential stability

2014—05—20

劉翙(1989— )，女，湖北襄陽人，碩士研究生，研究方向為隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性.

O211

A

1009-2714(2014)04- 0063- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.04.014