李金星，張道華，朱國(guó)良，劉 飛

(湖北師范學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

考慮次近鄰作用原子鏈的熱傳導(dǎo)研究

李金星，張道華，朱國(guó)良，劉 飛

(湖北師范學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

運(yùn)用Ford-Kac-Mazur(FKM)方法和數(shù)值模擬對(duì)考慮次近鄰作用的一維介電原子鏈進(jìn)行了研究。在一定的條件下得到了熱流的具體表達(dá)式，給出了不同條件下熱流隨體系大小的變化趨勢(shì)，分析了次近鄰相互作用和質(zhì)量梯度對(duì)熱流的影響。結(jié)果表明次近鄰作用對(duì)于熱流的調(diào)節(jié)不明顯，而構(gòu)建材料的不對(duì)稱結(jié)構(gòu)(質(zhì)量梯度調(diào)節(jié))可作為熱傳導(dǎo)控制的有效手段。

熱傳導(dǎo)；低維系統(tǒng)；次近鄰作用

低維系統(tǒng)中的熱傳輸特性無論是在非線性動(dòng)力學(xué)、碳納米科學(xué)還是在非平衡統(tǒng)計(jì)物理中都是非常感興趣的一個(gè)問題，近些年已經(jīng)引起了大量學(xué)者的注意[1～4]。近年來，人們已經(jīng)采用不同的模型、方法對(duì)低維系統(tǒng)中感興趣的物理量進(jìn)行了一些研究，如熱流、熱導(dǎo)率、溫度等[5～8]。由于研究方法的改進(jìn)，這一問題的研究取得了不少進(jìn)展，這為納米材料和熱控器件的制作提供了一定的理論指導(dǎo)。實(shí)驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展，特別是納米科學(xué)(如納米溫度計(jì)的出現(xiàn))，為低維系統(tǒng)能量輸運(yùn)問題提供了可能的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[9～15]，因此這方面的研究令人矚目，具有重要的研究意義。

目前對(duì)于固體熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的研究，主要集中在低維晶格[3]。一方面的原因是，對(duì)于一維晶格體系的數(shù)學(xué)描述已經(jīng)很復(fù)雜，尤其是當(dāng)晶格之間的相互作用是非線性的時(shí)候，數(shù)學(xué)上的處理具有較大的難度；另外一方面，數(shù)值模擬需要晶格有足夠的尺寸以消除邊界的影響，這也限制了晶格的維數(shù)不能太高。宏觀的熱傳導(dǎo)規(guī)律一般遵循傅里葉定律。傅立葉熱傳導(dǎo)定律指出，對(duì)于熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，當(dāng)溫度梯度很小的時(shí)候，熱流與溫度梯度成正比，熱傳導(dǎo)系數(shù)κ應(yīng)該是一個(gè)與物質(zhì)的尺度無關(guān)的常量，也就是熱流和物質(zhì)的尺度N的關(guān)系為J∝1/N.近20年的大量研究表明這一點(diǎn)并不是都成立[3,8]，特別是在介觀和微觀系統(tǒng)中，熱流與物質(zhì)尺度間的關(guān)系通常改寫為J∝1/Nα，這里α隨邊界條件和熱源等因素的不同而發(fā)生變化，這使對(duì)低維系統(tǒng)的熱傳導(dǎo)的研究變得很有意義。在大量的研究中，人們主要考慮近鄰作用和有外場(chǎng)調(diào)節(jié)的情況，很少涉及次近鄰作用。那么次近鄰作用對(duì)熱傳導(dǎo)到底有沒有影響，如果有，影響有多大呢？本文將對(duì)這一問題進(jìn)行討論。

1 模型和方法

我們考慮的系統(tǒng)是弱非線性最近鄰與次近鄰作用的一維原子鏈系統(tǒng)。其兩端分別與溫度為TL和TR的熱源相連接，其總的Hamiltonian可以表示為：

(1)

其中xl是第l粒子偏離平衡位置的位移，pl是第l個(gè)粒子的動(dòng)量，ml是第l個(gè)的粒子的隨機(jī)質(zhì)量，α、β分別為近鄰作用和次近鄰作用強(qiáng)度。系統(tǒng)的第1個(gè)和第N格點(diǎn)分別與左右熱源相連接。左右熱源的溫度分別用TL和TR表示。對(duì)于每個(gè)熱源，我們都用M個(gè)諧振子來描述，左邊熱源的哈密通量可表示為[8]：

(2)

(3)

通過Heisenberg運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)于上述系統(tǒng)可以得到(自然單位 ?=1)：

(4)

對(duì)左邊熱源應(yīng)用運(yùn)動(dòng)方程可得到：

(5)

通過海森堡運(yùn)動(dòng)方程和傅里葉變換我們可以得到xl的通解：

(6)

這里有

hl(ω)=μh(ω)δl,1+μ'h'(ω)δl,N

(7)

通過連續(xù)性方程：

?μ/?t+?J/?x=0

我們可以得到：

(8)

將(6)代入(8)可得：

(9)

利用(9)式，在一定的條件下可以對(duì)熱流進(jìn)行模擬計(jì)算。類似地，我們可以得到熱導(dǎo)率和局域動(dòng)能的表達(dá)式，為了簡(jiǎn)便起見這里不作詳述。

2 數(shù)值分析和結(jié)論

(10)

通過對(duì)式(10)的模擬計(jì)算可得到圖1圖形：

圖1 熱流密度和頻率之間的關(guān)系圖，TL=1.0 ,TR=0.1,N=20 ,μ=μ'=1,α=1.0,β=0和β=0.2

圖1是熱流密度的頻譜圖，給出了頻率和熱流密度的關(guān)系曲線。從圖中我們可以看出，不管有沒有次近鄰作用，對(duì)熱流有主要貢獻(xiàn)的是低頻振動(dòng)，存在上限；頻譜圖的峰值數(shù)對(duì)應(yīng)晶格振動(dòng)模式數(shù)，這里N=20，每個(gè)原子的自由度為1，除去兩端和熱源相連的原子，總自由度為18，圖中也存在18個(gè)峰值，這和理論吻合。另外在考慮次近鄰作用時(shí)，晶格振動(dòng)模式數(shù)不變，僅僅是頻率受到次近鄰作用而發(fā)生了偏移。

圖2、3是不同情況下的J-N曲線。從圖2中我們可以看出，隨著次近鄰作用強(qiáng)度的增加，熱流在變小，說明次近鄰對(duì)熱傳導(dǎo)還是有一定的影響；另外，隨著次近鄰強(qiáng)度增大到某一數(shù)值時(shí)，J-N曲線出現(xiàn)不平滑的反?，F(xiàn)象。這一現(xiàn)象我們可以這樣理解，在物理學(xué)中，萬有引力(或電荷之間的作用力)F和物體之間的距離(兩電荷之間的距離)R之間滿足：

(11)

類比(11)式，晶格中粒子之間的相互作用強(qiáng)度也滿足類似的比例關(guān)系。這里用a表示晶格常數(shù)，考慮近鄰作用時(shí)，相互作用距離可近似用a表示，次近鄰作用距離可近似用2a表示，次近鄰作用強(qiáng)度應(yīng)該小于或等于1/4倍的近鄰作用才比較合理。此處取α=1，則次近鄰作用強(qiáng)度取值應(yīng)該滿足β≤1/4，這說明次近鄰作用強(qiáng)度不能無限制加大，只能在某一范圍內(nèi)起作用，這和圖2所示吻合的很好，當(dāng)β>1/4 時(shí)就會(huì)出現(xiàn)不平滑的反?，F(xiàn)象，這是不合理的。另外，對(duì)比圖2(a)和(b)不難看出，小的質(zhì)量梯度δm=0.1 對(duì)熱流的影響不明顯。

圖3反應(yīng)了質(zhì)量梯度對(duì)熱流的影響。從圖3中可以看出，考慮和不考慮次近鄰作用，質(zhì)量梯度的變化對(duì)熱流的影響明顯不一樣。不考慮次近鄰作用時(shí)，熱流隨質(zhì)量梯度的增加而顯著減小，一旦考慮次近鄰，即使次近鄰作用比較小，如圖3(b)時(shí)，β=0.05質(zhì)量梯度的影響也不明顯，其中m=0,0.1時(shí),J-N曲線甚至基本重合。

圖2 次近鄰相互作用發(fā)生變化，質(zhì)量梯度為δm=0 (a)和 δm=0.1(b)時(shí)，熱流 和 體系大小N之間的變化曲線。次近鄰作用大小分別取β=0,0.10,0.25,0.50,1.00,TL=1.0，TR=0.5，μ=μ'=1

圖3 質(zhì)量梯度發(fā)生變化，次近鄰作用為 β=0(a)和β=0.05 (b)時(shí)，熱流 和體系大小 N之間的變化曲線。質(zhì)量梯度分別取m=0,0.1,0.5,1.0,TL=1.0，TR=0.5,μ=μ'=1

上面頻譜分析再次表明，晶體振動(dòng)模式數(shù)和體系粒子數(shù)相同，并且只有低頻部分才對(duì)熱傳導(dǎo)有貢獻(xiàn)。 J-N曲線則表明，由于次近鄰作用強(qiáng)度只能取小值，對(duì)熱流的影響不明顯，不能有效的對(duì)熱傳導(dǎo)進(jìn)行調(diào)節(jié)，而質(zhì)量梯度大小的調(diào)節(jié)則沒有限制，對(duì)熱流的影響顯著，已經(jīng)成為熱傳導(dǎo)控制的有效手段之一。

3 總結(jié)

本文運(yùn)用Ford-Kac-Mazur(FKM)方法和數(shù)值模擬對(duì)考慮次近鄰作用的一維介電原子鏈進(jìn)行了研究。在一定的條件下得到了熱流的具體表達(dá)式，給出了不同條件下熱流隨體系大小的變化趨勢(shì)，分析了次近鄰相互作用和質(zhì)量梯度對(duì)熱傳導(dǎo)的影響。結(jié)果再次驗(yàn)證了晶體振動(dòng)模式數(shù)和體系自由度數(shù)相同，并且只有低頻部分才對(duì)熱傳導(dǎo)有貢獻(xiàn)。另外，次近鄰作用強(qiáng)度不能取得太大，而在取較小值時(shí)對(duì)于熱流的影響不明顯，這也是很多情況下沒有考慮次近鄰作用的原因。通過質(zhì)量梯度的調(diào)節(jié)還發(fā)現(xiàn)，質(zhì)量梯度的變化對(duì)熱流有較大的影響，因此構(gòu)建材料的不對(duì)稱結(jié)構(gòu)可作為熱傳導(dǎo)控制的有效手段。

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Studyofthermalconductionofatomicchainwiththesecondnearestneighborinteraction

LI Jin-xing, ZHANG Dao-hua, ZHU Guo-liang, LIU Fei

(College of Physics and Electronics Science, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

The process of heat conduction in one-dimensional dielectric chains with the second nearest neighbor interaction were studied by the means of Ford-Kac-Mazur(FKM)and numerical simulation.We obtained the specific expression of heat current under the certain conditions. By numerical simulation, we get the picture of heat current verse to system size under different conditions. Analyzed the affects of heat current by second nearest neighbor interaction and mass gradient. It is shown that the role of second nearest neighbor interaction for heat conduction is not obvious.And build asymmetric structural materials (mass gradients adjustment)can be used as an effective means of controlling thermal conductivity.

thermal conductivity; 1D systems;second nearest neighbor interaction

2014—09—17

湖北省教育廳項(xiàng)目(Q20132507);湖北師范學(xué)院青年項(xiàng)目(2010C18)

李金星(1980— )，男，湖北大悟人，碩士，實(shí)驗(yàn)師，研究方向?yàn)榈途S系統(tǒng)的熱傳導(dǎo)，物理實(shí)驗(yàn).

O415

A

1009-2714(2014)04- 0007- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.04.002