肖愛(ài)國(guó)

函數(shù)的思想，就是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)，使問(wèn)題得到解決；方程與函數(shù)是兩個(gè)不同概念，但他們之間有著密切的聯(lián)系.方程f（x）=0的解就是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即函數(shù)f（x）的零點(diǎn).若設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），則根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，可得到三個(gè)等價(jià)式：

函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)方程f（x）-g（x）=0的根函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

合理運(yùn)用這三個(gè)等價(jià)關(guān)系，能解決函數(shù)問(wèn)題中零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，方程的根滿足的條件及函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo)位置等問(wèn)題.

1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化

1.1方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)

當(dāng)方程f（x）-g（x）=0的根無(wú)法求出（也不需要求出具體的根）時(shí)，而要求方程f（x）-g（x）=0的根的個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理，可得出方程根的情況.

例1（2014屆山東濟(jì)寧高三聯(lián)考）設(shè)f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，f（1）>0.

（1）求ba的取值范圍；

（2）判斷方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù).

分析第二問(wèn)判定方程根的個(gè)數(shù)，由于方程的根無(wú)法求出，利用解方程的方法無(wú)法求出在區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)，因此需要利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題.

1.2函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根

當(dāng)函數(shù)的零點(diǎn)無(wú)法利用零點(diǎn)存在定理判斷時(shí)，可利用等價(jià)轉(zhuǎn)化關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程根的分布情況.

2方程的根與兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化

2.1方程的根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題

當(dāng)方程f（x）-g（x）=0是現(xiàn)有知識(shí)無(wú)法求解時(shí)，要判斷方程的根的個(gè)數(shù)或方程根滿足的條件時(shí)，常需將方程拆分成兩個(gè)函數(shù)y=f（x）與y=g（x），通過(guò)兩個(gè)函數(shù)的大致圖像，來(lái)找到根的個(gè)數(shù)或方程根滿足的條件.

2.2兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根

當(dāng)函數(shù)f（x）與g（x）的圖像無(wú)法畫(huà)出，或通過(guò)兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)無(wú)法判斷參數(shù)的取值范圍時(shí)，則需要將函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點(diǎn)情況，轉(zhuǎn)化為方程f（x）-g（x）=0根的情況來(lái)解.

3函數(shù)的零點(diǎn)與兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化

3.1函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)

函數(shù)的零點(diǎn)存在定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上零點(diǎn)是否存在，但無(wú)法判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，更無(wú)法通過(guò)零點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)解決參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題.因此，與函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題.

問(wèn)題.

評(píng)注利用兩個(gè)函數(shù)的圖像來(lái)分析交點(diǎn)的情況，只能從大致的圖像中得出一些粗略的結(jié)論，但要更細(xì)化的結(jié)果，還是需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)，利用零點(diǎn)存在定理，有時(shí)還需結(jié)合二分法來(lái)解決.

函數(shù)的思想，就是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)，使問(wèn)題得到解決；方程與函數(shù)是兩個(gè)不同概念，但他們之間有著密切的聯(lián)系.方程f（x）=0的解就是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即函數(shù)f（x）的零點(diǎn).若設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），則根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，可得到三個(gè)等價(jià)式：

函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)方程f（x）-g（x）=0的根函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

合理運(yùn)用這三個(gè)等價(jià)關(guān)系，能解決函數(shù)問(wèn)題中零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，方程的根滿足的條件及函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo)位置等問(wèn)題.

1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化

1.1方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)

當(dāng)方程f（x）-g（x）=0的根無(wú)法求出（也不需要求出具體的根）時(shí)，而要求方程f（x）-g（x）=0的根的個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理，可得出方程根的情況.

例1（2014屆山東濟(jì)寧高三聯(lián)考）設(shè)f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，f（1）>0.

（1）求ba的取值范圍；

（2）判斷方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù).

分析第二問(wèn)判定方程根的個(gè)數(shù)，由于方程的根無(wú)法求出，利用解方程的方法無(wú)法求出在區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)，因此需要利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題.

1.2函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根

當(dāng)函數(shù)的零點(diǎn)無(wú)法利用零點(diǎn)存在定理判斷時(shí)，可利用等價(jià)轉(zhuǎn)化關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程根的分布情況.

2方程的根與兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化

2.1方程的根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題

當(dāng)方程f（x）-g（x）=0是現(xiàn)有知識(shí)無(wú)法求解時(shí)，要判斷方程的根的個(gè)數(shù)或方程根滿足的條件時(shí)，常需將方程拆分成兩個(gè)函數(shù)y=f（x）與y=g（x），通過(guò)兩個(gè)函數(shù)的大致圖像，來(lái)找到根的個(gè)數(shù)或方程根滿足的條件.

2.2兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根

當(dāng)函數(shù)f（x）與g（x）的圖像無(wú)法畫(huà)出，或通過(guò)兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)無(wú)法判斷參數(shù)的取值范圍時(shí)，則需要將函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點(diǎn)情況，轉(zhuǎn)化為方程f（x）-g（x）=0根的情況來(lái)解.

3函數(shù)的零點(diǎn)與兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化

3.1函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)

函數(shù)的零點(diǎn)存在定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上零點(diǎn)是否存在，但無(wú)法判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，更無(wú)法通過(guò)零點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)解決參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題.因此，與函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題.

問(wèn)題.

評(píng)注利用兩個(gè)函數(shù)的圖像來(lái)分析交點(diǎn)的情況，只能從大致的圖像中得出一些粗略的結(jié)論，但要更細(xì)化的結(jié)果，還是需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)，利用零點(diǎn)存在定理，有時(shí)還需結(jié)合二分法來(lái)解決.

函數(shù)的思想，就是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)，使問(wèn)題得到解決；方程與函數(shù)是兩個(gè)不同概念，但他們之間有著密切的聯(lián)系.方程f（x）=0的解就是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即函數(shù)f（x）的零點(diǎn).若設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），則根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，可得到三個(gè)等價(jià)式：

函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)方程f（x）-g（x）=0的根函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

合理運(yùn)用這三個(gè)等價(jià)關(guān)系，能解決函數(shù)問(wèn)題中零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，方程的根滿足的條件及函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo)位置等問(wèn)題.

1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化

1.1方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)

當(dāng)方程f（x）-g（x）=0的根無(wú)法求出（也不需要求出具體的根）時(shí)，而要求方程f（x）-g（x）=0的根的個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理，可得出方程根的情況.

例1（2014屆山東濟(jì)寧高三聯(lián)考）設(shè)f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，f（1）>0.

（1）求ba的取值范圍；

（2）判斷方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù).

分析第二問(wèn)判定方程根的個(gè)數(shù)，由于方程的根無(wú)法求出，利用解方程的方法無(wú)法求出在區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)，因此需要利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題.

1.2函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根

當(dāng)函數(shù)的零點(diǎn)無(wú)法利用零點(diǎn)存在定理判斷時(shí)，可利用等價(jià)轉(zhuǎn)化關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程根的分布情況.

2方程的根與兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化

2.1方程的根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題

當(dāng)方程f（x）-g（x）=0是現(xiàn)有知識(shí)無(wú)法求解時(shí)，要判斷方程的根的個(gè)數(shù)或方程根滿足的條件時(shí)，常需將方程拆分成兩個(gè)函數(shù)y=f（x）與y=g（x），通過(guò)兩個(gè)函數(shù)的大致圖像，來(lái)找到根的個(gè)數(shù)或方程根滿足的條件.

2.2兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根

當(dāng)函數(shù)f（x）與g（x）的圖像無(wú)法畫(huà)出，或通過(guò)兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)無(wú)法判斷參數(shù)的取值范圍時(shí)，則需要將函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點(diǎn)情況，轉(zhuǎn)化為方程f（x）-g（x）=0根的情況來(lái)解.

3函數(shù)的零點(diǎn)與兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化

3.1函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)

函數(shù)的零點(diǎn)存在定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上零點(diǎn)是否存在，但無(wú)法判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，更無(wú)法通過(guò)零點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)解決參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題.因此，與函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題.

問(wèn)題.

評(píng)注利用兩個(gè)函數(shù)的圖像來(lái)分析交點(diǎn)的情況，只能從大致的圖像中得出一些粗略的結(jié)論，但要更細(xì)化的結(jié)果，還是需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)，利用零點(diǎn)存在定理，有時(shí)還需結(jié)合二分法來(lái)解決.