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        拋物線切線的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)

        2014-08-19 06:26:33楊堯偉
        關(guān)鍵詞:切線拋物線比值

        楊堯偉

        優(yōu)美性質(zhì)拋物線C在點(diǎn)D處的切線為m,和直線m平行的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn),則直線l與拋物線所圍封閉圖形的面積和△DAB面積的比值為4∶3.

        為證明此性質(zhì),先證明性質(zhì)1.

        性質(zhì)1 直線l:y=kx+m與拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則直線與拋物線所圍成封閉圖形的面積為:線段AB在x軸上投影的立方的六分之一乘以二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值,即∫x1x2(kx+m-ax2-bx-c)dx=ax1-x236或∫x1x2(kx+m-ax2-bx-c)dx=

        a(x1+x2)2-4x1x236.(利用韋達(dá)定理)

        所以結(jié)論成立.

        優(yōu)美性質(zhì)證明僅以拋物線x2=2py(p>0)為例證明,其它情況同理可證.

        設(shè)直線l:y=kx+m,D(x0,y0),則由導(dǎo)數(shù)知識(shí)得x0p=k,所以D(pk,pk22),記D到直線l的距離為d.

        由性質(zhì)1得直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積為112px1-x23,顯然直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積與△DAB面積比值為4∶3.

        通過(guò)上述性質(zhì)的證明過(guò)程可以看出,利用定積分求面積時(shí),有時(shí)并不需要把交點(diǎn)坐標(biāo)具體求出來(lái),只要充分利用兩曲線聯(lián)立后的方程就可以進(jìn)行整體代換,這樣就把設(shè)而不求的方法運(yùn)用得恰到好處.由此性質(zhì)可以看出,不規(guī)則圖形總可以轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求面積,其它曲線也理應(yīng)如此.

        優(yōu)美性質(zhì)拋物線C在點(diǎn)D處的切線為m,和直線m平行的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn),則直線l與拋物線所圍封閉圖形的面積和△DAB面積的比值為4∶3.

        為證明此性質(zhì),先證明性質(zhì)1.

        性質(zhì)1 直線l:y=kx+m與拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則直線與拋物線所圍成封閉圖形的面積為:線段AB在x軸上投影的立方的六分之一乘以二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值,即∫x1x2(kx+m-ax2-bx-c)dx=ax1-x236或∫x1x2(kx+m-ax2-bx-c)dx=

        a(x1+x2)2-4x1x236.(利用韋達(dá)定理)

        所以結(jié)論成立.

        優(yōu)美性質(zhì)證明僅以拋物線x2=2py(p>0)為例證明,其它情況同理可證.

        設(shè)直線l:y=kx+m,D(x0,y0),則由導(dǎo)數(shù)知識(shí)得x0p=k,所以D(pk,pk22),記D到直線l的距離為d.

        由性質(zhì)1得直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積為112px1-x23,顯然直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積與△DAB面積比值為4∶3.

        通過(guò)上述性質(zhì)的證明過(guò)程可以看出,利用定積分求面積時(shí),有時(shí)并不需要把交點(diǎn)坐標(biāo)具體求出來(lái),只要充分利用兩曲線聯(lián)立后的方程就可以進(jìn)行整體代換,這樣就把設(shè)而不求的方法運(yùn)用得恰到好處.由此性質(zhì)可以看出,不規(guī)則圖形總可以轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求面積,其它曲線也理應(yīng)如此.

        優(yōu)美性質(zhì)拋物線C在點(diǎn)D處的切線為m,和直線m平行的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn),則直線l與拋物線所圍封閉圖形的面積和△DAB面積的比值為4∶3.

        為證明此性質(zhì),先證明性質(zhì)1.

        性質(zhì)1 直線l:y=kx+m與拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則直線與拋物線所圍成封閉圖形的面積為:線段AB在x軸上投影的立方的六分之一乘以二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值,即∫x1x2(kx+m-ax2-bx-c)dx=ax1-x236或∫x1x2(kx+m-ax2-bx-c)dx=

        a(x1+x2)2-4x1x236.(利用韋達(dá)定理)

        所以結(jié)論成立.

        優(yōu)美性質(zhì)證明僅以拋物線x2=2py(p>0)為例證明,其它情況同理可證.

        設(shè)直線l:y=kx+m,D(x0,y0),則由導(dǎo)數(shù)知識(shí)得x0p=k,所以D(pk,pk22),記D到直線l的距離為d.

        由性質(zhì)1得直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積為112px1-x23,顯然直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積與△DAB面積比值為4∶3.

        通過(guò)上述性質(zhì)的證明過(guò)程可以看出,利用定積分求面積時(shí),有時(shí)并不需要把交點(diǎn)坐標(biāo)具體求出來(lái),只要充分利用兩曲線聯(lián)立后的方程就可以進(jìn)行整體代換,這樣就把設(shè)而不求的方法運(yùn)用得恰到好處.由此性質(zhì)可以看出,不規(guī)則圖形總可以轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求面積,其它曲線也理應(yīng)如此.

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