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        一線一圓,芻議解析幾何的通性通法

        2014-08-19 06:31:39吳寶瑩
        關(guān)鍵詞:通性通法解析

        數(shù)學(xué)解題方法一般分為通法與巧法,通法著眼基礎(chǔ),巧法著眼提高.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),前者是雪中送炭,后者是錦上添花.在目前的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,大多師生對(duì)通性通法推崇有加,而對(duì)特技巧法敬而遠(yuǎn)之,甚至談“巧”色變,久而久之,我們的學(xué)生習(xí)慣于套用解題的固有套路與程式死算硬推,思維毫無(wú)創(chuàng)新色彩,“韌”性有余而“靈”性不足.這就違背了數(shù)學(xué)教育根本價(jià)值.尤其在解析幾何方面這個(gè)問(wèn)題尤為突出,經(jīng)常聽(tīng)數(shù)學(xué)老師說(shuō):“不繁就不叫解析幾何”,這里要給通性通法“潑點(diǎn)冷水”!在解題教學(xué)中我們既要著眼基礎(chǔ),守住通法,雪中送炭,錘煉學(xué)生思維之“韌”,更要適當(dāng)提高,催生巧法,錦上添花,激發(fā)學(xué)生思維之“靈”[1].

        解析幾何的通性通法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立,得到一元二次方程,在判別式Δ>0的前提下,應(yīng)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式等設(shè)而不求的方法解決相關(guān)問(wèn)題.其思維方式本質(zhì)上是定勢(shì)思維,易于理解、易于掌握和運(yùn)用,但過(guò)分強(qiáng)調(diào)通法會(huì)束縛學(xué)生思維的發(fā)散性與創(chuàng)造性,久而久之,他們只會(huì)拘泥于固有的套路和程式,不敢越雷池半步,思維永遠(yuǎn)沒(méi)有靈光!

        以上兩種解法中,解法一按照以D′E′為直徑的圓的產(chǎn)生過(guò)程,順藤摸瓜,思路自然流暢,但計(jì)算繁雜,容易出錯(cuò),尤其用通法求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后,為了找到圓所過(guò)的定點(diǎn),還要把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程,再利用Q(s,t)在圓上,即s2+t2=1,才能解決;而解法二中無(wú)論是發(fā)現(xiàn)QD⊥QE(等同于Q是圓O上異于D,E的任意一點(diǎn)),還是求以D′E′為直徑的圓O′的方程時(shí)充分利用了直徑所對(duì)的圓周角是直角這一性質(zhì),靈活、簡(jiǎn)潔、巧妙!

        圖4例2如圖4,已知⊙C:(x-3)2+(y-4)2=4,直線l1過(guò)定點(diǎn)A(1,0)與⊙C相交于P、Q兩點(diǎn),線段PQ的中點(diǎn)為M,又l1與l2:x+2y+2=0的交點(diǎn)為N,判斷AM·AN是否為定值,若是求

        上述解析中,解析1是通法.要判斷是否為定值,就要看怎么來(lái)的,顯然AM可用勾股定理解決,而要求AN,就要看N點(diǎn)的來(lái)歷,是由直線與直線相交得來(lái).這樣順藤摸瓜,搞清點(diǎn)與直線的來(lái)龍去脈,問(wèn)題就得以解決.順藤摸瓜的思想方法就是解析幾何中直線與曲線相關(guān)問(wèn)題的通性通法,易于理解掌握,只是計(jì)算量偏大.盡管道路可能曲折,我們堅(jiān)信經(jīng)過(guò)艱辛的努力,有一股韌勁,持之以恒,一定能獲得成功!這正是通法的教育價(jià)值之所在.

        解析2是巧法.由于AM,AN共線,聯(lián)想到向量,思維具有創(chuàng)造性,但更具思維含金量的是這種解法把AM拆成AC+CM,再利用CM⊥AN,CM·AN=0,可為巧哉!如果只講解析(1)的通法而回避這種解法,顯然失去了一次創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的絕佳機(jī)會(huì)!

        解析3是妙法.這種解法發(fā)現(xiàn)直線BC與直線l2垂直,CM⊥PQ,充分利用這兩個(gè)垂直,由三角形相似解決.可謂妙法,妙就妙在這種解法牢牢地抓住了學(xué)生的知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)和本題的個(gè)性特點(diǎn).(因?yàn)閷W(xué)生初中的三角形相似知識(shí)運(yùn)用非常熟練,甚至超過(guò)部分高中教師)

        以上例題意在說(shuō)明解析幾何中不要拘泥于通性通法,要根據(jù)題目特點(diǎn)靈活解決.但是,片面追求巧法會(huì)導(dǎo)致缺乏對(duì)基本思想方法的挖掘和相應(yīng)的訓(xùn)練,從而沖淡和掩蓋了對(duì)基本思想方法的滲透,有時(shí)會(huì)陷于對(duì)通法不屑一顧而巧法又一時(shí)想不起的尷尬境界.通法是巧法的基礎(chǔ),巧法是通法的升華.我們要“通”“巧”結(jié)合,“韌”“靈”并舉.既要注重基礎(chǔ),守住通法,如山之穩(wěn)重;在此基礎(chǔ)之上,更要催生巧法,如水之靈動(dòng).脫離通法的巧法是空中樓閣,沒(méi)有根基;不談巧法的通法更是死山一座,毫無(wú)生機(jī)!青山愛(ài)拂碧水,碧水滋潤(rùn)青山,碧水圍著青山轉(zhuǎn)是我們數(shù)學(xué)人追求的理想境界.

        參考文獻(xiàn)

        [1]陳敏.就解題方法論學(xué)生思維的“靈”與“韌”[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版,2013(8):45.

        作者簡(jiǎn)介吳寶瑩,男,1970年生,江蘇徐州人,江蘇省特級(jí)教師,中國(guó)奧數(shù)優(yōu)秀教練員,中國(guó)管理科學(xué)研究院學(xué)術(shù)委員會(huì)特約研究員,《發(fā)現(xiàn)》雜志社副理事長(zhǎng)、高級(jí)編審,江蘇省高考命題專家成員,江蘇省“333”高層次人才培養(yǎng)對(duì)象,江蘇省新課程改革實(shí)驗(yàn)先進(jìn)個(gè)人,無(wú)錫市領(lǐng)軍人才,享受政府專項(xiàng)津貼,無(wú)錫市數(shù)學(xué)名師工作室主持人、導(dǎo)師,主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

        數(shù)學(xué)解題方法一般分為通法與巧法,通法著眼基礎(chǔ),巧法著眼提高.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),前者是雪中送炭,后者是錦上添花.在目前的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,大多師生對(duì)通性通法推崇有加,而對(duì)特技巧法敬而遠(yuǎn)之,甚至談“巧”色變,久而久之,我們的學(xué)生習(xí)慣于套用解題的固有套路與程式死算硬推,思維毫無(wú)創(chuàng)新色彩,“韌”性有余而“靈”性不足.這就違背了數(shù)學(xué)教育根本價(jià)值.尤其在解析幾何方面這個(gè)問(wèn)題尤為突出,經(jīng)常聽(tīng)數(shù)學(xué)老師說(shuō):“不繁就不叫解析幾何”,這里要給通性通法“潑點(diǎn)冷水”!在解題教學(xué)中我們既要著眼基礎(chǔ),守住通法,雪中送炭,錘煉學(xué)生思維之“韌”,更要適當(dāng)提高,催生巧法,錦上添花,激發(fā)學(xué)生思維之“靈”[1].

        解析幾何的通性通法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立,得到一元二次方程,在判別式Δ>0的前提下,應(yīng)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式等設(shè)而不求的方法解決相關(guān)問(wèn)題.其思維方式本質(zhì)上是定勢(shì)思維,易于理解、易于掌握和運(yùn)用,但過(guò)分強(qiáng)調(diào)通法會(huì)束縛學(xué)生思維的發(fā)散性與創(chuàng)造性,久而久之,他們只會(huì)拘泥于固有的套路和程式,不敢越雷池半步,思維永遠(yuǎn)沒(méi)有靈光!

        以上兩種解法中,解法一按照以D′E′為直徑的圓的產(chǎn)生過(guò)程,順藤摸瓜,思路自然流暢,但計(jì)算繁雜,容易出錯(cuò),尤其用通法求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后,為了找到圓所過(guò)的定點(diǎn),還要把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程,再利用Q(s,t)在圓上,即s2+t2=1,才能解決;而解法二中無(wú)論是發(fā)現(xiàn)QD⊥QE(等同于Q是圓O上異于D,E的任意一點(diǎn)),還是求以D′E′為直徑的圓O′的方程時(shí)充分利用了直徑所對(duì)的圓周角是直角這一性質(zhì),靈活、簡(jiǎn)潔、巧妙!

        圖4例2如圖4,已知⊙C:(x-3)2+(y-4)2=4,直線l1過(guò)定點(diǎn)A(1,0)與⊙C相交于P、Q兩點(diǎn),線段PQ的中點(diǎn)為M,又l1與l2:x+2y+2=0的交點(diǎn)為N,判斷AM·AN是否為定值,若是求

        上述解析中,解析1是通法.要判斷是否為定值,就要看怎么來(lái)的,顯然AM可用勾股定理解決,而要求AN,就要看N點(diǎn)的來(lái)歷,是由直線與直線相交得來(lái).這樣順藤摸瓜,搞清點(diǎn)與直線的來(lái)龍去脈,問(wèn)題就得以解決.順藤摸瓜的思想方法就是解析幾何中直線與曲線相關(guān)問(wèn)題的通性通法,易于理解掌握,只是計(jì)算量偏大.盡管道路可能曲折,我們堅(jiān)信經(jīng)過(guò)艱辛的努力,有一股韌勁,持之以恒,一定能獲得成功!這正是通法的教育價(jià)值之所在.

        解析2是巧法.由于AM,AN共線,聯(lián)想到向量,思維具有創(chuàng)造性,但更具思維含金量的是這種解法把AM拆成AC+CM,再利用CM⊥AN,CM·AN=0,可為巧哉!如果只講解析(1)的通法而回避這種解法,顯然失去了一次創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的絕佳機(jī)會(huì)!

        解析3是妙法.這種解法發(fā)現(xiàn)直線BC與直線l2垂直,CM⊥PQ,充分利用這兩個(gè)垂直,由三角形相似解決.可謂妙法,妙就妙在這種解法牢牢地抓住了學(xué)生的知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)和本題的個(gè)性特點(diǎn).(因?yàn)閷W(xué)生初中的三角形相似知識(shí)運(yùn)用非常熟練,甚至超過(guò)部分高中教師)

        以上例題意在說(shuō)明解析幾何中不要拘泥于通性通法,要根據(jù)題目特點(diǎn)靈活解決.但是,片面追求巧法會(huì)導(dǎo)致缺乏對(duì)基本思想方法的挖掘和相應(yīng)的訓(xùn)練,從而沖淡和掩蓋了對(duì)基本思想方法的滲透,有時(shí)會(huì)陷于對(duì)通法不屑一顧而巧法又一時(shí)想不起的尷尬境界.通法是巧法的基礎(chǔ),巧法是通法的升華.我們要“通”“巧”結(jié)合,“韌”“靈”并舉.既要注重基礎(chǔ),守住通法,如山之穩(wěn)重;在此基礎(chǔ)之上,更要催生巧法,如水之靈動(dòng).脫離通法的巧法是空中樓閣,沒(méi)有根基;不談巧法的通法更是死山一座,毫無(wú)生機(jī)!青山愛(ài)拂碧水,碧水滋潤(rùn)青山,碧水圍著青山轉(zhuǎn)是我們數(shù)學(xué)人追求的理想境界.

        參考文獻(xiàn)

        [1]陳敏.就解題方法論學(xué)生思維的“靈”與“韌”[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版,2013(8):45.

        作者簡(jiǎn)介吳寶瑩,男,1970年生,江蘇徐州人,江蘇省特級(jí)教師,中國(guó)奧數(shù)優(yōu)秀教練員,中國(guó)管理科學(xué)研究院學(xué)術(shù)委員會(huì)特約研究員,《發(fā)現(xiàn)》雜志社副理事長(zhǎng)、高級(jí)編審,江蘇省高考命題專家成員,江蘇省“333”高層次人才培養(yǎng)對(duì)象,江蘇省新課程改革實(shí)驗(yàn)先進(jìn)個(gè)人,無(wú)錫市領(lǐng)軍人才,享受政府專項(xiàng)津貼,無(wú)錫市數(shù)學(xué)名師工作室主持人、導(dǎo)師,主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

        數(shù)學(xué)解題方法一般分為通法與巧法,通法著眼基礎(chǔ),巧法著眼提高.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),前者是雪中送炭,后者是錦上添花.在目前的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,大多師生對(duì)通性通法推崇有加,而對(duì)特技巧法敬而遠(yuǎn)之,甚至談“巧”色變,久而久之,我們的學(xué)生習(xí)慣于套用解題的固有套路與程式死算硬推,思維毫無(wú)創(chuàng)新色彩,“韌”性有余而“靈”性不足.這就違背了數(shù)學(xué)教育根本價(jià)值.尤其在解析幾何方面這個(gè)問(wèn)題尤為突出,經(jīng)常聽(tīng)數(shù)學(xué)老師說(shuō):“不繁就不叫解析幾何”,這里要給通性通法“潑點(diǎn)冷水”!在解題教學(xué)中我們既要著眼基礎(chǔ),守住通法,雪中送炭,錘煉學(xué)生思維之“韌”,更要適當(dāng)提高,催生巧法,錦上添花,激發(fā)學(xué)生思維之“靈”[1].

        解析幾何的通性通法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立,得到一元二次方程,在判別式Δ>0的前提下,應(yīng)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式等設(shè)而不求的方法解決相關(guān)問(wèn)題.其思維方式本質(zhì)上是定勢(shì)思維,易于理解、易于掌握和運(yùn)用,但過(guò)分強(qiáng)調(diào)通法會(huì)束縛學(xué)生思維的發(fā)散性與創(chuàng)造性,久而久之,他們只會(huì)拘泥于固有的套路和程式,不敢越雷池半步,思維永遠(yuǎn)沒(méi)有靈光!

        以上兩種解法中,解法一按照以D′E′為直徑的圓的產(chǎn)生過(guò)程,順藤摸瓜,思路自然流暢,但計(jì)算繁雜,容易出錯(cuò),尤其用通法求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后,為了找到圓所過(guò)的定點(diǎn),還要把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程,再利用Q(s,t)在圓上,即s2+t2=1,才能解決;而解法二中無(wú)論是發(fā)現(xiàn)QD⊥QE(等同于Q是圓O上異于D,E的任意一點(diǎn)),還是求以D′E′為直徑的圓O′的方程時(shí)充分利用了直徑所對(duì)的圓周角是直角這一性質(zhì),靈活、簡(jiǎn)潔、巧妙!

        圖4例2如圖4,已知⊙C:(x-3)2+(y-4)2=4,直線l1過(guò)定點(diǎn)A(1,0)與⊙C相交于P、Q兩點(diǎn),線段PQ的中點(diǎn)為M,又l1與l2:x+2y+2=0的交點(diǎn)為N,判斷AM·AN是否為定值,若是求

        上述解析中,解析1是通法.要判斷是否為定值,就要看怎么來(lái)的,顯然AM可用勾股定理解決,而要求AN,就要看N點(diǎn)的來(lái)歷,是由直線與直線相交得來(lái).這樣順藤摸瓜,搞清點(diǎn)與直線的來(lái)龍去脈,問(wèn)題就得以解決.順藤摸瓜的思想方法就是解析幾何中直線與曲線相關(guān)問(wèn)題的通性通法,易于理解掌握,只是計(jì)算量偏大.盡管道路可能曲折,我們堅(jiān)信經(jīng)過(guò)艱辛的努力,有一股韌勁,持之以恒,一定能獲得成功!這正是通法的教育價(jià)值之所在.

        解析2是巧法.由于AM,AN共線,聯(lián)想到向量,思維具有創(chuàng)造性,但更具思維含金量的是這種解法把AM拆成AC+CM,再利用CM⊥AN,CM·AN=0,可為巧哉!如果只講解析(1)的通法而回避這種解法,顯然失去了一次創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的絕佳機(jī)會(huì)!

        解析3是妙法.這種解法發(fā)現(xiàn)直線BC與直線l2垂直,CM⊥PQ,充分利用這兩個(gè)垂直,由三角形相似解決.可謂妙法,妙就妙在這種解法牢牢地抓住了學(xué)生的知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)和本題的個(gè)性特點(diǎn).(因?yàn)閷W(xué)生初中的三角形相似知識(shí)運(yùn)用非常熟練,甚至超過(guò)部分高中教師)

        以上例題意在說(shuō)明解析幾何中不要拘泥于通性通法,要根據(jù)題目特點(diǎn)靈活解決.但是,片面追求巧法會(huì)導(dǎo)致缺乏對(duì)基本思想方法的挖掘和相應(yīng)的訓(xùn)練,從而沖淡和掩蓋了對(duì)基本思想方法的滲透,有時(shí)會(huì)陷于對(duì)通法不屑一顧而巧法又一時(shí)想不起的尷尬境界.通法是巧法的基礎(chǔ),巧法是通法的升華.我們要“通”“巧”結(jié)合,“韌”“靈”并舉.既要注重基礎(chǔ),守住通法,如山之穩(wěn)重;在此基礎(chǔ)之上,更要催生巧法,如水之靈動(dòng).脫離通法的巧法是空中樓閣,沒(méi)有根基;不談巧法的通法更是死山一座,毫無(wú)生機(jī)!青山愛(ài)拂碧水,碧水滋潤(rùn)青山,碧水圍著青山轉(zhuǎn)是我們數(shù)學(xué)人追求的理想境界.

        參考文獻(xiàn)

        [1]陳敏.就解題方法論學(xué)生思維的“靈”與“韌”[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版,2013(8):45.

        作者簡(jiǎn)介吳寶瑩,男,1970年生,江蘇徐州人,江蘇省特級(jí)教師,中國(guó)奧數(shù)優(yōu)秀教練員,中國(guó)管理科學(xué)研究院學(xué)術(shù)委員會(huì)特約研究員,《發(fā)現(xiàn)》雜志社副理事長(zhǎng)、高級(jí)編審,江蘇省高考命題專家成員,江蘇省“333”高層次人才培養(yǎng)對(duì)象,江蘇省新課程改革實(shí)驗(yàn)先進(jìn)個(gè)人,無(wú)錫市領(lǐng)軍人才,享受政府專項(xiàng)津貼,無(wú)錫市數(shù)學(xué)名師工作室主持人、導(dǎo)師,主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

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