季近仁

【摘 要】數(shù)學概念的教學就是數(shù)學概念聯(lián)系之間的教學。學生對于數(shù)學概念的學習總是存在著一定的困難，其實數(shù)學概念之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，而建立數(shù)學概念聯(lián)系能夠有助于更好地理解和掌握概念。本文對數(shù)學概念、數(shù)學概念聯(lián)系以及教學兩方面進行闡述。

【關鍵詞】數(shù)學概念；概念聯(lián)系；教學

一、數(shù)學概念的概述

數(shù)學概念是對現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的本質屬性的概括和反應。數(shù)學概念是一類特殊概念，其特殊性就表現(xiàn)在它所反映的本質屬性只是關于事物的空間形式與數(shù)量關系方面的。

二、數(shù)學概念的聯(lián)系與教學

概念教學就是概念聯(lián)系的教學，在教學活動中，建立概念聯(lián)系顯得尤為重要。關于建立概念聯(lián)系，大體上有兩種觀點。杜威及布魯納為代表的教育家把聯(lián)系看作是內部的，倡導發(fā)現(xiàn)法。另外，奧蘇貝爾及加涅為代表的教育家是把聯(lián)系看作是外部的，注重數(shù)學結構的分析。這兩種觀點都具有一定的片面性，把聯(lián)系看作是外部的，可以使學習者清晰地看到概念之間穩(wěn)定的邏輯聯(lián)系，但是僅僅把聯(lián)系看作外部的，所能看到的聯(lián)系是表面的，形式的，難以觸及本質。而簡單地把聯(lián)系看作是內部的，一方面的確可以由內部主動建構出豐富的結構聯(lián)系，但是卻缺乏可見性，不能直觀地觀察到聯(lián)系，容易產(chǎn)生概念的模糊和記憶的偏差。所以，我們應該認識到內部聯(lián)系、外部聯(lián)系、內外聯(lián)系是融于一體、不可分割的整體，缺一不可。

數(shù)學概念聯(lián)系是指數(shù)學概念之間所具有的聯(lián)系性，任一數(shù)學概念都由若干數(shù)學概念聯(lián)系而成。概念聯(lián)系不僅僅包括不同概念之間的聯(lián)系，而且還包括同一概念自身的聯(lián)系。

首先，不同概念之間的聯(lián)系。我們在學習數(shù)學中要學習到很多的數(shù)學概念，甚至可以說，數(shù)學概念貫穿于整個數(shù)學學習之中，前后所學的概念中都有著息息相關的聯(lián)系，所學習的某個概念不是一個獨立的概念，而是由眾多元素所構成的節(jié)點，這些構成某個概念的元素也同樣可以用于構成其他概念。概念的學習不是一個簡單孤立的過程，而是建立數(shù)學概念之間的相互聯(lián)系。

例1合并同類項：（1）2a+5a-9a （2）-3.4xy+7.1xy-0.6yx

解：（1）2a+5a-9a （2）-3.4xy+7.1xy-0.6yx

=（2+5-9）a =-3.4xy+7.1xy-0.6xy

=-2a =（-3.4+7.1-0.6）xy

=3.1xy

在教學生合并同類項的時候，可以與以前學過的分類知識、乘法分配律、提取公因子等概念相聯(lián)系，像2a+5a-9a這類的合并同類項，可以先做提取公因子2×3.5+5×3.5-9×3.5，逆用乘法分配律進行計算。觀察兩者聯(lián)系，利用代數(shù)思想，表明其中的a的位置地位等同于3.5的位置地位。而像-3.4xy+7.1xy-0.6yx這類的合并同類項，則需要首先運用分類思想，透過現(xiàn)象認識本質，認出其中xy和yx是同一類，然后運用提取公因子的已有知識進行合并同類項。從學生的已知認知結構出發(fā)，拓展已有概念和新學概念的聯(lián)系，從學生已有的認知水平中提取對當前認知有用的信息，幫助學生更好更快地掌握新知識。

其次，同一概念自身的聯(lián)系。在數(shù)學上表現(xiàn)為同一概念的內部邏輯結構、同一概念和各種等價表示之間的聯(lián)系以及與具體模型相聯(lián)系的外部表示之間的抽象。數(shù)學概念本身包含所描述的對象，性質，數(shù)學思想方法等等，這幾個方面之間存在著一定的邏輯關系。

例2甲車在乙車前500千米，同時出發(fā)，速度分別為每小時40千米和每小時60千米，多少小時后，乙車追上甲車？

解：設x小時后，乙車追上甲車；

40x+500=60x 20x=500

60x-40x=500 x=25

答：25小時后，乙車追上甲車。

一元一次方程應用題的追及問題一直是教學的重點和難點。但是追及問題這一概念雖然在應用題中千變萬化，但是它們都有一個共同的特征：它們與數(shù)學的圖形語言緊密結合。圖像是追及概念的一個元素，如果能夠將追及概念，圖形語言有機聯(lián)系，學生一定更加容易接受理解掌握這類難題。概念本身就是一個聯(lián)系的統(tǒng)一體，認識它本身各種元素的聯(lián)系，運用聯(lián)系加強理解掌握，幫助學生在學習概念時事半功倍。

為了使更好地掌握概念以及概念之間的聯(lián)系，我們可以通過變式，從不同角度研究概念概念之間的聯(lián)系，全面認識概念。通過變更對象的非本質屬性特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特征，突出那些隱蔽的本質要素。

例3（例2的變式）甲乙兩人相距6千米，乙在前，甲在后，兩人同時同向出發(fā)，3小時甲追上乙。乙每小時行4千米，甲每小時行多少千米？

解：

設甲每小時行x千米；

3x-4×3=6

3x=12+6

3x=18

x=6

答：甲每小時行6千米。

變更了條件與結論，雖然還是同一個追及概念，但是從不同的方面給出了變式，繼續(xù)與圖形相聯(lián)系，在模仿的基礎上出現(xiàn)小的變化，讓學生在加深概念理解的同時，全面俯視概念。教師通過變式向學生講解概念的同時，要注意啟發(fā)學生在自己解題中發(fā)現(xiàn)一些概念聯(lián)系。教師不但要自己能夠將前后所學概念聯(lián)系在一起，在課堂上教授給學生，而且要教會學生聯(lián)系這一思想方法。

三、小結

數(shù)學的概念教學滲透在整個數(shù)學教學之中，通過概念自身或者是現(xiàn)學概念與已學概念之間構建聯(lián)系，使學生更輕松理解新概念，深入本質掌握新概念。

【參考文獻】

[1]李求來，昌國良.中學數(shù)學教學論[M].湖南師范大學出版社，2006

[2]李善良.論概念聯(lián)系與概念網(wǎng)絡在數(shù)學概念學習中的作用[J].課程教材教法，2005，（7）

[3]邵光華，章建躍.數(shù)學概念的分類、特征及其教學探討[J].課程教材教法，2009，（7）：47-51

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)唯亭學校）

【摘 要】數(shù)學概念的教學就是數(shù)學概念聯(lián)系之間的教學。學生對于數(shù)學概念的學習總是存在著一定的困難，其實數(shù)學概念之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，而建立數(shù)學概念聯(lián)系能夠有助于更好地理解和掌握概念。本文對數(shù)學概念、數(shù)學概念聯(lián)系以及教學兩方面進行闡述。

【關鍵詞】數(shù)學概念；概念聯(lián)系；教學

一、數(shù)學概念的概述

數(shù)學概念是對現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的本質屬性的概括和反應。數(shù)學概念是一類特殊概念，其特殊性就表現(xiàn)在它所反映的本質屬性只是關于事物的空間形式與數(shù)量關系方面的。

二、數(shù)學概念的聯(lián)系與教學

概念教學就是概念聯(lián)系的教學，在教學活動中，建立概念聯(lián)系顯得尤為重要。關于建立概念聯(lián)系，大體上有兩種觀點。杜威及布魯納為代表的教育家把聯(lián)系看作是內部的，倡導發(fā)現(xiàn)法。另外，奧蘇貝爾及加涅為代表的教育家是把聯(lián)系看作是外部的，注重數(shù)學結構的分析。這兩種觀點都具有一定的片面性，把聯(lián)系看作是外部的，可以使學習者清晰地看到概念之間穩(wěn)定的邏輯聯(lián)系，但是僅僅把聯(lián)系看作外部的，所能看到的聯(lián)系是表面的，形式的，難以觸及本質。而簡單地把聯(lián)系看作是內部的，一方面的確可以由內部主動建構出豐富的結構聯(lián)系，但是卻缺乏可見性，不能直觀地觀察到聯(lián)系，容易產(chǎn)生概念的模糊和記憶的偏差。所以，我們應該認識到內部聯(lián)系、外部聯(lián)系、內外聯(lián)系是融于一體、不可分割的整體，缺一不可。

數(shù)學概念聯(lián)系是指數(shù)學概念之間所具有的聯(lián)系性，任一數(shù)學概念都由若干數(shù)學概念聯(lián)系而成。概念聯(lián)系不僅僅包括不同概念之間的聯(lián)系，而且還包括同一概念自身的聯(lián)系。

首先，不同概念之間的聯(lián)系。我們在學習數(shù)學中要學習到很多的數(shù)學概念，甚至可以說，數(shù)學概念貫穿于整個數(shù)學學習之中，前后所學的概念中都有著息息相關的聯(lián)系，所學習的某個概念不是一個獨立的概念，而是由眾多元素所構成的節(jié)點，這些構成某個概念的元素也同樣可以用于構成其他概念。概念的學習不是一個簡單孤立的過程，而是建立數(shù)學概念之間的相互聯(lián)系。

例1合并同類項：（1）2a+5a-9a （2）-3.4xy+7.1xy-0.6yx

解：（1）2a+5a-9a （2）-3.4xy+7.1xy-0.6yx

=（2+5-9）a =-3.4xy+7.1xy-0.6xy

=-2a =（-3.4+7.1-0.6）xy

=3.1xy

在教學生合并同類項的時候，可以與以前學過的分類知識、乘法分配律、提取公因子等概念相聯(lián)系，像2a+5a-9a這類的合并同類項，可以先做提取公因子2×3.5+5×3.5-9×3.5，逆用乘法分配律進行計算。觀察兩者聯(lián)系，利用代數(shù)思想，表明其中的a的位置地位等同于3.5的位置地位。而像-3.4xy+7.1xy-0.6yx這類的合并同類項，則需要首先運用分類思想，透過現(xiàn)象認識本質，認出其中xy和yx是同一類，然后運用提取公因子的已有知識進行合并同類項。從學生的已知認知結構出發(fā)，拓展已有概念和新學概念的聯(lián)系，從學生已有的認知水平中提取對當前認知有用的信息，幫助學生更好更快地掌握新知識。

其次，同一概念自身的聯(lián)系。在數(shù)學上表現(xiàn)為同一概念的內部邏輯結構、同一概念和各種等價表示之間的聯(lián)系以及與具體模型相聯(lián)系的外部表示之間的抽象。數(shù)學概念本身包含所描述的對象，性質，數(shù)學思想方法等等，這幾個方面之間存在著一定的邏輯關系。

例2甲車在乙車前500千米，同時出發(fā)，速度分別為每小時40千米和每小時60千米，多少小時后，乙車追上甲車？

解：設x小時后，乙車追上甲車；

40x+500=60x 20x=500

60x-40x=500 x=25

答：25小時后，乙車追上甲車。

一元一次方程應用題的追及問題一直是教學的重點和難點。但是追及問題這一概念雖然在應用題中千變萬化，但是它們都有一個共同的特征：它們與數(shù)學的圖形語言緊密結合。圖像是追及概念的一個元素，如果能夠將追及概念，圖形語言有機聯(lián)系，學生一定更加容易接受理解掌握這類難題。概念本身就是一個聯(lián)系的統(tǒng)一體，認識它本身各種元素的聯(lián)系，運用聯(lián)系加強理解掌握，幫助學生在學習概念時事半功倍。

為了使更好地掌握概念以及概念之間的聯(lián)系，我們可以通過變式，從不同角度研究概念概念之間的聯(lián)系，全面認識概念。通過變更對象的非本質屬性特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特征，突出那些隱蔽的本質要素。

例3（例2的變式）甲乙兩人相距6千米，乙在前，甲在后，兩人同時同向出發(fā)，3小時甲追上乙。乙每小時行4千米，甲每小時行多少千米？

解：

設甲每小時行x千米；

3x-4×3=6

3x=12+6

3x=18

x=6

答：甲每小時行6千米。

變更了條件與結論，雖然還是同一個追及概念，但是從不同的方面給出了變式，繼續(xù)與圖形相聯(lián)系，在模仿的基礎上出現(xiàn)小的變化，讓學生在加深概念理解的同時，全面俯視概念。教師通過變式向學生講解概念的同時，要注意啟發(fā)學生在自己解題中發(fā)現(xiàn)一些概念聯(lián)系。教師不但要自己能夠將前后所學概念聯(lián)系在一起，在課堂上教授給學生，而且要教會學生聯(lián)系這一思想方法。

三、小結

數(shù)學的概念教學滲透在整個數(shù)學教學之中，通過概念自身或者是現(xiàn)學概念與已學概念之間構建聯(lián)系，使學生更輕松理解新概念，深入本質掌握新概念。

【參考文獻】

[1]李求來，昌國良.中學數(shù)學教學論[M].湖南師范大學出版社，2006

[2]李善良.論概念聯(lián)系與概念網(wǎng)絡在數(shù)學概念學習中的作用[J].課程教材教法，2005，（7）

[3]邵光華，章建躍.數(shù)學概念的分類、特征及其教學探討[J].課程教材教法，2009，（7）：47-51

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)唯亭學校）

【摘 要】數(shù)學概念的教學就是數(shù)學概念聯(lián)系之間的教學。學生對于數(shù)學概念的學習總是存在著一定的困難，其實數(shù)學概念之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，而建立數(shù)學概念聯(lián)系能夠有助于更好地理解和掌握概念。本文對數(shù)學概念、數(shù)學概念聯(lián)系以及教學兩方面進行闡述。

【關鍵詞】數(shù)學概念；概念聯(lián)系；教學

一、數(shù)學概念的概述

數(shù)學概念是對現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的本質屬性的概括和反應。數(shù)學概念是一類特殊概念，其特殊性就表現(xiàn)在它所反映的本質屬性只是關于事物的空間形式與數(shù)量關系方面的。

二、數(shù)學概念的聯(lián)系與教學

概念教學就是概念聯(lián)系的教學，在教學活動中，建立概念聯(lián)系顯得尤為重要。關于建立概念聯(lián)系，大體上有兩種觀點。杜威及布魯納為代表的教育家把聯(lián)系看作是內部的，倡導發(fā)現(xiàn)法。另外，奧蘇貝爾及加涅為代表的教育家是把聯(lián)系看作是外部的，注重數(shù)學結構的分析。這兩種觀點都具有一定的片面性，把聯(lián)系看作是外部的，可以使學習者清晰地看到概念之間穩(wěn)定的邏輯聯(lián)系，但是僅僅把聯(lián)系看作外部的，所能看到的聯(lián)系是表面的，形式的，難以觸及本質。而簡單地把聯(lián)系看作是內部的，一方面的確可以由內部主動建構出豐富的結構聯(lián)系，但是卻缺乏可見性，不能直觀地觀察到聯(lián)系，容易產(chǎn)生概念的模糊和記憶的偏差。所以，我們應該認識到內部聯(lián)系、外部聯(lián)系、內外聯(lián)系是融于一體、不可分割的整體，缺一不可。

數(shù)學概念聯(lián)系是指數(shù)學概念之間所具有的聯(lián)系性，任一數(shù)學概念都由若干數(shù)學概念聯(lián)系而成。概念聯(lián)系不僅僅包括不同概念之間的聯(lián)系，而且還包括同一概念自身的聯(lián)系。

首先，不同概念之間的聯(lián)系。我們在學習數(shù)學中要學習到很多的數(shù)學概念，甚至可以說，數(shù)學概念貫穿于整個數(shù)學學習之中，前后所學的概念中都有著息息相關的聯(lián)系，所學習的某個概念不是一個獨立的概念，而是由眾多元素所構成的節(jié)點，這些構成某個概念的元素也同樣可以用于構成其他概念。概念的學習不是一個簡單孤立的過程，而是建立數(shù)學概念之間的相互聯(lián)系。

例1合并同類項：（1）2a+5a-9a （2）-3.4xy+7.1xy-0.6yx

解：（1）2a+5a-9a （2）-3.4xy+7.1xy-0.6yx

=（2+5-9）a =-3.4xy+7.1xy-0.6xy

=-2a =（-3.4+7.1-0.6）xy

=3.1xy

在教學生合并同類項的時候，可以與以前學過的分類知識、乘法分配律、提取公因子等概念相聯(lián)系，像2a+5a-9a這類的合并同類項，可以先做提取公因子2×3.5+5×3.5-9×3.5，逆用乘法分配律進行計算。觀察兩者聯(lián)系，利用代數(shù)思想，表明其中的a的位置地位等同于3.5的位置地位。而像-3.4xy+7.1xy-0.6yx這類的合并同類項，則需要首先運用分類思想，透過現(xiàn)象認識本質，認出其中xy和yx是同一類，然后運用提取公因子的已有知識進行合并同類項。從學生的已知認知結構出發(fā)，拓展已有概念和新學概念的聯(lián)系，從學生已有的認知水平中提取對當前認知有用的信息，幫助學生更好更快地掌握新知識。

其次，同一概念自身的聯(lián)系。在數(shù)學上表現(xiàn)為同一概念的內部邏輯結構、同一概念和各種等價表示之間的聯(lián)系以及與具體模型相聯(lián)系的外部表示之間的抽象。數(shù)學概念本身包含所描述的對象，性質，數(shù)學思想方法等等，這幾個方面之間存在著一定的邏輯關系。

例2甲車在乙車前500千米，同時出發(fā)，速度分別為每小時40千米和每小時60千米，多少小時后，乙車追上甲車？

解：設x小時后，乙車追上甲車；

40x+500=60x 20x=500

60x-40x=500 x=25

答：25小時后，乙車追上甲車。

一元一次方程應用題的追及問題一直是教學的重點和難點。但是追及問題這一概念雖然在應用題中千變萬化，但是它們都有一個共同的特征：它們與數(shù)學的圖形語言緊密結合。圖像是追及概念的一個元素，如果能夠將追及概念，圖形語言有機聯(lián)系，學生一定更加容易接受理解掌握這類難題。概念本身就是一個聯(lián)系的統(tǒng)一體，認識它本身各種元素的聯(lián)系，運用聯(lián)系加強理解掌握，幫助學生在學習概念時事半功倍。

為了使更好地掌握概念以及概念之間的聯(lián)系，我們可以通過變式，從不同角度研究概念概念之間的聯(lián)系，全面認識概念。通過變更對象的非本質屬性特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特征，突出那些隱蔽的本質要素。

例3（例2的變式）甲乙兩人相距6千米，乙在前，甲在后，兩人同時同向出發(fā)，3小時甲追上乙。乙每小時行4千米，甲每小時行多少千米？

解：

設甲每小時行x千米；

3x-4×3=6

3x=12+6

3x=18

x=6

答：甲每小時行6千米。

變更了條件與結論，雖然還是同一個追及概念，但是從不同的方面給出了變式，繼續(xù)與圖形相聯(lián)系，在模仿的基礎上出現(xiàn)小的變化，讓學生在加深概念理解的同時，全面俯視概念。教師通過變式向學生講解概念的同時，要注意啟發(fā)學生在自己解題中發(fā)現(xiàn)一些概念聯(lián)系。教師不但要自己能夠將前后所學概念聯(lián)系在一起，在課堂上教授給學生，而且要教會學生聯(lián)系這一思想方法。

三、小結

數(shù)學的概念教學滲透在整個數(shù)學教學之中，通過概念自身或者是現(xiàn)學概念與已學概念之間構建聯(lián)系，使學生更輕松理解新概念，深入本質掌握新概念。

【參考文獻】

[1]李求來，昌國良.中學數(shù)學教學論[M].湖南師范大學出版社，2006

[2]李善良.論概念聯(lián)系與概念網(wǎng)絡在數(shù)學概念學習中的作用[J].課程教材教法，2005，（7）

[3]邵光華，章建躍.數(shù)學概念的分類、特征及其教學探討[J].課程教材教法，2009，（7）：47-51

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)唯亭學校）