周曉輝　姚儉　袁清華

摘 要 針對決策信息為三角模糊數(shù)直覺模糊數(shù)（TFNIFN）且屬性間存在相互關(guān)聯(lián)的多屬性群決策（MAGDM）問題，提出了一種基于三角模糊數(shù)直覺模糊PG（TFNIFPG）算子的決策方法.首先，基于TFNIFN的運算法則和PG（Power Geometric）算子，定義了TFNIFPG算子.然后，研究了該算子的一些性質(zhì)，建立基于TFNIFPG算子的MAGDM模型，結(jié)合排序方法進行決策.最后通過某項目投資算例驗證了該算子的有效性與可行性.

關(guān)鍵詞 三角模糊數(shù)；直覺模糊數(shù)； PG算子；三角模糊數(shù)直覺模糊PG算子；多屬性群決策

中圖分類號 C934，O23 文獻標(biāo)識碼 A

1 引 言

自Atanassov提出直覺模糊集^[1]（Intuitionistic Fuzzy Sets，IFS）以來，因IFS綜合考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度3方面的信息，能更加細膩地描述和刻畫客觀世界的模糊性本質(zhì).眾多學(xué)者對IFS進行了深入研究.Atanassov等^[2]對IFS進一步推廣，提出了區(qū)間直覺模糊集（Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Sets，IVIFS）的概念.徐澤水^[3，4]研究了IVIFS的一些運算法則，并給出了IVIFS的IVIFWA集成算子、IVIFGA集成算子、IVIFOWA集成算子和排序方法.劉峰和袁學(xué)海^[5]用三角模糊數(shù)表示IFS的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，進而對IFS作進一步拓展，提出了TFNIFN概念.汪新凡^[6]給出了TFNIFN的概念，定義了一些運算法則和FIFWG算子、FIFOWG算子和FIFHG算子等幾何集成算子，并給出了TFNIFN的記分函數(shù)及排序方法.劉於勛^[7]提出TFNIFN的加權(quán)算數(shù)平均算子和加權(quán)幾何平均算子，并給出精確記分函數(shù).

Yager^[9]在處理非線性信息加權(quán)集結(jié)過程中首先提出屬性間相互支持的PA算子概念. XU和Yager [10]在PA算子的基礎(chǔ)上提出了PG算子，同時并研究了PWG算子、 POG算子、POWG算子、UPG算子和UPOWG算子.在文獻[11]中，徐澤水教授將PG算子推廣到直覺模糊環(huán)境下，結(jié)合IFS和IVIFS研究了IFPG算子、IFWPG算子、IVIFPG算子和 IVIFWPG算子，并應(yīng)用到多屬性決策問題中.ZHANG等^[12]將PG進一步推廣，研究了GPG算子、GIFPG算子等及其性質(zhì)，并給出了詳細的證明，拓展了PG算子的理論范圍，同時應(yīng)用在MAGDM中，得到了很好地效果.本文在文獻[11]的基礎(chǔ)上對PG算子進行拓展，將PG算子和TFNIFN結(jié)合提出TFNIFPG算子，并研究了相關(guān)的性質(zhì)，并將其運用在MAGDM中，最后數(shù)值算例證明了TFNIFPG算子的有效性和可行性.

5 結(jié)束語

在實際生活中的MAGDM問題中，決策屬性之間往往存在不同程度上的相互關(guān)聯(lián)，針對現(xiàn)有的TFNIFN信息集結(jié)算子存在失效的不足，結(jié)合PG算子，研究了TFNIFPG算子，并給出了TFNIFPG算子的一些性質(zhì)，將TFNIFPG算子應(yīng)用在MAGDM中，算例結(jié)果表明了該算子的有效性和正確性.與傳統(tǒng)方法對比，該方法考慮了決策屬性間的關(guān)聯(lián)性，使決策分析更接近決策問題的實際情況，決策結(jié)果更加合理，為解決MAGDM問題提供了新思路.

參考文獻

[1] K T ATANASSOV. Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems， 1986， 20（1）： 87-96.

[2] K T ATANASSOV， G GARGOV. Interval-valued intuitionistic fuzzy sets[J] .Fuzzy Sets and Systems，1989，31（3） ： 343-349.

[3] 徐澤水.區(qū)間直覺模糊信息的集成方法及其在決策中的應(yīng)用[J]. 控制與決策， 2007， 22（2）：215-219.

[4] 徐澤水，陳劍.一種基于區(qū)間直覺判斷矩陣的群決策方法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐， 2007， 27（4）：126-133.

[5] 劉鋒，袁學(xué)海.模糊數(shù)直覺模糊集[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)， 2007， 21（1）：88-91.

[6] 汪新凡.模糊數(shù)直覺模糊幾何集成算子及其在決策中的應(yīng)用[J].控制與決策， 2008， 23（6）：607-612.

[7] 劉於勛. 基于直覺模糊集改進算子的多目標(biāo)決策方法[J]. 計算機應(yīng)用， 2009， 29（5）：1273-1275.

[8] 蘇杭，錢偉懿. 基于TOPSIS的模糊數(shù)直覺模糊多屬性決策方法[J]. 渤海大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2012， 33（1）：6-10.

[9] R R YANGER. The power average operator [J]. IEEE Transactions on Systems， Man， Cybernetics-Part A： Systems and Humans， 2001， 31（6）：724-731.

[10]Zeshui XU， Power-geometric operators and their use in group decision making [J].IEEE TRANSACTIONS ON FUZZY SYSTEMS， 2010，18（1） ：94-105.

[11]Zeshui XU， R R YANGER. Approaches to multiple attribute group decision making based on intuitionistic fuzzy power aggregation operators [J]. Knowledge-Based Systems， 2011， 24（6） ：749-760.

[12]Zhiming ZHANG. Generalized Atanassov's intuitionistic fuzzy power geometric operators and their application to multiple attribute group decision making [J]. Information fusion， 2013， 14（4）： 460-486.

[13]周曉輝，姚儉，吳天魁等. 三角模糊數(shù)直覺模糊Bonferroni平均算子及其應(yīng)用[J]. 計算機應(yīng)用研究，2015， 32（3）：671-676.

[14]衛(wèi)貴武. I-FIFOWA算子及其在群決策中的應(yīng)用[J]. 管理學(xué)報，2010， 7（6）：903-908.endprint

摘 要 針對決策信息為三角模糊數(shù)直覺模糊數(shù)（TFNIFN）且屬性間存在相互關(guān)聯(lián)的多屬性群決策（MAGDM）問題，提出了一種基于三角模糊數(shù)直覺模糊PG（TFNIFPG）算子的決策方法.首先，基于TFNIFN的運算法則和PG（Power Geometric）算子，定義了TFNIFPG算子.然后，研究了該算子的一些性質(zhì)，建立基于TFNIFPG算子的MAGDM模型，結(jié)合排序方法進行決策.最后通過某項目投資算例驗證了該算子的有效性與可行性.

關(guān)鍵詞 三角模糊數(shù)；直覺模糊數(shù)； PG算子；三角模糊數(shù)直覺模糊PG算子；多屬性群決策

中圖分類號 C934，O23 文獻標(biāo)識碼 A

1 引 言

自Atanassov提出直覺模糊集^[1]（Intuitionistic Fuzzy Sets，IFS）以來，因IFS綜合考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度3方面的信息，能更加細膩地描述和刻畫客觀世界的模糊性本質(zhì).眾多學(xué)者對IFS進行了深入研究.Atanassov等^[2]對IFS進一步推廣，提出了區(qū)間直覺模糊集（Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Sets，IVIFS）的概念.徐澤水^[3，4]研究了IVIFS的一些運算法則，并給出了IVIFS的IVIFWA集成算子、IVIFGA集成算子、IVIFOWA集成算子和排序方法.劉峰和袁學(xué)海^[5]用三角模糊數(shù)表示IFS的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，進而對IFS作進一步拓展，提出了TFNIFN概念.汪新凡^[6]給出了TFNIFN的概念，定義了一些運算法則和FIFWG算子、FIFOWG算子和FIFHG算子等幾何集成算子，并給出了TFNIFN的記分函數(shù)及排序方法.劉於勛^[7]提出TFNIFN的加權(quán)算數(shù)平均算子和加權(quán)幾何平均算子，并給出精確記分函數(shù).

Yager^[9]在處理非線性信息加權(quán)集結(jié)過程中首先提出屬性間相互支持的PA算子概念. XU和Yager [10]在PA算子的基礎(chǔ)上提出了PG算子，同時并研究了PWG算子、 POG算子、POWG算子、UPG算子和UPOWG算子.在文獻[11]中，徐澤水教授將PG算子推廣到直覺模糊環(huán)境下，結(jié)合IFS和IVIFS研究了IFPG算子、IFWPG算子、IVIFPG算子和 IVIFWPG算子，并應(yīng)用到多屬性決策問題中.ZHANG等^[12]將PG進一步推廣，研究了GPG算子、GIFPG算子等及其性質(zhì)，并給出了詳細的證明，拓展了PG算子的理論范圍，同時應(yīng)用在MAGDM中，得到了很好地效果.本文在文獻[11]的基礎(chǔ)上對PG算子進行拓展，將PG算子和TFNIFN結(jié)合提出TFNIFPG算子，并研究了相關(guān)的性質(zhì)，并將其運用在MAGDM中，最后數(shù)值算例證明了TFNIFPG算子的有效性和可行性.

5 結(jié)束語

在實際生活中的MAGDM問題中，決策屬性之間往往存在不同程度上的相互關(guān)聯(lián)，針對現(xiàn)有的TFNIFN信息集結(jié)算子存在失效的不足，結(jié)合PG算子，研究了TFNIFPG算子，并給出了TFNIFPG算子的一些性質(zhì)，將TFNIFPG算子應(yīng)用在MAGDM中，算例結(jié)果表明了該算子的有效性和正確性.與傳統(tǒng)方法對比，該方法考慮了決策屬性間的關(guān)聯(lián)性，使決策分析更接近決策問題的實際情況，決策結(jié)果更加合理，為解決MAGDM問題提供了新思路.

參考文獻

[1] K T ATANASSOV. Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems， 1986， 20（1）： 87-96.

[2] K T ATANASSOV， G GARGOV. Interval-valued intuitionistic fuzzy sets[J] .Fuzzy Sets and Systems，1989，31（3） ： 343-349.

[3] 徐澤水.區(qū)間直覺模糊信息的集成方法及其在決策中的應(yīng)用[J]. 控制與決策， 2007， 22（2）：215-219.

[4] 徐澤水，陳劍.一種基于區(qū)間直覺判斷矩陣的群決策方法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐， 2007， 27（4）：126-133.

[5] 劉鋒，袁學(xué)海.模糊數(shù)直覺模糊集[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)， 2007， 21（1）：88-91.

[6] 汪新凡.模糊數(shù)直覺模糊幾何集成算子及其在決策中的應(yīng)用[J].控制與決策， 2008， 23（6）：607-612.

[7] 劉於勛. 基于直覺模糊集改進算子的多目標(biāo)決策方法[J]. 計算機應(yīng)用， 2009， 29（5）：1273-1275.

[8] 蘇杭，錢偉懿. 基于TOPSIS的模糊數(shù)直覺模糊多屬性決策方法[J]. 渤海大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2012， 33（1）：6-10.

[9] R R YANGER. The power average operator [J]. IEEE Transactions on Systems， Man， Cybernetics-Part A： Systems and Humans， 2001， 31（6）：724-731.

[10]Zeshui XU， Power-geometric operators and their use in group decision making [J].IEEE TRANSACTIONS ON FUZZY SYSTEMS， 2010，18（1） ：94-105.

[11]Zeshui XU， R R YANGER. Approaches to multiple attribute group decision making based on intuitionistic fuzzy power aggregation operators [J]. Knowledge-Based Systems， 2011， 24（6） ：749-760.

[12]Zhiming ZHANG. Generalized Atanassov's intuitionistic fuzzy power geometric operators and their application to multiple attribute group decision making [J]. Information fusion， 2013， 14（4）： 460-486.

[13]周曉輝，姚儉，吳天魁等. 三角模糊數(shù)直覺模糊Bonferroni平均算子及其應(yīng)用[J]. 計算機應(yīng)用研究，2015， 32（3）：671-676.

[14]衛(wèi)貴武. I-FIFOWA算子及其在群決策中的應(yīng)用[J]. 管理學(xué)報，2010， 7（6）：903-908.endprint

摘 要 針對決策信息為三角模糊數(shù)直覺模糊數(shù)（TFNIFN）且屬性間存在相互關(guān)聯(lián)的多屬性群決策（MAGDM）問題，提出了一種基于三角模糊數(shù)直覺模糊PG（TFNIFPG）算子的決策方法.首先，基于TFNIFN的運算法則和PG（Power Geometric）算子，定義了TFNIFPG算子.然后，研究了該算子的一些性質(zhì)，建立基于TFNIFPG算子的MAGDM模型，結(jié)合排序方法進行決策.最后通過某項目投資算例驗證了該算子的有效性與可行性.

關(guān)鍵詞 三角模糊數(shù)；直覺模糊數(shù)； PG算子；三角模糊數(shù)直覺模糊PG算子；多屬性群決策

中圖分類號 C934，O23 文獻標(biāo)識碼 A

1 引 言

自Atanassov提出直覺模糊集^[1]（Intuitionistic Fuzzy Sets，IFS）以來，因IFS綜合考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度3方面的信息，能更加細膩地描述和刻畫客觀世界的模糊性本質(zhì).眾多學(xué)者對IFS進行了深入研究.Atanassov等^[2]對IFS進一步推廣，提出了區(qū)間直覺模糊集（Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Sets，IVIFS）的概念.徐澤水^[3，4]研究了IVIFS的一些運算法則，并給出了IVIFS的IVIFWA集成算子、IVIFGA集成算子、IVIFOWA集成算子和排序方法.劉峰和袁學(xué)海^[5]用三角模糊數(shù)表示IFS的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，進而對IFS作進一步拓展，提出了TFNIFN概念.汪新凡^[6]給出了TFNIFN的概念，定義了一些運算法則和FIFWG算子、FIFOWG算子和FIFHG算子等幾何集成算子，并給出了TFNIFN的記分函數(shù)及排序方法.劉於勛^[7]提出TFNIFN的加權(quán)算數(shù)平均算子和加權(quán)幾何平均算子，并給出精確記分函數(shù).

Yager^[9]在處理非線性信息加權(quán)集結(jié)過程中首先提出屬性間相互支持的PA算子概念. XU和Yager [10]在PA算子的基礎(chǔ)上提出了PG算子，同時并研究了PWG算子、 POG算子、POWG算子、UPG算子和UPOWG算子.在文獻[11]中，徐澤水教授將PG算子推廣到直覺模糊環(huán)境下，結(jié)合IFS和IVIFS研究了IFPG算子、IFWPG算子、IVIFPG算子和 IVIFWPG算子，并應(yīng)用到多屬性決策問題中.ZHANG等^[12]將PG進一步推廣，研究了GPG算子、GIFPG算子等及其性質(zhì)，并給出了詳細的證明，拓展了PG算子的理論范圍，同時應(yīng)用在MAGDM中，得到了很好地效果.本文在文獻[11]的基礎(chǔ)上對PG算子進行拓展，將PG算子和TFNIFN結(jié)合提出TFNIFPG算子，并研究了相關(guān)的性質(zhì)，并將其運用在MAGDM中，最后數(shù)值算例證明了TFNIFPG算子的有效性和可行性.

5 結(jié)束語

在實際生活中的MAGDM問題中，決策屬性之間往往存在不同程度上的相互關(guān)聯(lián)，針對現(xiàn)有的TFNIFN信息集結(jié)算子存在失效的不足，結(jié)合PG算子，研究了TFNIFPG算子，并給出了TFNIFPG算子的一些性質(zhì)，將TFNIFPG算子應(yīng)用在MAGDM中，算例結(jié)果表明了該算子的有效性和正確性.與傳統(tǒng)方法對比，該方法考慮了決策屬性間的關(guān)聯(lián)性，使決策分析更接近決策問題的實際情況，決策結(jié)果更加合理，為解決MAGDM問題提供了新思路.

參考文獻

[1] K T ATANASSOV. Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems， 1986， 20（1）： 87-96.

[2] K T ATANASSOV， G GARGOV. Interval-valued intuitionistic fuzzy sets[J] .Fuzzy Sets and Systems，1989，31（3） ： 343-349.

[3] 徐澤水.區(qū)間直覺模糊信息的集成方法及其在決策中的應(yīng)用[J]. 控制與決策， 2007， 22（2）：215-219.

[4] 徐澤水，陳劍.一種基于區(qū)間直覺判斷矩陣的群決策方法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐， 2007， 27（4）：126-133.

[5] 劉鋒，袁學(xué)海.模糊數(shù)直覺模糊集[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)， 2007， 21（1）：88-91.

[6] 汪新凡.模糊數(shù)直覺模糊幾何集成算子及其在決策中的應(yīng)用[J].控制與決策， 2008， 23（6）：607-612.

[7] 劉於勛. 基于直覺模糊集改進算子的多目標(biāo)決策方法[J]. 計算機應(yīng)用， 2009， 29（5）：1273-1275.

[8] 蘇杭，錢偉懿. 基于TOPSIS的模糊數(shù)直覺模糊多屬性決策方法[J]. 渤海大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2012， 33（1）：6-10.

[9] R R YANGER. The power average operator [J]. IEEE Transactions on Systems， Man， Cybernetics-Part A： Systems and Humans， 2001， 31（6）：724-731.

[10]Zeshui XU， Power-geometric operators and their use in group decision making [J].IEEE TRANSACTIONS ON FUZZY SYSTEMS， 2010，18（1） ：94-105.

[11]Zeshui XU， R R YANGER. Approaches to multiple attribute group decision making based on intuitionistic fuzzy power aggregation operators [J]. Knowledge-Based Systems， 2011， 24（6） ：749-760.

[12]Zhiming ZHANG. Generalized Atanassov's intuitionistic fuzzy power geometric operators and their application to multiple attribute group decision making [J]. Information fusion， 2013， 14（4）： 460-486.

[13]周曉輝，姚儉，吳天魁等. 三角模糊數(shù)直覺模糊Bonferroni平均算子及其應(yīng)用[J]. 計算機應(yīng)用研究，2015， 32（3）：671-676.

[14]衛(wèi)貴武. I-FIFOWA算子及其在群決策中的應(yīng)用[J]. 管理學(xué)報，2010， 7（6）：903-908.endprint