楊柳嬌，舒 暢，莫智文*

(1.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066； 2.成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)教學(xué)系，四川成都610059)

模糊集理論［1］是美國(guó)學(xué)者Zadeh在1965年提出的一種處理不精確和不確定問題的強(qiáng)有力數(shù)學(xué)工具，隨著模糊集理論的發(fā)展，Zadeh模糊集只考慮隸屬度一個(gè)方面的信息已不能滿足實(shí)際需要.為此對(duì)Zadeh模糊集進(jìn)行拓展，保加利亞學(xué)者Atanassov綜合考慮了隸屬度，非隸屬度和猶豫度3個(gè)方面的信息，于1983年提出了直覺模糊集［2］的概念，并被廣泛應(yīng)用于決策，模式識(shí)別，數(shù)據(jù)挖掘等許多領(lǐng)域.

不完備信息系統(tǒng)是指信息系統(tǒng)中出現(xiàn)了未知屬性值［3-7］，不完備信息系統(tǒng)中的未知屬性值可以從兩種不同的語義來解釋.第一是所有的未知屬性值被認(rèn)為是丟失的，是不允許被比較的:第二是所有的未知屬性值僅僅是被遺漏的，但又是確實(shí)存在的.目前為止，很多學(xué)者只考慮不完備信息系統(tǒng)中僅有一種可能的解釋而沒有考慮遺漏型和丟失型未知屬性值共存的情況，文獻(xiàn)［8］中將這種不完備系統(tǒng)稱為廣義不完備信息系統(tǒng).

目前，對(duì)直覺模糊信息系統(tǒng)的研究甚少.文獻(xiàn)［9］對(duì)基于優(yōu)勢(shì)關(guān)系對(duì)完備直覺模糊信息系統(tǒng)與決策信息表的屬性約簡(jiǎn)問題進(jìn)行了研究.謝海等［10］對(duì)文獻(xiàn)［9］中的優(yōu)勢(shì)關(guān)系進(jìn)行擴(kuò)充進(jìn)而討論了基于廣義優(yōu)勢(shì)關(guān)系得到了不完備直覺模糊信息系統(tǒng)與決策信息表的屬性約簡(jiǎn)和相對(duì)約簡(jiǎn)［10］.但文獻(xiàn)［10］只討論了系統(tǒng)中未知屬性值丟失的情況并未討論系統(tǒng)中屬性值遺漏和某一屬性值中部分丟失共存的情況，故本文給出廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)的定義，并對(duì)系統(tǒng)作完備化處理，引入特征關(guān)系再作研究.

1 廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)

不完備直覺模糊信息系統(tǒng)中的基本概念如下:

定義1.1［1］論域U上的模糊集A定義為:A={〈x，μA(x)〉|x∈U}，其中 μA:U→［0，1］是A的隸屬函數(shù)，μA(x)∈［0，1］是x屬于A的隸屬度.

定義1.2［2］論域U上的直覺模糊集A定義為:A={〈x，μA(x)，νA(x)〉|x∈U}，其中 μA(x)稱為x屬于A的隸屬度，νA(x)稱為x不屬于A的隸屬度，并且滿足關(guān)系式0≤μA(x)+νA(x)≤1.稱πA(x)=1-μA(x)-νA(x)為x屬于A的猶豫度或不確定度，顯然 πA(x)∈［0，1］，?x∈U.

定義 1.3［9］稱一個(gè)四元組S=(U，AT，V，f)為信息系統(tǒng)，其中U為有限非空對(duì)象集；AT為有限非空屬性集；V為屬性值值域；f為對(duì)象屬性值映射，即U={x1，x2，…，xn}，AT={a1，a2，…，an}，V=∪Va，a∈AT，Va為屬性a的值域，f:U×AT→V，且f(x，a)∈Va.若Va的每個(gè)元素均為直覺模糊對(duì)，即對(duì)?x∈U，a∈AT，都有f(x，a)=(μa(x)，νa(x))，則稱該信息系統(tǒng)為直覺模糊信息系統(tǒng).若μa(x)=1-νa(x)，則該信息系統(tǒng)退化為一般的信息系統(tǒng).

定義1.4［10］在定義3中，對(duì)某些對(duì)象而言，其所對(duì)應(yīng)的一些屬性值可能會(huì)存在缺省的情況，將缺省的屬性值稱為空值，并用“*”表示空值.如果至少有一個(gè)屬性a∈AT，使得Va含有空值，則稱此系統(tǒng)為不完備直覺模糊信息系統(tǒng).

為了使信息系統(tǒng)更接近現(xiàn)實(shí)的詳細(xì)情況，給出下面的定義:

定義1.5廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)有4種情況:

1)f(x，a)=(*，νa(x))不知道x屬于A的隸屬度.

2)f(x，a)=(μa(x)，*)不知道x不屬于A的隸屬度.

3)f(x，a)=(*，*)不知道x屬于A的隸屬度，也不知道x不屬于A的隸屬度.

4)f(x，a)=?屬性值是丟失的，不允許被比較.

例1.1表1給出一個(gè)廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng).

表1 廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)Table 1 Generalized incomplete intuitionistic fuzzy information system

對(duì)于上面的不完備直覺模糊信息系統(tǒng)顯然不能用一般的關(guān)系來處理，需要建立針對(duì)缺失值“*”和遺漏值“?”的關(guān)系，這種關(guān)系稱為特征關(guān)系.設(shè)S=(U，AT，V，f)為廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)，針對(duì)上面出現(xiàn)的4種情況作如下處理:

1)f(x，a)=(*，νa(x))，* =(1- νa(x))∧max(μa(xi)).

2)f(x，a)=(μa(x)，*)，* =(1- μa(x))∧min(νa(xi)).

3)f(x，a)=(*，*)，(*，*)=(max(μa(xi))，(1-max(μa(xi)))∧min(νa(xi))).

4)f(x，a)=?.

這樣表1就可以轉(zhuǎn)變?yōu)楸?.

定義 1.6［11］記L={(x1，x2)∈［0，1］×［0，1］|0≤x1+x2≤1}，格(L，≤L)上的序關(guān)系≤L定義為(x1，x2)≤L(y1，y2)?x1≤y1，x2≥y2.

定義1.7［10］在直覺模糊信息系統(tǒng)中，如果f(x，a)≥Lf(y，a)，就說x關(guān)于a占優(yōu)于y，記作x?ay.

表2 廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)Table 2 Generalized incomplete intuitionistic fuzzy information system

結(jié)合以上情況給出廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)中的特征關(guān)系如下:

定義1.8設(shè)S=(U，AT，V，f)為廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)，對(duì)于A?AT，稱

為廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)的特征關(guān)系.

此關(guān)系認(rèn)為如果論域中的2個(gè)元素對(duì)應(yīng)的屬性值除含有丟失值的外都滿足x?ay，那么就將這兩元素劃分為一類.

顯然，此特征關(guān)系滿足自反性，傳遞性，但不滿足對(duì)稱性.

2 廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)基于特征關(guān)系的屬性約簡(jiǎn)

定義2.1設(shè)S=(U，AT，V，f)為一個(gè)廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)，若A?AT，LRA=LRAT，且LRB≠LRA，?B?A，則稱A是S的一個(gè)約簡(jiǎn).

定義2.2設(shè)S=(U，AT，V，f)為一個(gè)廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)，稱

為在特征關(guān)系下可辨識(shí)x與y的屬性集，矩陣LDAT={LDAT(x，y)|x，y∈U}稱為該廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)的辨識(shí)矩陣.

定理2.1設(shè)S=(U，AT，V，f)為一個(gè)廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)，則A是約簡(jiǎn)集??(x，y)?LRAT，則有A∩LDAT(x，y)≠?.顯然，由約簡(jiǎn)的定義和辨識(shí)矩陣的定義易得此定理成立.

定義2.3設(shè)S=(U，AT，V，f)為一個(gè)廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)，稱為該廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)的辨識(shí)公式.

表3 廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)的辨識(shí)矩陣Table 3 Discernibility matrix of generalized incomplete intuitionistic fuzzy information system

例2.1表1的辨識(shí)矩陣如表3所示.

由定義2.3可得上表的辨識(shí)公式△=a1∧a2∧a4.因此該廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)約簡(jiǎn)為a1，a2，a4.

3 廣義不完備直覺模糊決策信息系統(tǒng)基于特征關(guān)系的屬性約簡(jiǎn)

定義3.1設(shè)S=(U，AT∪d，V，f)為一個(gè)廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)，其中AT為條件屬性集，d為決策屬性，且AT∩d=?，f(x，d)為單值的有序?qū)嵵?記LDd={(x，y)|f(x，d)≥f(y，d)}，如果LRAT?LDd，則稱該決策信息系統(tǒng)是協(xié)調(diào)的，否則是不協(xié)調(diào)的.

表4 協(xié)調(diào)廣義不完備直覺模糊決策信息系統(tǒng)Table 4 Coordinational generalized incomplete intuitionistic fuzzy decision information system

例3.1如表4 所示，設(shè)S=(U，AT∪d，V，f)為一個(gè)廣義不完備直覺模糊決策信息系統(tǒng)，且

顯然LRAT?LDd，所以該決策信息系統(tǒng)為一個(gè)協(xié)調(diào)的廣義不完備直覺模糊決策信息系統(tǒng).

定義3.2設(shè)S=(U，AT∪d，V，f)為一個(gè)協(xié)調(diào)廣義不完備直覺模糊決策信息系統(tǒng)，若A?AT，LRA?LDd，且LRBLDd，?B?A，則稱A是決策信息系統(tǒng)S的一個(gè)相對(duì)約簡(jiǎn).

定義3.3設(shè)S=(U，AT∪d，V，f)為一個(gè)協(xié)調(diào)廣義不完備直覺模糊決策信息系統(tǒng)，稱

為可辨識(shí)x與y的屬性集，矩陣稱為該決策信息系統(tǒng)的辨識(shí)矩陣.

定理3.1設(shè)S=(U，AT∪d，V，f)為一個(gè)協(xié)調(diào)的廣義不完備直覺模糊決策信息系統(tǒng)，則A是約簡(jiǎn)集??(x，y)?LDd，則有

顯然，由約簡(jiǎn)的定義和辨識(shí)矩陣的定義易得此定理成立.

定義3.4設(shè)S=(U，AT∪d，V，f)為一個(gè)協(xié)調(diào)的廣義不完備直覺模糊決策信息系統(tǒng)，稱

為該決策信息系統(tǒng)的辨識(shí)公式.

例3.2計(jì)算表4的辨識(shí)矩陣如表5所示.

表5 協(xié)調(diào)廣義不完備直覺模糊決策信息系統(tǒng)的辨識(shí)矩陣Table 5 Discernibility matrix of coordinational generalized incomplete intuitionistic fuzzy decision information system

由定義3.4可得上表的可辨識(shí)公式△=a1，即該決策信息系統(tǒng)的相對(duì)約簡(jiǎn)為a1.

4 結(jié)語

本文將文獻(xiàn)［10］中的不完備直覺模糊信息系統(tǒng)拓展為廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)，它的未知屬性值有4種情況，因而更具有代表性.引入特征關(guān)系分別討論了廣義不完備直覺模糊信息系統(tǒng)和協(xié)調(diào)廣義不完備直覺模糊決策信息系統(tǒng)的屬性約簡(jiǎn)和相對(duì)約簡(jiǎn).下一步的工作是對(duì)不協(xié)調(diào)廣義不完備直覺模糊決策信息系統(tǒng)的進(jìn)一步研究.

［1］ZadehL A.Fuzzy sets［J］.Information and Control，1965(8):338-353.

［2］Atanassov K T.Intuitionistic fuzzy sets［C］//Polish Symp Interval Fuzz Math.Pozana，1983(8):23-26.

［3］顏艷，丁健，管雪珍.不完備信息系統(tǒng)的一種屬性約簡(jiǎn)［J］.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2010，46(36):165-167.

［4］曾曉輝，文展.不完備信息系統(tǒng)的屬性約簡(jiǎn)算法［J］.計(jì)算機(jī)工程，2009，35(24):185-187.

［5］魏利華，唐振民，丁輝，等.不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)的促進(jìn)理論［J］.信息與控制，2009，38(3):286-292.

［6］Dembczynski K.Rough set approach to multiple criteria classification with imprecise evaluations and assignments［J］.Euro J Oper Research，2008，198(2):63-83.

［7］趙亮，張欣，薛質(zhì).不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)的安全評(píng)估［J］.計(jì)算機(jī)工程，2011，37(11):146-148.

［8］周靖.廣義不完備系統(tǒng)中的知識(shí)約簡(jiǎn)［J］.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2008，44(28):149-151.

［9］杜文勝，胡寶清，趙彥.基于優(yōu)勢(shì)關(guān)系的直覺模糊集信息系統(tǒng)上的屬性約簡(jiǎn)［J］.運(yùn)籌與模糊學(xué)，2011(1):1-5.

［10］謝海，胡寶清.不完備直覺模糊信息系統(tǒng)屬性約簡(jiǎn)［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2012，42(19):210-217.

［11］Kusunoki Y，Inuiguchi M.A comprehensive study on reducts in dominance-based rough set approach［C］//Torra V，Narukawa Y.MDAI，LNAI，5285.2008:167-178.