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        正則剩余格的⊙理想拓?fù)淇臻g

        2014-08-08 03:10:10劉春輝
        關(guān)鍵詞:可數(shù)乘積正則

        劉春輝

        (1.赤峰學(xué)院教務(wù)處,內(nèi)蒙古赤峰024001; 2.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古赤峰024001)

        1 引言及預(yù)備知識(shí)

        對(duì)各種不同形式代數(shù)系統(tǒng)的研究是非經(jīng)典數(shù)理邏輯[1]的一個(gè)重要的研究分支,適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方法有效的推動(dòng)了非經(jīng)典數(shù)理邏輯理論的完善和發(fā)展[2-6].在眾多的邏輯代數(shù)系統(tǒng)中,由 M.Ward等[7]首次提出的剩余格是一類(lèi)重要且應(yīng)用廣泛的代數(shù)系統(tǒng),作為Heyting代數(shù)的合理推廣,這一代數(shù)結(jié)構(gòu)已經(jīng)被學(xué)者們公認(rèn)為較為理想的邏輯代數(shù)框架.迄今為止,人們已針對(duì)(正則)剩余格做了很多有意義的研究工作[8-13],其中,文獻(xiàn)[10]引入了正則剩余格的⊙理想概念,并對(duì)其特征和格論性質(zhì)進(jìn)行了細(xì)致的研究.文獻(xiàn)[11]引入正則剩余格的生成⊙理想和素⊙理想概念,給出了它們的若干性質(zhì)和等價(jià)刻畫(huà),并建立了正則剩余格的素⊙理想定理.在此基礎(chǔ)上,本文運(yùn)用拓?fù)鋵W(xué)的概念和原理對(duì)正則剩余格的⊙理想概念作進(jìn)一步深入研究.在給定正則剩余格上以全體⊙理想之集為基建立拓?fù)淇臻g并討論其拓?fù)湫再|(zhì),獲得了一些有意義的結(jié)果.

        為了討論方便,首先介紹一些預(yù)備知識(shí),有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的概念和原理參見(jiàn)文獻(xiàn)[14-15].

        定義1.1[7]設(shè)P是偏序集,稱(chēng)P上的二元運(yùn)算?和→是互為伴隨的,如果以下條件成立:

        1)?:P×P→P是單調(diào)遞增的;

        2)→:P×P→P關(guān)于第一變量是不增的,關(guān)于第二變量是不減的;

        3)a?b≤c當(dāng)且僅當(dāng) a≤b→c,?a,b,c∈P.此時(shí)稱(chēng)(?,→)為P上的伴隨對(duì).

        定義1.2[7]設(shè)L是有最大元1和最小元0的有界格.若(?,→)是L上的伴隨對(duì)且(L,?,1)是以1為單位元的交換半群,則稱(chēng)三元組(L,?,→)是剩余格或簡(jiǎn)稱(chēng)L是剩余格.

        定義1.3[8]設(shè)L是剩余格,定義?:L→L使?a∈L,?a=a→0,則稱(chēng)? 為 L上的偽補(bǔ)算子,如果?a∈L都有??a=a,則稱(chēng)L是正則剩余格.

        在剩余格L上運(yùn)算⊕和⊙定義為a⊕b=?a→b,a⊙b=? (a→b),?a,b∈L.有關(guān)(正則)剩余格的性質(zhì)以及⊙運(yùn)算的性質(zhì)參見(jiàn)文獻(xiàn)[10-11].

        定義 1.4設(shè)(L1,?,→,? )和(L2,?,→,?)是2個(gè)正則剩余格.稱(chēng)f:L1→L2是正則剩余格同態(tài),如果對(duì)?x,y∈L有 f(x∨y)=f(x)∨f(y),f(x∧y)=f(x)∧f(y),f(x?y)=f(x)?f(y),f(x→y)=f(x)→f(y),f(? x)= ? f(x).顯然,若 f是正則剩余格同態(tài),則f(0)=0且f(1)=1.

        定義 1.5[10]設(shè) L是剩余格,?≠I(mǎi)?L.如果?a,b∈L 有0∈I且(b∈I和 a⊙b∈I)?a∈I,則稱(chēng)I是L的⊙理想.L的⊙理想全體之集記為I(L).

        引理 1.1[10]設(shè)(L1,?,→,? ) 和(L2,?,→,?)是2個(gè)正則剩余格,f:L1→L2是正則剩余格同態(tài),則 I∈I(L1)→f(I)∈I(L2)且 I∈I(L2)?f-1(I)∈I(L1).

        引理1.2[10]設(shè)L是正則剩余格,則 I∈I(L)當(dāng)且僅當(dāng)I為下集且對(duì)⊕運(yùn)算封閉.

        定義1.6[11]設(shè)L是正則剩余格,?≠A?L.稱(chēng)包含A的最小⊙理想為由A生成的⊙理想,記為〈A〉.特別地,當(dāng) A={a}時(shí),〈{a}〉簡(jiǎn)記為〈a〉.

        引理1.3[11]設(shè)L是正則剩余格且?≠A?L,則:

        引理 1.4[11]設(shè) L是正則剩余格,則?x,y∈L,〈x〉∩〈y〉=〈x∧y〉.

        2 ⊙理想拓?fù)淇臻g的定義與基本性質(zhì)

        設(shè)L是一個(gè)正則剩余格,因?yàn)?I,J∈I(L),I∩J∈I(L)且∪{I|I∈I(L)}=L,所以由拓?fù)鋵W(xué)的知識(shí)可知I(L)是L上某個(gè)拓?fù)涞幕?

        定義2.1設(shè)L是正則剩余格,記L上以I(L)為基的拓?fù)錇門(mén)L,稱(chēng)之為L(zhǎng)上的⊙理想拓?fù)洌⒎Q(chēng)拓?fù)淇臻g(L,TL)為L(zhǎng)的⊙理想拓?fù)淇臻g.

        例 2.1MV 單位區(qū)間[0,1]MV=([0,1],?,→MV),是特殊的正則剩余格,其中x→MVy=(1-x+y)∧1,則 I([0,1]MV)={{0},[0,1]}.因此[0,1]MV上以 I([0,1]MV)為基的拓?fù)?TL={?,{0},[0,1]}.

        命題2.1設(shè)L是一個(gè)正則剩余格.?x∈L,定義Bx={I∈I(L)|x∈I},則Bx是x的一個(gè)關(guān)于拓?fù)銽L的鄰域基.

        證明由文獻(xiàn)[14]中定理2.6.7立即可得.

        命題2.2設(shè)L是一個(gè)正則剩余格.定義B={〈x〉>|x∈L},則B也是L上⊙理想拓?fù)淇臻g(L,TL)的一個(gè)基.

        證明對(duì)?I∈I(L),易知,即I為集合{〈x〉|x∈L}中某些元素的并.又由引理1.4知B={〈x〉|x∈L}對(duì)交封閉,故B也是L上⊙理想拓?fù)淇臻g(L,TL)的一個(gè)基.

        命題2.3設(shè)L是正則剩余格.Ux為(L,TL)中點(diǎn) x的鄰域系,則〈x〉為(Ux,?)中最小元.

        設(shè)L是正則剩余格,A?L,記A在(L,TL)中的導(dǎo)集、閉包和內(nèi)部為d(A)、c(A)和i(A).

        定理2.1設(shè)L是一個(gè)正則剩余格,A?L,則在L上的⊙理想拓?fù)淇臻g(L,TL)中有d(A)={x∈L|〈x〉∩(A-{x})≠?}.

        證明因?yàn)閐(A)中包含A的全部聚點(diǎn).而x∈L為A的聚點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)?U∈Ux都有U∩(A-{x})≠?,由命題2.3又知,這當(dāng)且僅當(dāng)〈x〉∩(A-{x})≠?,所以 d(A)={x∈L|〈x〉∩(A-{x})≠?}.

        推論2.1設(shè)L是一個(gè)正則剩余格,則在L上的⊙理想拓?fù)淇臻g(L,TL)中有:

        1) ?A?L,0?d(A);

        2) ?A∈I(L),若 x∈A 且 x≠0,則x∈d(A);

        3)?A?L,若0∈A,則0為A的孤立點(diǎn).

        定理2.2設(shè)L是正則剩余格,A?L,則A為(L,TL)中閉集??x?A 且〈x〉∩A=?.

        證明A為(L,TL)中閉集?d(A)?A??x∈L,〈x〉∩(A-{x})≠? 蘊(yùn)涵 x∈A?x?A 且〈x〉∩(A-{x})=??x?A 且〈x〉∩A=?.

        推論2.2設(shè)L是一個(gè)正則剩余格.若0∈A?L,則 A 不是(L,TL)中閉集.

        證明因?yàn)锳?L,所以?x∈L使x?A且〈x〉∩A≠?.故A不是(L,TL)中閉集.

        定理2.3設(shè)L是一個(gè)正則剩余格,A?L,則在L上的⊙理想拓?fù)淇臻g(L,TL)中有c(A)=∩{L-〈x〉|x∈L,〈x〉∩A= ?}.

        證明因?yàn)樵谝粋€(gè)拓?fù)淇臻g中,集合A的閉包等于包含A的所有閉集的交,所以再結(jié)合命題2.2可得x∈BU?L,U∈TL}=∩{L-〈x〉|〈x〉∩A=?}.

        定理2.4設(shè)L是一個(gè)正則剩余格,A?L,則在L上的⊙理想拓?fù)淇臻g(L,TL)中有i(A)=∪{〈x〉|x∈L,〈x〉?A}.

        證明i(A)=∪{U|U?A,U∈TL}=∪{〈x〉|〈x〉?A,x∈BU?L,U∈TL}= ∪{〈x〉|x∈L,〈x〉?A}.

        推論2.3設(shè)L是一個(gè)正則剩余格,A?L,則在L上的⊙理想拓?fù)淇臻g(L,TL)中有:

        1) 若0∈A,則c(A)=L;

        2)若0?A,則i(A)=?.

        3 ⊙理想拓?fù)淇臻g(L,TL)的拓?fù)湫再|(zhì)

        討論(L,TL)的連續(xù)映射、緊致性、連通性、可數(shù)性、分離性等拓?fù)湫再|(zhì).

        定理 3.1設(shè)(L1,?,→,? )和(L2,?,→,?)是2個(gè)正則剩余格,f:L1→L2是正則剩余格同態(tài),則 f是拓?fù)淇臻g(L1,TL1)到拓?fù)淇臻g(L2,TL2)的連續(xù)映射.

        證明由引理1.1和文獻(xiàn)[14]中定理2.6.5立即可得.

        定理3.2設(shè)L是一個(gè)正則剩余格,則L上的⊙理想拓?fù)淇臻g(L,TL)是緊致空間.

        證明設(shè)A={Iα|α∈Λ}?I(L)是 L的開(kāi)覆蓋,即,則由 1∈L 知存在 α0∈Λ 使 1∈Iα0.從而由 I∈I(L)為下集得 I=L,因此{(lán)Iα0}為 L的開(kāi)覆蓋A的一個(gè)有限子覆蓋,故(L,TL)是緊致空間.

        定理3.3設(shè)L是一個(gè)正則剩余格,則L上的⊙理想拓?fù)淇臻g(L,TL)是連通空間.

        證明設(shè)U是L的既開(kāi)又閉的非空真子集,則存在{Iα|α∈Λ}?I(L)使,所以 0∈U.但另一方面,因?yàn)橐彩?L,TL)中開(kāi)集,所以又?I∈I(L)使0∈I?LU,這矛盾于0∈U.因此L中不存在既開(kāi)又閉的非空真子集,從而(L,TL)是連通空間.

        定理3.4設(shè)L是一個(gè)正則剩余格,則(L,TL)滿(mǎn)足第I可數(shù)性公理,即(L,TL)是A1空間.

        證明因?yàn)橛擅}2.2知,?x∈L,{〈x〉}為點(diǎn)x的一個(gè)鄰域基,所以(L,TL)滿(mǎn)足第I可數(shù)性公理,即(L,TL)是 A1空間.

        定理3.5設(shè)L是一個(gè)正則剩余格,則(L,TL)滿(mǎn)足第II可數(shù)性公理,即(L,TL)是A2空間當(dāng)且僅當(dāng){〈x〉|x∈L}是可數(shù)集.

        證明若{〈x〉|x∈L}是可數(shù)集,則由命題2.2知(L,TL)滿(mǎn)足第II可數(shù)性公理.反之,設(shè)(L,TL)滿(mǎn)足第II可數(shù)性公理,則(L,TL)有一個(gè)可數(shù)基,設(shè)為B={B1,B2,…,Bn,…}于是任取 x∈L,?Bi∈B 使x∈Bi,從而 Bi∈Ux.故由命題 2.3 知〈x〉?Bi,因此|{〈x〉|x∈L}|≤|B|,所以{〈x〉|x∈L}是可數(shù)集.

        定理3.6設(shè)L是一個(gè)正則剩余格,則(L,TL)是T0空間當(dāng)且僅當(dāng)?x∈L,x⊕x=x.

        證明設(shè)?x∈L,x⊕x=x,則由引理1.3的2)得〈x〉={y∈L|y≤x}.于是,任取 x,y∈L 且 x≠y,則當(dāng) x與y不可比較大小時(shí),x?〈y〉且 y?〈x〉;當(dāng)x與 y可以比較大小時(shí),不妨設(shè) y<x,則 x?〈y〉.故由命題2.2知(L,TL)是 T0空間.反之,設(shè)(L,TL)是 T0空間,若?x∈L 使 x⊕x≠x,則 x∈〈x⊕x〉且 x⊕x∈〈x〉,矛盾! 故?x∈L,x⊕x=x.

        定理3.7設(shè)L是一個(gè)正則剩余格,則(L,TL)既不是T1空間也不是T2空間.

        證明因?yàn)?U∈TL都有0∈U,從而L-{0}不是(L,TL)中開(kāi)集,故單點(diǎn)集{0}不是(L,TL)中閉集,所以(L,TL)不是T1空間,從而也不是T2空間.

        定理3.8設(shè)L是一個(gè)正則剩余格,則(L,TL)既不是正則空間也不是正規(guī)空間.

        證明因?yàn)?L,TL)中任意2個(gè)非空開(kāi)集都相交,所以(L,TL)既非正則也非正規(guī)空間.

        4 積空間

        定義 4.1設(shè)(Li,?i,→i,?i),i∈J 是一族正則剩余格.令,在L上點(diǎn)式的定義二元運(yùn)算?,→和一元運(yùn)算?,則(L,?,→,?)構(gòu)成一個(gè)正則剩余格,稱(chēng)為乘積正則剩余格.

        設(shè)(L1,?,→,? )和(L2,?,→,? )是 2 個(gè)正則剩余格,TL1和TL2分別為L(zhǎng)1和L2上的⊙理想拓?fù)?若令 L=L1×L2,一方面,由 TL1和 TL2可自然地在L上誘導(dǎo)一個(gè)乘積拓?fù)銽=TL1×TL2,且T以B={U1×U2|U1∈TL1,U2∈TL2}為基.另一方面,由定義4.1知,L=L1×L2也是正則剩余格,故在L上也可按定義2.1的方式定義⊙理想拓?fù)銽L,且TL以I(L)=I(L1×L2)為基.一個(gè)自然的問(wèn)題是:L上乘積拓?fù)銽與⊙理想拓?fù)銽L之間關(guān)系如何?

        定理 4.1設(shè)(L1,?,→,? )和(L2,?,→,?)是2個(gè)正則剩余格,L=L1×L2為乘積正則剩余格,則對(duì)?I1∈I(L1)和 I2∈I(L2),都有 I=I1× I2∈I(L).反之,L的任一⊙理想都具有如上形式,即I(L)={I1×I2|I1∈I(L1),I2∈I(I2)}.

        證明任取I1∈I(L1)和I2∈I(L2),令I(lǐng)=I1×I2.由0∈I1且 0∈I2得(0,0)∈I1× I2=I.設(shè)(x2,y2)∈I且(x1,y1)⊙(x2,y2)∈I,即(x2,y2)∈I且(x1⊙x2,y1⊙y2)∈I,則 x2,x1⊙x2∈I1且 y2,y1⊙y2∈I2,故由 I1∈I(L1)和 I2∈F(L2)得 x1∈I1且 y1∈I2,從而(x1,y1)∈I,因此 I∈I(L).

        反之,任取 I∈I(L),令 I1={x∈L1|?y∈L2,(x,y)∈I}且 I2={y∈L2|?x∈L1,(x,y)∈I},則由(0,0)∈I知 0∈I1且 0∈I2.任取 x1,x2∈L1,x2,x1⊙x2∈I1,則?y1,y2∈L2使(x2,y2)∈I 且(x1⊙x2,y1)∈I.注意到 I為下集便得(x2,0)∈I且(x1⊙x2,0)∈I,即(x2,0)∈I且(x1,0)⊙(x2,0)∈I,從而(x1,0)∈I,故 x1∈I1.因此 I1∈I(L1).類(lèi)似可證 I2∈I(L2).下證 I=I1×I2.顯然 I?I1× I2.設(shè)(x,y)∈I1× I2,則 x∈I1且 y∈I2,故由前面的證明知(x,0),(0,y)∈I.又(x,0)⊙(x,y)=(x⊙x,0⊙y)=(0,y)∈I,所以由 I∈IL(L)得(x,y)∈I,因此 I1×I2?I,從而 I=I1×I2.

        定理 4.2設(shè)(L1,?,→,? )和(L2,?,→,?)是2個(gè)正則剩余格,L=L1×L2為乘積正則剩余格,則L上乘積拓?fù)銽與⊙理想拓?fù)銽L是一致的,即T=TL.

        推論 4.1設(shè)(Li,?,→,? ),i∈J為一族正則剩余格,為乘積正則剩余格,則L上乘積拓?fù)渑c⊙理想拓?fù)銽L是一致的,即.

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