劉春輝

(1.赤峰學院教務處，內(nèi)蒙古赤峰024001； 2.赤峰學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，內(nèi)蒙古赤峰024001)

1 引言及預備知識

對各種不同形式代數(shù)系統(tǒng)的研究是非經(jīng)典數(shù)理邏輯［1］的一個重要的研究分支，適當?shù)拇鷶?shù)方法有效的推動了非經(jīng)典數(shù)理邏輯理論的完善和發(fā)展［2-6］.在眾多的邏輯代數(shù)系統(tǒng)中，由 M.Ward等［7］首次提出的剩余格是一類重要且應用廣泛的代數(shù)系統(tǒng)，作為Heyting代數(shù)的合理推廣，這一代數(shù)結(jié)構(gòu)已經(jīng)被學者們公認為較為理想的邏輯代數(shù)框架.迄今為止，人們已針對(正則)剩余格做了很多有意義的研究工作［8-13］，其中，文獻［10］引入了正則剩余格的⊙理想概念，并對其特征和格論性質(zhì)進行了細致的研究.文獻［11］引入正則剩余格的生成⊙理想和素⊙理想概念，給出了它們的若干性質(zhì)和等價刻畫，并建立了正則剩余格的素⊙理想定理.在此基礎上，本文運用拓撲學的概念和原理對正則剩余格的⊙理想概念作進一步深入研究.在給定正則剩余格上以全體⊙理想之集為基建立拓撲空間并討論其拓撲性質(zhì)，獲得了一些有意義的結(jié)果.

為了討論方便，首先介紹一些預備知識，有關拓撲學的概念和原理參見文獻［14-15］.

定義1.1［7］設P是偏序集，稱P上的二元運算?和→是互為伴隨的，如果以下條件成立:

1)?:P×P→P是單調(diào)遞增的；

2)→:P×P→P關于第一變量是不增的，關于第二變量是不減的；

3)a?b≤c當且僅當 a≤b→c，?a，b，c∈P.此時稱(?，→)為P上的伴隨對.

定義1.2［7］設L是有最大元1和最小元0的有界格.若(?，→)是L上的伴隨對且(L，?，1)是以1為單位元的交換半群，則稱三元組(L，?，→)是剩余格或簡稱L是剩余格.

定義1.3［8］設L是剩余格，定義?:L→L使?a∈L，?a=a→0，則稱? 為 L上的偽補算子，如果?a∈L都有??a=a，則稱L是正則剩余格.

在剩余格L上運算⊕和⊙定義為a⊕b=?a→b，a⊙b=? (a→b)，?a，b∈L.有關(正則)剩余格的性質(zhì)以及⊙運算的性質(zhì)參見文獻［10-11］.

定義 1.4設(L1，?，→，? )和(L2，?，→，?)是2個正則剩余格.稱f:L1→L2是正則剩余格同態(tài)，如果對?x，y∈L有 f(x∨y)=f(x)∨f(y)，f(x∧y)=f(x)∧f(y)，f(x?y)=f(x)?f(y)，f(x→y)=f(x)→f(y)，f(? x)= ? f(x).顯然，若 f是正則剩余格同態(tài)，則f(0)=0且f(1)=1.

定義 1.5［10］設 L是剩余格，?≠I?L.如果?a，b∈L 有0∈I且(b∈I和 a⊙b∈I)?a∈I，則稱I是L的⊙理想.L的⊙理想全體之集記為I(L).

引理 1.1［10］設(L1，?，→，? ) 和(L2，?，→，?)是2個正則剩余格，f:L1→L2是正則剩余格同態(tài)，則 I∈I(L1)→f(I)∈I(L2)且 I∈I(L2)?f-1(I)∈I(L1).

引理1.2［10］設L是正則剩余格，則 I∈I(L)當且僅當I為下集且對⊕運算封閉.

定義1.6［11］設L是正則剩余格，?≠A?L.稱包含A的最小⊙理想為由A生成的⊙理想，記為〈A〉.特別地，當 A={a}時，〈{a}〉簡記為〈a〉.

引理1.3［11］設L是正則剩余格且?≠A?L，則:

引理 1.4［11］設 L是正則剩余格，則?x，y∈L，〈x〉∩〈y〉=〈x∧y〉.

2 ⊙理想拓撲空間的定義與基本性質(zhì)

設L是一個正則剩余格，因為?I，J∈I(L)，I∩J∈I(L)且∪{I|I∈I(L)}=L，所以由拓撲學的知識可知I(L)是L上某個拓撲的基.

定義2.1設L是正則剩余格，記L上以I(L)為基的拓撲為TL，稱之為L上的⊙理想拓撲，并稱拓撲空間(L，TL)為L的⊙理想拓撲空間.

例 2.1MV 單位區(qū)間［0，1］MV=(［0，1］，?，→MV)，是特殊的正則剩余格，其中x→MVy=(1-x+y)∧1，則 I(［0，1］MV)={{0}，［0，1］}.因此［0，1］MV上以 I(［0，1］MV)為基的拓撲 TL={?，{0}，［0，1］}.

命題2.1設L是一個正則剩余格.?x∈L，定義Bx={I∈I(L)|x∈I}，則Bx是x的一個關于拓撲TL的鄰域基.

證明由文獻［14］中定理2.6.7立即可得.

命題2.2設L是一個正則剩余格.定義B={〈x〉＞|x∈L}，則B也是L上⊙理想拓撲空間(L，TL)的一個基.

證明對?I∈I(L)，易知，即I為集合{〈x〉|x∈L}中某些元素的并.又由引理1.4知B={〈x〉|x∈L}對交封閉，故B也是L上⊙理想拓撲空間(L，TL)的一個基.

命題2.3設L是正則剩余格.Ux為(L，TL)中點 x的鄰域系，則〈x〉為(Ux，?)中最小元.

設L是正則剩余格，A?L，記A在(L，TL)中的導集、閉包和內(nèi)部為d(A)、c(A)和i(A).

定理2.1設L是一個正則剩余格，A?L，則在L上的⊙理想拓撲空間(L，TL)中有d(A)={x∈L|〈x〉∩(A-{x})≠?}.

證明因為d(A)中包含A的全部聚點.而x∈L為A的聚點當且僅當?U∈Ux都有U∩(A-{x})≠?，由命題2.3又知，這當且僅當〈x〉∩(A-{x})≠?，所以 d(A)={x∈L|〈x〉∩(A-{x})≠?}.

推論2.1設L是一個正則剩余格，則在L上的⊙理想拓撲空間(L，TL)中有:

1) ?A?L，0?d(A)；

2) ?A∈I(L)，若 x∈A 且 x≠0，則x∈d(A)；

3)?A?L，若0∈A，則0為A的孤立點.

定理2.2設L是正則剩余格，A?L，則A為(L，TL)中閉集??x?A 且〈x〉∩A=?.

證明A為(L，TL)中閉集?d(A)?A??x∈L，〈x〉∩(A-{x})≠? 蘊涵 x∈A?x?A 且〈x〉∩(A-{x})=??x?A 且〈x〉∩A=?.

推論2.2設L是一個正則剩余格.若0∈A?L，則 A 不是(L，TL)中閉集.

證明因為A?L，所以?x∈L使x?A且〈x〉∩A≠?.故A不是(L，TL)中閉集.

定理2.3設L是一個正則剩余格，A?L，則在L上的⊙理想拓撲空間(L，TL)中有c(A)=∩{L-〈x〉|x∈L，〈x〉∩A= ?}.

證明因為在一個拓撲空間中，集合A的閉包等于包含A的所有閉集的交，所以再結(jié)合命題2.2可得x∈BU?L，U∈TL}=∩{L-〈x〉|〈x〉∩A=?}.

定理2.4設L是一個正則剩余格，A?L，則在L上的⊙理想拓撲空間(L，TL)中有i(A)=∪{〈x〉|x∈L，〈x〉?A}.

證明i(A)=∪{U|U?A，U∈TL}=∪{〈x〉|〈x〉?A，x∈BU?L，U∈TL}= ∪{〈x〉|x∈L，〈x〉?A}.

推論2.3設L是一個正則剩余格，A?L，則在L上的⊙理想拓撲空間(L，TL)中有:

1) 若0∈A，則c(A)=L；

2)若0?A，則i(A)=?.

3 ⊙理想拓撲空間(L，TL)的拓撲性質(zhì)

討論(L，TL)的連續(xù)映射、緊致性、連通性、可數(shù)性、分離性等拓撲性質(zhì).

定理 3.1設(L1，?，→，? )和(L2，?，→，?)是2個正則剩余格，f:L1→L2是正則剩余格同態(tài)，則 f是拓撲空間(L1，TL1)到拓撲空間(L2，TL2)的連續(xù)映射.

證明由引理1.1和文獻［14］中定理2.6.5立即可得.

定理3.2設L是一個正則剩余格，則L上的⊙理想拓撲空間(L，TL)是緊致空間.

證明設A={Iα|α∈Λ}?I(L)是 L的開覆蓋，即，則由 1∈L 知存在 α0∈Λ 使 1∈Iα0.從而由 I∈I(L)為下集得 I=L，因此{Iα0}為 L的開覆蓋A的一個有限子覆蓋，故(L，TL)是緊致空間.

定理3.3設L是一個正則剩余格，則L上的⊙理想拓撲空間(L，TL)是連通空間.

證明設U是L的既開又閉的非空真子集，則存在{Iα|α∈Λ}?I(L)使，所以 0∈U.但另一方面，因為也是(L，TL)中開集，所以又?I∈I(L)使0∈I?LU，這矛盾于0∈U.因此L中不存在既開又閉的非空真子集，從而(L，TL)是連通空間.

定理3.4設L是一個正則剩余格，則(L，TL)滿足第I可數(shù)性公理，即(L，TL)是A1空間.

證明因為由命題2.2知，?x∈L，{〈x〉}為點x的一個鄰域基，所以(L，TL)滿足第I可數(shù)性公理，即(L，TL)是 A1空間.

定理3.5設L是一個正則剩余格，則(L，TL)滿足第II可數(shù)性公理，即(L，TL)是A2空間當且僅當{〈x〉|x∈L}是可數(shù)集.

證明若{〈x〉|x∈L}是可數(shù)集，則由命題2.2知(L，TL)滿足第II可數(shù)性公理.反之，設(L，TL)滿足第II可數(shù)性公理，則(L，TL)有一個可數(shù)基，設為B={B1，B2，…，Bn，…}于是任取 x∈L，?Bi∈B 使x∈Bi，從而 Bi∈Ux.故由命題 2.3 知〈x〉?Bi，因此|{〈x〉|x∈L}|≤|B|，所以{〈x〉|x∈L}是可數(shù)集.

定理3.6設L是一個正則剩余格，則(L，TL)是T0空間當且僅當?x∈L，x⊕x=x.

證明設?x∈L，x⊕x=x，則由引理1.3的2)得〈x〉={y∈L|y≤x}.于是，任取 x，y∈L 且 x≠y，則當 x與y不可比較大小時，x?〈y〉且 y?〈x〉；當x與 y可以比較大小時，不妨設 y＜x，則 x?〈y〉.故由命題2.2知(L，TL)是 T0空間.反之，設(L，TL)是 T0空間，若?x∈L 使 x⊕x≠x，則 x∈〈x⊕x〉且 x⊕x∈〈x〉，矛盾! 故?x∈L，x⊕x=x.

定理3.7設L是一個正則剩余格，則(L，TL)既不是T1空間也不是T2空間.

證明因為?U∈TL都有0∈U，從而L-{0}不是(L，TL)中開集，故單點集{0}不是(L，TL)中閉集，所以(L，TL)不是T1空間，從而也不是T2空間.

定理3.8設L是一個正則剩余格，則(L，TL)既不是正則空間也不是正規(guī)空間.

證明因為(L，TL)中任意2個非空開集都相交，所以(L，TL)既非正則也非正規(guī)空間.

4 積空間

定義 4.1設(Li，?i，→i，?i)，i∈J 是一族正則剩余格.令，在L上點式的定義二元運算?，→和一元運算?，則(L，?，→，?)構(gòu)成一個正則剩余格，稱為乘積正則剩余格.

設(L1，?，→，? )和(L2，?，→，? )是 2 個正則剩余格，TL1和TL2分別為L1和L2上的⊙理想拓撲.若令 L=L1×L2，一方面，由 TL1和 TL2可自然地在L上誘導一個乘積拓撲T=TL1×TL2，且T以B={U1×U2|U1∈TL1，U2∈TL2}為基.另一方面，由定義4.1知，L=L1×L2也是正則剩余格，故在L上也可按定義2.1的方式定義⊙理想拓撲TL，且TL以I(L)=I(L1×L2)為基.一個自然的問題是:L上乘積拓撲T與⊙理想拓撲TL之間關系如何?

定理 4.1設(L1，?，→，? )和(L2，?，→，?)是2個正則剩余格，L=L1×L2為乘積正則剩余格，則對?I1∈I(L1)和 I2∈I(L2)，都有 I=I1× I2∈I(L).反之，L的任一⊙理想都具有如上形式，即I(L)={I1×I2|I1∈I(L1)，I2∈I(I2)}.

證明任取I1∈I(L1)和I2∈I(L2)，令I=I1×I2.由0∈I1且 0∈I2得(0，0)∈I1× I2=I.設(x2，y2)∈I且(x1，y1)⊙(x2，y2)∈I，即(x2，y2)∈I且(x1⊙x2，y1⊙y2)∈I，則 x2，x1⊙x2∈I1且 y2，y1⊙y2∈I2，故由 I1∈I(L1)和 I2∈F(L2)得 x1∈I1且 y1∈I2，從而(x1，y1)∈I，因此 I∈I(L).

反之，任取 I∈I(L)，令 I1={x∈L1|?y∈L2，(x，y)∈I}且 I2={y∈L2|?x∈L1，(x，y)∈I}，則由(0，0)∈I知 0∈I1且 0∈I2.任取 x1，x2∈L1，x2，x1⊙x2∈I1，則?y1，y2∈L2使(x2，y2)∈I 且(x1⊙x2，y1)∈I.注意到 I為下集便得(x2，0)∈I且(x1⊙x2，0)∈I，即(x2，0)∈I且(x1，0)⊙(x2，0)∈I，從而(x1，0)∈I，故 x1∈I1.因此 I1∈I(L1).類似可證 I2∈I(L2).下證 I=I1×I2.顯然 I?I1× I2.設(x，y)∈I1× I2，則 x∈I1且 y∈I2，故由前面的證明知(x，0)，(0，y)∈I.又(x，0)⊙(x，y)=(x⊙x，0⊙y)=(0，y)∈I，所以由 I∈IL(L)得(x，y)∈I，因此 I1×I2?I，從而 I=I1×I2.

定理 4.2設(L1，?，→，? )和(L2，?，→，?)是2個正則剩余格，L=L1×L2為乘積正則剩余格，則L上乘積拓撲T與⊙理想拓撲TL是一致的，即T=TL.

推論 4.1設(Li，?，→，? )，i∈J為一族正則剩余格，為乘積正則剩余格，則L上乘積拓撲與⊙理想拓撲TL是一致的，即.

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