文/管景強(qiáng)

摘 要：在平時(shí)教學(xué)中教師都會(huì)發(fā)現(xiàn)，通過(guò)一定的訓(xùn)練和指導(dǎo)，學(xué)生對(duì)與例題相近的、常見問(wèn)題解題技能會(huì)明顯提高，但只要題目稍加變化，學(xué)生就會(huì)變得不會(huì)思考，只能機(jī)械照搬或一籌莫展。是什么封閉了學(xué)生的思維空間？又該怎樣打開這個(gè)空間，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維呢？應(yīng)該把學(xué)生思維的發(fā)展作為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性，才能使學(xué)生經(jīng)歷真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；發(fā)展過(guò)程；練習(xí)；反思；習(xí)慣

【案例1】

如圖1：一個(gè)長(zhǎng)18米，寬12米的長(zhǎng)方形苗圃一面靠墻，其他面圍上竹籬笆，求竹籬笆長(zhǎng)多少米？

解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，對(duì)全班46名學(xué)生的計(jì)算方法進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)：

（1）（18＋12）×2 7人 占15.2%

（2）（18＋12）×2－18 25人 占54.3%

（3）18×2＋12 6人 占13.0%

（4）18＋18＋123人 占6.5%

（5）不會(huì)解答或其他列式錯(cuò)誤 5人 占10.9%

分析：第（1）種方法肯定是錯(cuò)誤的，學(xué)生沒(méi)有考慮到長(zhǎng)方形苗圃一面靠墻不需要圍竹籬笆這一情況，直接套用了長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算公式。很多學(xué)生用第（2）種方法來(lái)計(jì)算，先用長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式求出長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，然后再減去一條長(zhǎng)，求出竹籬笆的長(zhǎng)度。共有約20%的學(xué)生用第（3）、（4）種方法，根據(jù)平面圖形周長(zhǎng)的意義來(lái)計(jì)算的，而第（3）種形式上更為簡(jiǎn)單些。為什么會(huì)有超過(guò)一半的學(xué)生用第（2）種方法來(lái)計(jì)算呢？經(jīng)過(guò)了解，這部分學(xué)生說(shuō)出了想法：老師要求我們牢牢記住長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式是長(zhǎng)加寬的和乘以2，因此，我們平時(shí)碰到和長(zhǎng)方形周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題，習(xí)慣上都用公式先算出長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。教師在教學(xué)中過(guò)于強(qiáng)調(diào)用長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算公式解題，平時(shí)大量的訓(xùn)練和教師的要求促使學(xué)生牢記了計(jì)算公式而忽略周長(zhǎng)的意義，忽視了最基本求圖形周長(zhǎng)的方法，才使得學(xué)生機(jī)械照搬。

【案例2】

（蘇教國(guó)標(biāo)版六年級(jí)上冊(cè)P108思考題）圖2中正方形的面積是8平方厘米，涂色部分的面積是多少平方厘米？

在教學(xué)這道思考題時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)涂色部分的面積就是圓的面積的四分之三，進(jìn)而理清了解題思路：先求出圓的面積再除以4乘以3算出涂色部分的面積。接下來(lái)，該學(xué)生根據(jù)題目中給出的條件獨(dú)立計(jì)算了，這時(shí)有學(xué)生舉起了手。

生1：老師，這道題少條件，算不出圓的面積。

師：你為什么覺(jué)得少條件？

生1：要求圓的面積必須告訴我們圓的半徑，這題圓的半徑不知道，怎么求??？

師：圓的半徑不知道，就求不出來(lái)了嗎？

生1：老師，你以前說(shuō)過(guò)，要求圓的面積必須要先知道圓的半徑。以前我們遇到的題，如果不直接告訴我們圓的半徑也會(huì)告訴我們圓的直徑或圓的周長(zhǎng)，這樣我們就可以先求出圓的半徑，這題告訴我們的那個(gè)正方形的面積求不出圓的半徑啊。

生2：老師，我倒覺(jué)得如果正方形的面積不是8平方厘米而是9平方厘米，那就好了。

師：為什么？

生2：這樣我就知道圓的半徑是3厘米了，如果面積是8平方厘米，圓的半徑還真算不出來(lái)。

……

分析：正如案例中生1說(shuō)的那樣：平時(shí)教學(xué)中求圓的面積，教師強(qiáng)調(diào)最多的是必須知道圓的半徑，如果圓的半徑不知道，也要通過(guò)已知條件先求出圓的半徑。生2雖然已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了正方形的面積與圓的半徑間的關(guān)系，但是他的關(guān)注點(diǎn)還是在要先求出圓的半徑上。所以大多數(shù)學(xué)生面對(duì)此題，就會(huì)因求不出圓的半徑而無(wú)法求解。正因?yàn)榻處熎綍r(shí)牢牢抓住的“必須知道圓的半徑”這一解題條件，并加以反復(fù)訓(xùn)練，才使得學(xué)生一籌莫展。

【反思】

案例1中學(xué)生牢記了計(jì)算公式而忽視周長(zhǎng)的本質(zhì)意義，案例2中學(xué)生只關(guān)注到了圓的半徑卻忽略了半徑的平方。從這兩個(gè)例子中我們很明顯地看出部分學(xué)生的思維是被限制住了，為什么會(huì)被限制呢？除去個(gè)體差異因素外，恐怕教師平時(shí)的教學(xué)起著不可忽略的作用。正是教師平時(shí)過(guò)于強(qiáng)調(diào)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式解題、強(qiáng)調(diào)要求圓的面積必須先知道圓的半徑，而平時(shí)的練習(xí)又恰恰凸顯、強(qiáng)化了教師所強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容，這才限制住了學(xué)生的思維。教師的過(guò)分強(qiáng)調(diào)加上平時(shí)訓(xùn)練的過(guò)于強(qiáng)化封閉了學(xué)生的思維空間，這才造成了部分學(xué)生只能機(jī)械照搬或一籌莫展了。類似的例子還有：學(xué)習(xí)完圓錐體積計(jì)算后，只要題目中出現(xiàn)了“圓錐”這個(gè)詞，不假思索地記得一定要除以三或乘以三分之一；學(xué)習(xí)完按比例分配的問(wèn)題，當(dāng)已知數(shù)量不是各部分的總量時(shí)，仍舊套用按比例分配的方法；學(xué)習(xí)完梯形的面積計(jì)算后，當(dāng)問(wèn)題中沒(méi)有出現(xiàn)梯形的上底和下底具體數(shù)值而只告知上下底之和時(shí)，認(rèn)為缺少條件而計(jì)算不出面積……

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，掌握有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。教師教學(xué)要通過(guò)有效的措施，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，使學(xué)生真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，得到必要的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。從案例中可以看出，教師平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)顯然沒(méi)有達(dá)到課標(biāo)所提的要求，學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)思維形成了一種定勢(shì)、一種習(xí)慣，不利于數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

【對(duì)策】

1.經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程

數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、技能的掌握、思維的發(fā)展、經(jīng)驗(yàn)的積累很大一部分是在教學(xué)活動(dòng)中完成的。對(duì)于書本中出現(xiàn)的概念、原理、定律、公式，不應(yīng)只求記住結(jié)論、機(jī)械應(yīng)用，而應(yīng)經(jīng)歷結(jié)論發(fā)現(xiàn)、探索、形成的過(guò)程，多思考結(jié)論背后的智慧。這樣數(shù)學(xué)的思想方法才能積淀、凝聚在這些結(jié)論上，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力才會(huì)逐步提高。拿案例1中所涉及的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式來(lái)說(shuō)，我們?cè)诮虒W(xué)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式時(shí)應(yīng)從圖形周長(zhǎng)本質(zhì)意義入手，先突出最基礎(chǔ)、最本質(zhì)的方法，在此基礎(chǔ)上再經(jīng)歷長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式的優(yōu)化過(guò)程，逐步抽象出計(jì)算公式，再把得到的公式與本質(zhì)方法進(jìn)行對(duì)比反思。不需要教師的刻意強(qiáng)調(diào)，相信更多的學(xué)生今后會(huì)根據(jù)實(shí)際情況靈活地運(yùn)用。

2.科學(xué)合理地設(shè)計(jì)練習(xí)

學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展離不開一定數(shù)量的訓(xùn)練，科學(xué)的、合理的訓(xùn)練才能促進(jìn)理解，發(fā)展思維。反之，如果教師只依靠模仿練習(xí)、類型歸類、題海訓(xùn)練來(lái)讓學(xué)生記住知識(shí)的話，就會(huì)將數(shù)學(xué)分割成零散的小步驟來(lái)訓(xùn)練，數(shù)學(xué)思想就會(huì)被割裂開來(lái)，進(jìn)而影響學(xué)生的創(chuàng)造力，阻礙數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。有研究表明：數(shù)學(xué)訓(xùn)練的第一個(gè)層次是“知識(shí)堆積”與“解題術(shù)”，第二個(gè)層次是“思維方法”與“解題方法”，第三個(gè)層次才是“數(shù)學(xué)思想”與“數(shù)學(xué)觀念”。因此，教師在教學(xué)中設(shè)計(jì)的練習(xí)也要涉及這些層次，合理、分層地進(jìn)行設(shè)計(jì)。先進(jìn)行模仿練習(xí)，目的是鞏固剛學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能；再進(jìn)行變式練習(xí)，目的是理解方法、引發(fā)思考、發(fā)散思維；最后進(jìn)行應(yīng)用練習(xí)，目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值。

3.注重解題之后的反思

要打開學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，獲得必要的數(shù)學(xué)思想方法，就要求我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的訓(xùn)練中必須注重反思，使學(xué)生在反思過(guò)程中能夠自己去領(lǐng)悟。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)地檢查自己的思維活動(dòng)，如，反思這個(gè)問(wèn)題與曾經(jīng)遇到或解決過(guò)的問(wèn)題有什么聯(lián)系，自己是怎樣解決這個(gè)問(wèn)題的，用到了哪些數(shù)學(xué)思考方法、技能和技巧，其中有什么值得以后注意的地方，結(jié)論是否合理正確，還能不能通過(guò)其他途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題等。通過(guò)解決問(wèn)題后的反思知識(shí)聯(lián)系、反思解題過(guò)程、反思經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)等一系列思維活動(dòng)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在解決問(wèn)題后繼續(xù)飛翔。

4.養(yǎng)成創(chuàng)造性習(xí)慣

葉圣陶說(shuō)過(guò)：“教育是什么，往單方面講，只需一句話，就是要培養(yǎng)良好的習(xí)慣?！睂W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣作為一種重要的非智力因素，是學(xué)生必備的基本素質(zhì)。發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，要注重學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)，除了課前預(yù)習(xí)、專心聽講、認(rèn)真作業(yè)等傳統(tǒng)學(xué)習(xí)習(xí)慣，更要關(guān)注學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)習(xí)慣。如，敢于質(zhì)疑，在學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成的探究活動(dòng)中，鼓勵(lì)學(xué)生敢于發(fā)現(xiàn)、提出有針對(duì)性、有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)會(huì)質(zhì)疑問(wèn)難；勤于實(shí)踐，小學(xué)生的思維活動(dòng)處在具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展的過(guò)渡階段，可以多做一些操作性活動(dòng)來(lái)提供感性材料的支持，通過(guò)具體實(shí)踐來(lái)探究新知；善于思考，可以為學(xué)生多創(chuàng)造能夠“創(chuàng)新”的實(shí)踐活動(dòng)，如一題多解、一題多變、猜想、推理、討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)。使得學(xué)生善于從多角度思考與解決問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的多向性和靈活性。

編輯 謝尾合