摘要：線性代數(shù)是工科數(shù)學(xué)的一門重要的基礎(chǔ)課。通過對該門數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力以及處理問題能力都能夠得到提高。本文具體介紹了筆者在線性代數(shù)課程教學(xué)中如何使用的講授法和啟發(fā)式教學(xué)法，并在多年的教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上，介紹了在教學(xué)中如何以教材為基礎(chǔ)，以充分的備課為前提，以激情四射的講解為平臺，深入淺出地講解線性代數(shù)，大力激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，全面提高學(xué)習(xí)效果。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；教學(xué)方法；啟發(fā)式教學(xué)

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）22-0070-02

線性代數(shù)是以工科為特色的高校開設(shè)的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。課程設(shè)置的主要目的是讓學(xué)生通過抽象性、邏輯性、應(yīng)用性的必要訓(xùn)練，逐步形成運(yùn)用線性代數(shù)[1]的原理和方法解決實際問題的思維模式和思維習(xí)慣，并為后繼課程如隨機(jī)過程、矩陣分析及抽象代數(shù)等課程提供學(xué)習(xí)所必需的代數(shù)知識。線性代數(shù)教學(xué)效果的好壞，直接影響到學(xué)生的培養(yǎng)質(zhì)量。可以說，代數(shù)代數(shù)的理論和方法[2][3]是許多課程的重要基礎(chǔ)。同時線性代數(shù)的抽象性強(qiáng)，概念較多，常常使初學(xué)者感到吃力。關(guān)于線性代數(shù)課程教學(xué)方法的探討[4]是數(shù)學(xué)教育工作者所廣泛關(guān)注的問題。什么是線性代數(shù)（Linear Algebra）？代數(shù)一詞源于阿拉伯語，原意是“結(jié)合在一起”。也就是說代數(shù)的作用是把許多看似不相關(guān)的事物“結(jié)合在一起”，即進(jìn)行抽象。抽象的目的當(dāng)然不是為了顯示數(shù)學(xué)家本人智商有多高，而是為了更深刻地描述問題，解決問題。要想看得更遠(yuǎn)，我們只有站得更高。比如正因為我們引入了線性代數(shù)中的抽象概念——線性空間，才得以對宇宙間的所有的線性空間類的集合的性質(zhì)有了深入的研究。而這樣的集合在我們生活中又是普遍存在的。抽象的神奇和美妙由此可見一斑也。在工科院校的大多數(shù)專業(yè)中，線性代數(shù)都是重要的課程。它不僅是各專業(yè)的后繼課程的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)人才所必需的思維能力、提高學(xué)生解決問題能力的途徑。盡管線性代數(shù)的教學(xué)方法多種多樣，但不管采取何種方法，都應(yīng)以盡可能使學(xué)生通過課堂的學(xué)習(xí)得到更大的收獲為原則。現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)方法很多，如啟發(fā)式問題教學(xué)法、講授法、引導(dǎo)探索式教學(xué)法等。以下分別談?wù)勚v授法與啟發(fā)式教學(xué)法。

一、講授法

線性代數(shù)往往采用大班授課方式，學(xué)生人數(shù)多，學(xué)時數(shù)有限，因此講授法在線性代數(shù)課程教學(xué)中必然占據(jù)重要的地位。講授法是指教師直接講解，通過簡明、生動的口頭語言，向?qū)W生系統(tǒng)地傳授知識、發(fā)展學(xué)生智力的方法。線性代數(shù)的主要內(nèi)容是行列式與矩陣。行列式不僅是克拉默法則的準(zhǔn)備知識，也是研究矩陣的一個工具。矩陣是線性映射的刻畫，矩陣的特征值與特征向量是研究線性變換過程中的變與不變的必然途徑。這些知識的引入本身是自然，美妙又生動的。但如果在講授過程中沒有注意到這一點(diǎn)，只是對著書本或者課件泛泛而談，必定枯燥乏味，效果亦可想而知。因此我們在講授一門課之前首先應(yīng)該博覽群書，虛心請教教學(xué)經(jīng)驗豐富的老師，然后花大量時間認(rèn)真?zhèn)湔n。在線性代數(shù)課程中，特別應(yīng)注意到對這幾個數(shù)學(xué)概念的講解：（1）行列式的來龍去脈，行列式的作用；（2）矩陣的來龍去脈，矩陣的秩是什么；（3）為什么要研究相似矩陣，為什么要引入特征值，特征向量；（4）為什么要研究二次型。同時，應(yīng)在授課過程中用板書的形式加強(qiáng)對這以下幾個重要的計算方法的訓(xùn)練：（1）行列式的計算；（2）矩陣的初等行變換（重中之重）；（3）線性方程組的求解；（4）特征值與特征向量的計算（重中之重，工科學(xué)生后續(xù)課程必備能力之一）；（5）相似對角化的計算；（6）二次型的標(biāo)準(zhǔn)型的計算。之所以采用講授法，主要是因為第一：該法的課堂效率比較高，能在有限的時間內(nèi)使用更多的教學(xué)手段，盡可能使學(xué)生獲得更大的知識量。第二：能充分發(fā)揮教師在教學(xué)中的主導(dǎo)作用，有利于教學(xué)任務(wù)的順利完成。講授法的缺點(diǎn)在于它以單向的信息傳輸方式，任課教師不能“抓住”學(xué)生的注意力，便會不利于學(xué)生的發(fā)揮自身的主觀能動性。愛因斯坦有句名言：“興趣是最好的老師”，濃厚的學(xué)習(xí)興趣、強(qiáng)烈的求知欲，是學(xué)生獲得學(xué)習(xí)成功的關(guān)鍵因素之一。因此在授課時還要注意千方百計激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，比如適當(dāng)介紹與代數(shù)緊密相關(guān)的前沿問題（比如費(fèi)馬大定理），介紹代數(shù)的發(fā)展史（比如數(shù)的發(fā)展），介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)人物（比如伽羅瓦，阿貝爾），既能吸引學(xué)生的注意力，又能提高學(xué)生對代數(shù)的認(rèn)識并激發(fā)他們對高等代數(shù)的熱愛。在授課方式上，可采用多媒體與板書相結(jié)合的方式。

二、啟發(fā)式教學(xué)法

為了彌補(bǔ)單純的講授法的不足，應(yīng)在線性代數(shù)的課堂上融入啟發(fā)式教育，引導(dǎo)鼓勵學(xué)生進(jìn)行各種思維的思考模式下的思考，比如發(fā)散性思維，聯(lián)想思維，這也是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重要手段。比如我們在介紹完矩陣的乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算之后，可以“趁機(jī)”引導(dǎo)學(xué)生們思考“為什么矩陣不定義除法運(yùn)算”。再比如在介紹矩陣的跡運(yùn)算，可以介紹如下不等式：tr2（AB）≤（trAAT）（trBBT），A.B∈Mn（R）。然后“借題發(fā)揮”，然后介紹定積分運(yùn)算，期望運(yùn)算下的同形式的不等式，最后介紹內(nèi)積的運(yùn)算與Cauchy-Schwartz不等式[5，6]。矩陣的研究在線性代數(shù)中占重要的筆墨?，F(xiàn)行教學(xué)中的矩陣都是基于數(shù)域（大多為實數(shù)域或復(fù)數(shù)域）上，那么我們能不能對基于交換環(huán)上的矩陣[7]展開研究呢？這是一個很有趣的問題。我們可以以此啟發(fā)學(xué)生，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵他們?nèi)ゲ殚嗁Y料。矩陣的秩，矩陣的相抵，矩陣的特征值，矩陣的相似，矩陣的相合，這些數(shù)學(xué)概念都是從一些不同科學(xué)領(lǐng)域中的實際問題經(jīng)過高度抽象高度提煉而得到的，是前人創(chuàng)性工作的成果，是經(jīng)歷過時間的檢驗的，他們的形成過程本身就是一個個體現(xiàn)創(chuàng)新思維的過程。僅僅局限于教材的話，學(xué)生根本看不到鮮活的、曲折的、有趣的創(chuàng)造過程，看到的只是那些經(jīng)過簡化整理的論證形態(tài)，其敘述順序與發(fā)現(xiàn)過程往往是相反的，這是造成學(xué)生們學(xué)習(xí)線性代數(shù)時感到困難的一個原因。作為教師，所以我們要補(bǔ)充一些對知識的來龍去脈的講解。比如我在講解矩陣的特征值與特征向量時，經(jīng)常會說一下他們的幾何意義。我們知道特征值與特征向量的定義：滿足Aα=λα的非零實數(shù)λ與向量α。矩陣乘以一個向量的結(jié)果仍是同維數(shù)的一個向量，也就相當(dāng)于把一個向量變成同維數(shù)的另一個向量，即對該向量做了一個變換，那么變換的結(jié)果是如何？一個變換的特征向量其實是這樣的向量，它經(jīng)過這種特定的變換后保持方向不變，只是進(jìn)行長度上的伸縮而已，其實也就對應(yīng)到該變換下的不變子空間。另外，談?wù)務(wù)n堂例題與課后作業(yè)題的相關(guān)問題。眾所周知的是，數(shù)學(xué)知識的講解與學(xué)習(xí)是離不開做題的。目前的情況是，理工科的線性代數(shù)課程一般是40～48學(xué)時，學(xué)時比較少，內(nèi)容比較多。很多學(xué)生在課堂上基本能夠聽懂，但沒有及時進(jìn)行復(fù)習(xí)，也沒有做一定數(shù)目的習(xí)題，完全達(dá)不到熟練運(yùn)用的程度。因此，一方面我們應(yīng)花大力氣對作為課堂的例題的題目反復(fù)斟酌，精挑細(xì)選，以求我們在課堂的例題能夠更有效的幫助學(xué)生們掌握數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)技巧，也使我們選擇的例題更容易給學(xué)生們留下深刻的印象。另一方面，我們還需重視布置的課后習(xí)題選取，這不僅能幫助學(xué)生掌握和鞏固所學(xué)知識，也能讓讓教師通過作業(yè)完全情況獲得學(xué)生近期學(xué)習(xí)情況的信息。我們對作業(yè)的批改必須非常仔細(xì)，因為作業(yè)是老師與學(xué)生個體進(jìn)行交流的主要途徑。錯誤的地方要給出批示，我們還要按時講評作業(yè)，這樣才能提高我們的教學(xué)質(zhì)量。我們應(yīng)督促學(xué)生對課后的知識點(diǎn)、不同題型其解題方法以及解題技巧進(jìn)行歸納總結(jié)，提醒并鼓勵學(xué)生們相互之間的交流與學(xué)習(xí)，及時幫助他們解決學(xué)習(xí)過程中遇到的困難，幫助他們提高學(xué)習(xí)效率與效果。

隨著時代的變遷，學(xué)生的特點(diǎn)也在發(fā)生改變。我們只有與時俱進(jìn)，不斷改進(jìn)我們的教學(xué)方法，才能使教學(xué)質(zhì)量得到提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]王恒太，劉邵容.線性代數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J].教育教學(xué)論壇，2013，（28）：103-104.

[3]李玲玲，徐華鋒.線性代數(shù)教學(xué)方法的思考與實踐[J].教育教學(xué)論壇，2012，（30）：22-23.

[4]李益.探索“雙引導(dǎo)”導(dǎo)激教學(xué)方式培養(yǎng)創(chuàng)新人才[J].重慶郵電大學(xué)學(xué)報社會科學(xué)版，2012，24（6）：127-130.

[5]蹇紅.弱初等變換解矩陣方程AXB=C和CR分解[J].中國科技信息，2013，（19）：51-52.

[6]孫春濤.Cauchy-Schwarz不等式的應(yīng)用[J].四川兵工學(xué)報，2011，32（2）：155-156.

[7]孫春濤，蹇紅.關(guān)于整數(shù)矩陣的幾個問題的思考[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版，2013，30（2）：39-41.

基金項目：重慶郵電大學(xué)信息計算科學(xué)，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)提升計劃；重慶郵電大學(xué)教育教學(xué)改革研究項目。

作者簡介：孫春濤（1980—），男，重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院，講師；蹇紅（1980—），女，重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院，講師。endprint