吳婉瑩，何迎東，郭 甦，陳華友，周禮剛

(安徽大學數學科學學院，安徽合肥230601)

直覺對偶猶豫模糊集建立在直覺模糊集［1－2］與對偶猶豫模糊集［3］的基礎上，用一個實數對構成的集合表示隸屬度與非隸屬度。將直覺對偶猶豫模糊集運用到決策過程中是非常實用的，可以更加具體地描述模糊性的本質，對事物屬性的描述提供了更多的方式，使得在處理不確定信息時具有更強的表現能力。

多屬性群決策［4－5］廣泛存在于社會、經濟和管理等領域，其實質就是利用已有的決策信息，通過一定的方式對一組備選方案進行排序或擇優(yōu)。模糊多屬性決策已成為當前國內外研究的一個熱點。

筆者首先提出直覺對偶猶豫模糊集的概念，并在直覺對偶猶豫模糊集定義的基礎上構造其基本運算，接著給出直覺對偶猶豫模糊集的加權平均集結算子［6－9］，最后，將直覺對偶猶豫模糊集的加權平均集結算子應用到多屬性群決策中，給出多屬性群決策方法，并通過實例說明該方法的可行性和有效性。

1 模糊集定義及運算

定義1 令X是一個固定的集合，X上的直覺模糊集A定義如下:

式中，μA(x):X→［0，1］和 νA(x):X→［0，1］分別為A的隸屬函數和非隸屬函數，且對任意的x∈X，0≤μA(x)+νA(x)≤1。對于 X 中的每個直覺模糊集，稱πA(x)=1－μA(x)－νA(x)為x在A中的猶豫度，表示x對A的猶豫程度。顯然，對于任意的 x∈X，有0≤πA(x)≤1。

定義2［10－11］令 X為一個給定的集合。形如A={＜x，hA(x)＞|x∈X}的二元組稱為X上的猶豫模糊集(HFS)。其中，hA(x)為由區(qū)間［0，1］上若干個不同的數構成的集合，表示元素x屬于A的若干種可能隸屬度構成的集合。為了書寫方便，記hA(x)為猶豫模糊元(HFE)。

定義3 令X是一個固定的集合，在X上的對偶猶豫模糊集H定義為:

其中，f(x)和 g(x)是兩個集合，f(x)?［0，1］，g(x)?［0，1］，f(x)為 x∈H 的可能隸屬度，g(x)為x∈H的可能非隸屬度。為方便起見，稱H(x)=(f(x)，g(x))為對偶猶豫模糊元，簡記為H=(f，g)。

定義4 令X為一個給定的集合，在X上的直覺對偶猶豫模糊集A定義為:

其中，HA(x)為由若干個不同的實數對(fA(x)，gA(x))組成的集合，fA(x):X→［0，1］為A的隸屬函數，gA(x):X→［0，1］為A的非隸屬函數，且對任意的x∈X，0≤fA(x)+gA(x)≤1。為方便起見，稱h=HA(x)是一個直覺對偶猶豫模糊元。

定義5 設X上的直覺對偶猶豫模糊集A={＜x，HA(x) ＞ |x∈X}，猶豫度 πA(x)為由區(qū)間［0，1］上若干個不同的數構成的集合，πA(x)=1－fA(x)－gA(x)。顯然，對于任意的 x∈X，有0≤πA(x)≤1。

定義6 設A、A1、A2是論域X上的3個直覺對偶猶豫模糊集，則直覺對偶猶豫模糊集的基本運算法則如下:

為了比較兩個直覺對偶猶豫模糊元的大小，引入直覺對偶猶豫模糊元的得分函數。

定義7 設X上的直覺對偶猶豫模糊元h=HA(x)， 其得分函數定義為，其中#h為 h 中的元素個數。對于兩個直覺對偶猶豫模糊元h1和h2，若s(h1) ＞ s(h2)，則h1＞ h2;若s(h1) =s(h2)，則 h1=h2。

2 直覺對偶猶豫模糊集的集結算子

XU和YAGER曾給出了直覺模糊集的有序加權平均算子(OWA)，有序加權幾何平均算子，有序加權調和平均算子，以及廣義的有序加權平均算子。在這些理論基礎上，這里給出直覺對偶猶豫模糊集的一些集結算子。

定義8 設hi(i=1，2，…，n)是論域 X上的一組直覺對偶猶豫模糊元，直覺對偶猶豫模糊集的一些集結算子如下:

(1)直覺對偶猶豫模糊算術加權平均算子:

(2)直覺對偶猶豫模糊有序加權算術平均算子:

(3)廣義的直覺對偶猶豫模糊有序加權算術平均算子:

(4)直覺對偶猶豫模糊加權幾何平均算子:

(5)直覺對偶猶豫模糊有序加權幾何平均算子:

(6)廣義直覺對偶猶豫模糊有序加權幾何平均算子:

式中:hσ(j)為 hi(i=1，2，…，n) 中第 j大的數;λ ＞ 0;w=(w1，w2，…，wn)T為 h1，h2，…，hn的權重向量，滿足 wj∈［0，1］，j=1，2，…，n，且

定理1 直覺對偶猶豫模糊加權幾何平均算子具有以下性質:

(2)冪等性。設(h1，h2，…，hn)為直覺對偶猶豫模糊元，若對任意的 i，有hi=h，則IDHFWG(h1，h2，…，hn)=h。

(3)介值性。直覺對偶猶豫模糊加權幾何平均算子介于 max算子與 min算子之間，即min(hi)≤IDHFWG(h1，h2，…，hn)≤max(hi)。其中max(hi)={max fi，min gi} ，min(hi)={min fi，max gi}。

(4)若 w=(1/n，1/n，…，1/n)T，則相應的直覺對偶猶豫模糊加權幾何平均算子即為幾何平均算子:

(4)將權重 w=(1/n，1/n，…，1/n)T代入直覺對偶猶豫模糊加權幾何平均算子的計算公式即可。

3 直覺對偶猶豫模糊集的多屬性群決策

在實際問題中，為了保護決策者的隱私以及避免相互影響，往往采取匿名的形式，如總統選舉或論文盲審。這里，將直覺對偶猶豫模糊集的集結算子應用于匿名的多屬性群決策中［12］。假設Yi(i=1，2，…，m) 為方案集，Gj(j=1，2，…，n)為屬性集，權重向量為 w=(w1，w2，…，wn)T。決策者采取匿名的形式對方案Yi在屬性Gj給出評價值，且評價值以直覺對偶猶豫模糊元hij的形式給出。通過1個實例說明具體的決策方法。

例如銀行打算貸款給公司進行運作，在對市場進行考察后，有3家公司在考慮范圍內:①制藥公司Y1;②食品公司Y2;③家具公司Y3。在進行對比時，主要考慮以下3個方面:①短期收益G1;②長期收益G2;③投資風險G3。專家組由3名成員組成，每位成員均采取直覺對偶猶豫模糊元的形式表達自己的觀點。結果如表1所示，屬性的權重向量 w=(0.33，0.41，0.26)T。

(1)為了避免相互影響，決策者采取匿名的方式給出評價值，決策矩陣H=(hij)m×n如表1所示，hij均為直覺對偶猶豫模糊元的形式，表示方案Yi在屬性Gj下的評價值。

(2)使用GIDHFOWA算子和GIDHFOWG算子對方案Yi的屬性值進行集結，取λ=2，得到相應的直覺對偶猶豫模糊元hi(i=1，2，…，m)。

(3)計算得分函數s(Yi)的值，GIDHFOWA算子 的結果為:s(Y1)=0.7876，s(Y2)=0.8554，ns(Y3)=0.833 6;GIDHFOWG 算子的結 果 為:s(Y1)=0.656 8，s(Y2)=0.847 8，s(Y3)=0.798 5。

表1 決策矩陣

(4)將s(Yi)的值按照降序進行排列s(Y2)＞s(Y3)＞s(Y1)，則得到最優(yōu)方案為投資食品公司是Y2。在直覺模糊集環(huán)境下，根據集結算子和得分函數的運算，得到最優(yōu)方案也是Y2。

4 結論

筆者給出了直覺對偶猶豫模糊集的定義，構造了其基本運算，提出了直覺對偶猶豫模糊集的信息集結算子，并將其應用于解決多屬性群決策問題，通過一個實例說明該方法的實用性和可行性。

［1］ATANASSOV K T.Intuitionistic fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1986(1):87 －96.

［2］ATANASSOV K T.New operations defined over the intuitionistic fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1994(2):137－142.

［3］ZHU B，XU Z，XIAM.Dualhesitant fuzzy sets［J］.Journal of Applied Mathematics，2012，32(5):317 －386.

［4］LID F.Multi－ attribute decision making models and methods using intuitionistic fuzzy sets［J］.Journal of Computer and System Sciences，2005，70(1):73 －85.

［5］XU Z.Intuitionistic preference relations and their application in group decision making［J］.Information Sciences，2007，177(11):2363 －2379.

［6］XU Z.Intuitionistic fuzzy aggregation operators［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2007，15(6):1179－1187.

［7］XIA M，XU Z.Hesitant fuzzy information aggregation in decision making［J］.International Journal of Approximate Reasoning，2011，52(3):395 －407.

［8］YAGER R R.On ordered weighted averaging aggregation operators in multicriteria decision making［J］.IEEE Transactions on Systems，Man and Cybernetics，1988，18(1):183 －190.

［9］XU Z，YAGER R R.Some geometric aggregation operators based on intuitionistic fuzzy sets［J］.International Journal of General Systems，2006，35(4):417 －433.

［10］TORRA V.Hesitant fuzzy sets［J］.International Journal of Intelligent Systems，2010，25(6):529 －539.

［11］TORRA V，NARUKAWA Y.On hesitant fuzzy sets and decision［C］∥IEEE International Conference on Fuzzy Systems.［S.l.］:［s.n，］，2009:1378 －1382.

［12］邱方鵬，莫莉.基于直覺模糊集的產品規(guī)劃評估群決策研究［J］.武漢理工大學學報:信息與管理工程版，2013，35(5):723 －727.