張秋生

(新鄉(xiāng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453000)

通過(guò)對(duì)微積分的研究，分析如何更好地確認(rèn)相關(guān)的函數(shù)方程?？v觀歷年的考試，我們不難知道如下的方法：

一、利用微積分極限確定相關(guān)的函數(shù)方程

在高等數(shù)學(xué)中，關(guān)于函數(shù)的極限求解是重要的解題方法，要知道，在實(shí)際問(wèn)題的精確解中，僅僅通過(guò)有限次的算術(shù)運(yùn)算是不足以求解的，必須通過(guò)無(wú)窮變化過(guò)程的變化趨勢(shì)才能更好地求解，因此我們就有極限的概念以及相關(guān)的極限方法。通過(guò)利用微積分極限能夠更為有效地確定具體的函數(shù)方程。以下是其簡(jiǎn)要分析：

數(shù)學(xué)題型解題方法 函數(shù)方程無(wú)窮小的比較或確定無(wú)窮小的階1.比較兩個(gè)無(wú)窮小,并按照相關(guān)的定義,運(yùn)用洛必達(dá)法則以及等價(jià)無(wú)窮小代換;2.通過(guò)三個(gè)或三個(gè)以上的無(wú)窮小的比較,利用等價(jià)無(wú)窮小代換化簡(jiǎn),然后對(duì)無(wú)窮小作比較,主要運(yùn)用洛必達(dá)法則;3.確定其無(wú)窮小的階,主要運(yùn)用 limx→∞f(x)xn為有限數(shù)確定n,確定n時(shí),主要運(yùn)用洛必達(dá)法則以及等價(jià)無(wú)窮小代換此方法。 確定未定式的函數(shù)方程的極限1.通過(guò)因式分解或根式有理化,消去使分母去零的因式,并運(yùn)用極限運(yùn)算法則或連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)求解。所謂的根式有理化,是指極限式中的含有 a±b分別乘以分子或分母,使其“0”因子呈現(xiàn)的運(yùn)算。 確定∞∞型函數(shù)極限1.運(yùn)用抓大頭原則;2.運(yùn)用洛必達(dá)法則;3.利用變量代換化為 00。確定∞-∞型函數(shù)1.通分或根式有理化將其轉(zhuǎn)化為00型;2.利用倒代換 x=1tk(常數(shù)k>0) 。 確定0-∞ 型未定式函數(shù)1.通過(guò)“0”或“ ∞”項(xiàng)下放(放到分母的位置上)轉(zhuǎn)化為00型或 ∞∞型,然后運(yùn)用洛必達(dá)法則或抓大頭準(zhǔn)則。

且f(X)>0，且滿足求f(X)。

為1∞=eλ型極限，以下是簡(jiǎn)要的運(yùn)算：

例2 設(shè)f(x)在x=0中有界限，且滿足方程f(x)-1/2*f(x/2)=x2，求f(x)。

解：f(x)-1/2*f(x/2)=x2

1/2*f(x/2)-1/22f(x/22)=1/2*(x/2)2;1/22*

f(x/22)-1/23*f(x/23)=1/22*(x/22)2

......

1/2n-1*f(x/2n-1)-1/2n*f(x/2n)=1/2n+1*(x/2n-1)2

將以上的諸式相加，我們就能知道如下：

二、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)方程

關(guān)于函數(shù)中的導(dǎo)數(shù)與微分是微積分學(xué)中最基本又是最重要的兩個(gè)概念。在幾何上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即曲線的切線斜率，因此導(dǎo)數(shù)有著鮮明的幾何意義。在實(shí)際數(shù)學(xué)運(yùn)用中，我們不難知道，導(dǎo)數(shù)概念在幾何上的應(yīng)用就是求解曲線的切線或法線的斜率。一元函數(shù)可微性與可導(dǎo)性是等價(jià)的，它是函數(shù)增量與自變量增量之間的關(guān)系表達(dá)式，函數(shù)的微分更多的是體現(xiàn)一個(gè)函數(shù)增量的線性部分。它們兩者是等價(jià)的。我們?cè)谘芯亢瘮?shù)方程的時(shí)候，需要將其與可微與微分相互結(jié)合，因?yàn)樗玫孛枋觥耙灾贝薄谇€上運(yùn)用切線點(diǎn)求近似曲線。微分，特別是一階微分形式的不變性是求導(dǎo)的逆運(yùn)算的基礎(chǔ)，運(yùn)用微分近似函數(shù)的增量求解函數(shù)方程。以下是其相關(guān)實(shí)證分析：

例3 設(shè)f(x)是以5為周期的連續(xù)函數(shù)，且在x=0的領(lǐng)域內(nèi)有

f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x)

解：因題設(shè)可知，f(x)=f(x+5) ，f(6)=f(1) ，f′(x) =f′(x+5)，f′(6)=f′(1).式(1)中的兩邊取x→0時(shí)的極限，得

F(1)-3f(1)=0→f(1)=0，即f(6)=0

式中(1)的兩邊同除以x，然后取x→0時(shí)的極限.

=f′(1)+3f′(1)=4f′(1)

所以4f′(1)=8f′(1)=2，即f′(6)=2 ，故曲線y=f(x)在點(diǎn)(6，f(6))處的切線方程為：y-f(6)=f’(6)(x-6)，即y=2(x-6)。

三、利用可變上限求導(dǎo)求解對(duì)應(yīng)的函數(shù)方程

f[ψ(x)]ψ′(x) -f[ψ(x)]ψ′(x)(x∈I).通過(guò)運(yùn)用其定義，我們能夠推導(dǎo)到相關(guān)的函數(shù)，并對(duì)定積分或變限積分中的被積分含f{ψ(x)}，一般以變量代換，將f{ψ(x)} 變?yōu)閒(μ) ，在切換的過(guò)程中，需要注意相應(yīng)更換積分的下限。以下是實(shí)證分析：

解：因?yàn)樗沁B續(xù)函數(shù)，即不需考慮到其極限情況，直接求導(dǎo)即可，如下所示：

四、依據(jù)函數(shù)的連續(xù)性確定函數(shù)方程

按照函數(shù)連續(xù)性的定義，我們不難知道，如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處及其附近有定義，而且函數(shù)在x=a處的極限值和f(a)相等，就說(shuō)函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)。函數(shù)若在區(qū)間(m，n)內(nèi)所有點(diǎn)上都連續(xù)，就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間(m，n)內(nèi)連續(xù)。函數(shù)若在區(qū)間(m，n)內(nèi)所有點(diǎn)上都連續(xù)，而且在x=m點(diǎn)上右極限等于f(m)，在x=n點(diǎn)上左極限等于f(n)，我們就能說(shuō)函數(shù)在區(qū)間[m，n]內(nèi)連續(xù)。在確定函數(shù)方程中，我們不難知道，通過(guò)f(x)在x=a的兩側(cè)表達(dá)式差異，我們能夠確定其具體的函數(shù)方程。

解：由題設(shè)，有f-(0)=f+(0)=f(0)=A，而

則-3/2=1+B=A，故A=-3/2，B=-5/2。因此可確定其方程大小。

故：

五、利用微積分方程的性質(zhì)求解方程

函數(shù)是客觀反映事物內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映，利用函數(shù)關(guān)系我們能夠更好地研究客觀事物的規(guī)律，對(duì)于理解變量之間的關(guān)系有著必要性，在實(shí)踐中有著更為重要的意義。但是在實(shí)際的過(guò)程中，我們并不能直接確定其函數(shù)的關(guān)系，需通過(guò)變量與函數(shù)之間的關(guān)系確定其中的關(guān)系，此就是微分方程，通過(guò)方程的運(yùn)算，我們能夠更好地確定函數(shù)方程。

解：曲線y=f(x)在點(diǎn)(x，f(x))處的切線方程為：Y-f(x)=f’(x)(X-x)

令X=0，得截距Y=f(x)-xf’(x)。

函數(shù)是數(shù)學(xué)中的重要組成部分，它反映更多的是變量之間的關(guān)系，而我們知道，任何事物都是變化發(fā)展的，數(shù)學(xué)就是一個(gè)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的機(jī)器，任何一個(gè)零件都有著其獨(dú)特的功能，積分的應(yīng)用在幾何、物理、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)類等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，是一元函數(shù)積分學(xué)的核心。而定積分與不定積分，我們?cè)趯?shí)際學(xué)習(xí)的過(guò)程中，不難知道，它們能夠給出被積函數(shù)的全體原函數(shù)，從而為積分計(jì)算提供更為簡(jiǎn)捷的工具。通過(guò)對(duì)積分方法的歸納總結(jié)，更好地實(shí)現(xiàn)函數(shù)方程確定的客觀規(guī)律。

參考文獻(xiàn)：

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