黃樂華

(廣東韶關學院 韶州師范分院，廣東 韶關 512009)

在數(shù)學課堂教學中，教師往往將大量的精力集中到“解答一個現(xiàn)成的問題”，卻很少關注“數(shù)學問題的來歷、表述和提煉”。這種“重解輕問”的教學現(xiàn)象違背了數(shù)學的認識和發(fā)展規(guī)律，也束縛了學生數(shù)學思維能力的發(fā)展以及解題能力的提高。事實上，數(shù)學的發(fā)展始于數(shù)學問題的提出，并在解決問題的過程中提出新的問題，從而經歷一個由問題提出與問題解決不斷循環(huán)往復的過程。近年來，研究者對提出問題的能力進行了研究，并逐步達成了共識：作為一種學習方式或能力，問題提出能有效促進學生對知識的理解，改進學生對數(shù)學觀念的反思。其中代表性人物Ellerton認為：“提出問題作為一個窗口，可探測學生的數(shù)學理解能力，通過創(chuàng)造自己的問題表達數(shù)學觀念，不僅展示了他們對數(shù)學概念發(fā)展的理解和水平，而且也反映了他們對數(shù)學本質的理解?！盵1]

高等代數(shù)中諸多概念，如線性相關性、線性表示、極大線性無關組、基和維數(shù)、坐標、基礎解系等概念，分散在各章各節(jié)中，容易在學生頭腦中形成“碎片”。許多學生認為這些概念是孤立的、缺乏聯(lián)系的。本人在教學實踐中，以專題的形式，引導學生對一個線性方程組一題多問，促進學生對數(shù)學概念、定理進行反思，發(fā)展學生對數(shù)學關系的理解，進而提高學生的解題水平。

1 案例

對于線性方程組

請結合高等代數(shù)的內容，從不同角度提出數(shù)學問題。

問題1 你能用不同形式表述線性方程組嗎？

解：(1)矩陣形式

或Ax=b，其中

(2)向量形式

問題2 在矩陣形式中提出了哪些問題？在向量形式中提出了哪些問題？

解：在矩陣形式中提出了矩陣的秩在討論線性方程組中的地位和作用的問題。

因系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩同為2，故該方程組有解，又秩r=2＜n=4，因此方程組有無數(shù)個解。

2 反思

2.1 理解需要事實性知識和概念框架來支撐

數(shù)學教學的目標之一是讓學生理解數(shù)學，為了發(fā)展學生的數(shù)學理解力，學生必須具備幾個條件：扎實的數(shù)學知識和技能基礎；在一個數(shù)學概念框架內理解知識和觀念；對知識能有效組織，以便檢索和利用。如對于“問題5”，學生需要掌握的核心概念就有：(1)掌握線性方程組的不同表征，包括矩陣表征和向量表征；(2)了解基礎解系概念，為此必須先知道矩陣的秩、線性相關、線性無關、極大無關組、空間、向量空間、坐標、基和維數(shù)等概念；(3)清楚一系列關系，如“數(shù)域F上線性方程組有解的充要條件是它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩”、“數(shù)域F上一個做成n個未知量的齊次線性方程組的一切解作成Fn的一個子空間，稱為這個齊次線性方程組的解空間。如果所給的方程組的系數(shù)矩陣的秩是r，那么解空間的維數(shù)等于nr?！盵2]在這一系列概念和關系中處于核心地位的是矩陣的秩。

事實上，在教學中我們很容易把上述問題歸結為解線性方程組的問題，而解線性方程組是一個程序性問題，導致學生會直接解線性方程組，卻不會求基礎解系。教學中我們應把程序性知識和概念理解緊密地聯(lián)系起來，幫助學生把所有的概念和能力組織納入一個知識網絡體系，這樣有助于促進學生策略的發(fā)展，有助于提高學生的適應性推理能力。

2.2 理解需要大量的數(shù)學問題來支撐

教學中，我們發(fā)現(xiàn)學生常常把算法和意義分離，如把求基礎解系等同于解線性方程組，把線性表示看成解線性方程組等，導致學生遇到較為復雜的情境時無法理解問題的實質，解題陷于迷惘。一種比較有效的處理方法是利用問題幫助學生積極地進行意義建構。在本案例中，圍繞線性方程組的一系列問題，有助于學生比較這些專業(yè)術語的不同解釋，有助于學生比較不同問題的解決策略和解決方法。更為重要的是，這些從不同側面提出的問題，促進了學生對知識之間聯(lián)系的認識，構建了知識網絡。

“天下大事，必作于細；天下難事，必作于易”，教學也應該從易處入手，如一個情境、一個簡單的數(shù)學問題，就可引導、啟發(fā)學生從不同角度、用不同觀點去思考問題，把提問做細，讓學生養(yǎng)成提問的學習習慣，由此逐步提高學生提出問題的能力。

[1]Ellerton N F.Children’s Made-up Mathematical Problems：a new Perspective on Talented Mathematiciams[J].Educational Studies in Mathematics，1986，(17)：261-271.

[2]張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.