錢有成

作為一個(gè)活動(dòng)的理論、建構(gòu)的理論、發(fā)展的理論，皮亞杰認(rèn)知發(fā)展理論深刻地描述了認(rèn)知發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，分析了影響認(rèn)知發(fā)展的因素和促進(jìn)認(rèn)知發(fā)展的動(dòng)力。它揭示了人類認(rèn)識(shí)世界、發(fā)展認(rèn)知的心理機(jī)制，為教育教學(xué)研究提供了豐厚的心理學(xué)基礎(chǔ)。同時(shí)，從皮亞杰對(duì)認(rèn)知發(fā)生、發(fā)展的生動(dòng)分析中，我們看到，皮亞杰認(rèn)知發(fā)展理論用建構(gòu)的觀點(diǎn)探討認(rèn)知的發(fā)展，尤其強(qiáng)調(diào)活動(dòng)在認(rèn)知發(fā)展和知識(shí)建構(gòu)中的作用。本文以《三角函數(shù)的周期性》教學(xué)為例談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)概念教學(xué)。

一、提供積累，感知概念

從認(rèn)知出發(fā)，人概念是圖式存在于人的大腦中，我們通過(guò)實(shí)例進(jìn)行激活抽象，使學(xué)生獲得感知。

在“三角函數(shù)的周期性”教學(xué)時(shí)，可先設(shè)計(jì)以下方式引入課題：

情境1：從2013年12月份的日歷上可以看出，12月9日是周一，再過(guò)7天，16日還是周一，再過(guò)7天，23日還是周一……

情境2：?jiǎn)挝粓A上的點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一圈以后回到了原來(lái)的位置。

問(wèn)題：你能舉出數(shù)學(xué)中某些現(xiàn)象重復(fù)出現(xiàn)的例子嗎？

學(xué)生可以根據(jù)前階段學(xué)習(xí)的誘導(dǎo)公式的特點(diǎn)，回答出三角函數(shù)，三角函數(shù)線。

問(wèn)題：我們以正弦函數(shù)為例，怎樣解釋這種周而復(fù)始的現(xiàn)象呢？

學(xué)生1：sin30°=sin150°。這個(gè)回答是筆者沒有預(yù)想到的。

課堂上，學(xué)生的深思頓悟、靈機(jī)一動(dòng)，節(jié)外生枝和思維的遇阻、疏忽大意等等，都可能催生出一個(gè)個(gè)鮮活的教學(xué)資源，為創(chuàng)設(shè)智慧、高效課堂帶來(lái)可能。為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)了預(yù)知不得，欲罷不忍的學(xué)習(xí)情境，激發(fā)了學(xué)生的探究積極性，課堂氣氛又活躍了起來(lái)。

學(xué)生2：當(dāng)角α的終邊轉(zhuǎn)動(dòng)2π，就會(huì)重合，三角函數(shù)值也相等。

這是學(xué)生從形的角度刻畫了三角函數(shù)的“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，筆者繼續(xù)追問(wèn)：把你這句話用表達(dá)式寫出來(lái)是什么樣的呢？

學(xué)生2：sin（x+2π）=sinx。

這樣我們就很自然的聯(lián)想到之前學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，讓學(xué)生很輕松愉悅地接受了正弦函數(shù)的周期現(xiàn)象，也為接下來(lái)推導(dǎo)余弦函數(shù)和正切函數(shù)的周期作鋪墊。

二、同化順應(yīng)，概括概念

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，我們通過(guò)比較分析、抽象概括等同化順應(yīng)活動(dòng)，讓學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)同。

如：“三角函數(shù)周期性”概念教學(xué)中，如果某函數(shù)f（x）每間隔2個(gè)單位，函數(shù)值重復(fù)再現(xiàn)，如何用符號(hào)語(yǔ)言表示？引導(dǎo)學(xué)生得出f（x+2）=f（x）。

追問(wèn)：如果某函數(shù)f（x）每間隔7個(gè)單位，函數(shù)值重復(fù)再現(xiàn)，如何表示？

引導(dǎo)學(xué)生得出f（x+7）=f（x）。

教師通過(guò)前面特殊情況的分析，逐漸引導(dǎo)學(xué)生感受“周而復(fù)始”的特征，從而慢慢引入數(shù)學(xué)概念。

三、提供變式，抽象本質(zhì)

隨著學(xué)生對(duì)概念的不斷積累，我們將概念進(jìn)行不斷深化，抽象出精確的形式。在“三角函數(shù)的周期性”教學(xué)時(shí)：是不是只有三角函數(shù)才有周期性？我們是否可以給一般的周期性函數(shù)下一個(gè)定義呢？

該問(wèn)題的設(shè)置意圖，要求學(xué)生能從現(xiàn)有的材料中概括出本質(zhì)特征，并把本質(zhì)特征用精當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言加以描述。概括是數(shù)學(xué)概念形成的重要過(guò)程，所以教學(xué)設(shè)計(jì)中必須為學(xué)生的概括做好鋪墊。這個(gè)環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。教師不能急于求成，要傾聽學(xué)生的心聲，要營(yíng)造民主、平等、寬容的課堂教學(xué)氣氛，把握學(xué)生的解惑需求，對(duì)于學(xué)生的回答，要及時(shí)加以辨別，作出正確的判斷，并因勢(shì)利導(dǎo)，給學(xué)生探究的時(shí)間和空間，這樣會(huì)使后面的教學(xué)更深入，更有價(jià)值。

定義中關(guān)鍵詞有哪些？這些關(guān)鍵詞你感覺熟悉嗎？之前的學(xué)習(xí)中哪里遇見過(guò)？

設(shè)計(jì)意圖是為了讓學(xué)生更深入理解定義的內(nèi)涵，把握判斷函數(shù)周期性的關(guān)鍵，并聯(lián)系之前學(xué)過(guò)的函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，更好地理解周期性的定義。這個(gè)環(huán)節(jié)把握的程度可以從接下來(lái)課件中判斷函數(shù)是否為周期函數(shù)反映出來(lái)。

思考：y=3是周期函數(shù)嗎？

學(xué)生的反映并沒有預(yù)想的好，問(wèn)題出在了哪里？是概念理解不清，還是符號(hào)不能準(zhǔn)確轉(zhuǎn)換？筆者課后作了學(xué)生調(diào)查，結(jié)果顯示，學(xué)生不能把y=3和f（x）=3聯(lián)系起來(lái)，更找不出f（x+T）=f（x）中的T的值，感覺不存在。該問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖是想說(shuō)明不是所有函數(shù)都有最小正周期，但是反映出來(lái)的是學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的不理解。給我們留了思考，函數(shù)的概念教學(xué)是否到位呢？學(xué)生不能真正透徹理解函數(shù)的概念，個(gè)人覺得這是教學(xué)中的失敗。但是很多問(wèn)題不是一兩節(jié)課能解決的，如果再次講授這節(jié)課，這個(gè)環(huán)節(jié)肯定刪除。

四、深化運(yùn)用，鞏固概念

我們只有把數(shù)學(xué)概念和生活實(shí)踐聯(lián)系起來(lái)，才能運(yùn)用發(fā)展數(shù)學(xué)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的永恒價(jià)值，這節(jié)概念課配備了如下的例題：

[例1]若鐘擺的高度h（mm）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系如下圖所示。

（1）求該函數(shù)的周期；

（2）求t=10s時(shí)鐘擺的高度。

師組織學(xué)生圍繞以下問(wèn)題展開討論：

問(wèn)題1：周期函數(shù)的圖像具有什么特征？

問(wèn)題2：能否根據(jù)周期性找到t=10s時(shí)鐘擺的高度？

[例2]求函數(shù)y=cos2x的周期。

思考：自編一道三角函數(shù)題，請(qǐng)同座位思考是否為周期函數(shù)？若是周期函數(shù)，周期是多少？若不是周期函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由。

該問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖是想讓學(xué)生能夠感受到自己是課堂的主人，是學(xué)習(xí)活動(dòng)中自由的“生命體”。但是由于學(xué)生的層次比較低，這個(gè)環(huán)節(jié)在具體實(shí)施過(guò)程中很難推進(jìn)，不能體現(xiàn)有效性，給的3分鐘的時(shí)間不能完成布置的任務(wù)，筆者表示很遺憾。這個(gè)環(huán)節(jié)的不成功，使得接下來(lái)的y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ都是常數(shù)，A≠0，ω>0）的周期的概括和推導(dǎo)就不能順利的進(jìn)行。當(dāng)然，課堂教學(xué)過(guò)程本身就是一個(gè)“精心預(yù)設(shè)”與“動(dòng)態(tài)生成”和諧統(tǒng)一的過(guò)程。備課首先應(yīng)該先備學(xué)生，教師應(yīng)熟悉學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)的薄弱之處，要換位思考，真正從學(xué)生的角度審視問(wèn)題。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，筆者認(rèn)為，概念的教學(xué)是一個(gè)值得繼續(xù)探究的過(guò)程，是要貫穿在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，潛移默化地去發(fā)展學(xué)生的思維的過(guò)程，是一個(gè)長(zhǎng)遠(yuǎn)的過(guò)程。如果再上一次，我想把這個(gè)問(wèn)題改成例題，直接改為：求下列函數(shù)的周期：

（1）

（2）

（3）

（4）y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ都是常數(shù)，A≠0，ω>0）

這樣的改動(dòng)，和原先的問(wèn)題設(shè)置相比，顯然教師的主動(dòng)性高于學(xué)生。

總之，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)的重要組成部分，學(xué)好數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要前提，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念掌握與理解的程度，直接影響到其它數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 皮亞杰. 發(fā)生認(rèn)識(shí)論原理[M]. 商務(wù)印書館，1996.

[2] 張奠宙. 數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引[M]. 江蘇教育出版社，1998.

（作者單位：江蘇省興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校）