【摘 要】定義在數(shù)學(xué)教學(xué)中往往被忽視;定義是符號(hào)，其所代替的是事物的全部;在進(jìn)行定義的教學(xué)時(shí)由淺入深，層層深入;定義體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的嚴(yán)謹(jǐn)性;對(duì)定義的全面理解有助于解題的深入。

【關(guān)鍵詞】題海 " "定義 " "準(zhǔn)確全面的理解 " "思維嚴(yán)謹(jǐn)性 " " 解題完整

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)留給大多數(shù)人的印象是反復(fù)解題目、做試卷，很少見到有要求背定義，即使是背，也最多是背背公式。其實(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)名詞定義的準(zhǔn)確、全面的理解在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著至關(guān)重要的作用，是培養(yǎng)學(xué)生思考問題嚴(yán)謹(jǐn)性的一個(gè)平臺(tái)，是學(xué)生解題完整的依據(jù)。

一、定義在數(shù)學(xué)教學(xué)中往往被忽視

在數(shù)學(xué)新課的教學(xué)中，一節(jié)課通常是這樣安排的：新課引入、學(xué)生活動(dòng)、新課講解、例題教學(xué)、學(xué)生練習(xí)、歸納小結(jié)、學(xué)生作業(yè)，最后是課后反思。定義一般是在學(xué)生活動(dòng)后，師生共同歸納總結(jié)，給出定義。多數(shù)情況下定義還可寫成一個(gè)數(shù)學(xué)式，定義中的一些特定條件，也是要經(jīng)過反復(fù)揣摩，最后把定義完善。在學(xué)生解決問題的過程中，表示定義的那個(gè)數(shù)學(xué)式顯得較為突出，而其他需要滿足的條件常會(huì)被忽視，有時(shí)這對(duì)解題結(jié)果不會(huì)產(chǎn)生影響，學(xué)生不去重視它也就很自然了。例如，解析幾何中圓錐曲線的定義，橢圓定義中除了“到兩定點(diǎn)距離之和為定值”，這些都是定義的一部分，但很多學(xué)生忽視了它們，導(dǎo)致解題困難和錯(cuò)誤。

二、定義是符號(hào)，其所代替的是事物的全部

一個(gè)完整的定義應(yīng)該包括被定義對(duì)象的全部，只有全面理解了定義的內(nèi)容，才能挖掘出定義中的內(nèi)涵，達(dá)到解題完整的效果。例如，函數(shù)的定義域是函數(shù)定義中的一部分，用解析法表示函數(shù)時(shí)，不僅要寫出函數(shù)的解析式，還應(yīng)該寫出x 的取值范圍，否則就是默認(rèn)為這個(gè)式子有意義的所有x的值。在解決實(shí)際問題時(shí)x一般都有其實(shí)際意義，這就要求列函數(shù)關(guān)系式時(shí)要考慮到這一點(diǎn)。往往在應(yīng)用題中列函數(shù)關(guān)系式看似簡單，但函數(shù)的定義域在此處有時(shí)可能是個(gè)難點(diǎn)。

三、定義的教學(xué)

數(shù)學(xué)概念往往抽象而且瑣碎，如果不是在理解的基礎(chǔ)上是很難記住的。要想完整地背下來真不容易。因此我在定義的教學(xué)時(shí)，先用淺顯易懂的語言給學(xué)生一個(gè)認(rèn)識(shí)，然后由淺入深，層層深入到概念的核心。師生共同歸納定義時(shí)，教師要把學(xué)生沒有想到的細(xì)節(jié)或是一些特殊情況提出來供學(xué)生思考，完善定義，加深學(xué)生印象，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到下定義時(shí)要完整、嚴(yán)謹(jǐn)。具體地說，就是先指出主語，再強(qiáng)調(diào)定語。在一些簡單的課堂練習(xí)中，不一定能把定義中的細(xì)節(jié)都體現(xiàn)出來，因此要讓學(xué)生下課后背定義，這將有助于學(xué)生在進(jìn)一步的學(xué)習(xí)中更好地理解定義，從而解決更為復(fù)雜的問題。例如，函數(shù)定義的學(xué)習(xí)一直是一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生在初中就沒有把函數(shù)的概念搞清楚，進(jìn)入高一，夾生飯很難炒，再加上函數(shù)的定義是長長的一段話，既不優(yōu)美也不朗朗上口。在回顧了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)后，第一步不妨直接提出“函數(shù)即關(guān)系，是兩個(gè)變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系”這一結(jié)論留給學(xué)生，學(xué)生會(huì)感覺簡單而且容易接受。第二步可以通過“平方”“開平方”“立方”等一些簡單的學(xué)生熟悉的變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生感受變量間的關(guān)系有多種，此時(shí)強(qiáng)調(diào)函數(shù)中的兩個(gè)變量的關(guān)系是其中一種，引出函數(shù)定義中的定語“每一個(gè)x，都有唯一確定的y與其對(duì)應(yīng)”的這種關(guān)系。第三步順理成章地可以得出函數(shù)的三個(gè)組成部分：f，x，y，即對(duì)應(yīng)關(guān)系和兩個(gè)變量，并且有：y=f（x）;由個(gè)體到整體，得到函數(shù)的三要素f，A，B，且有 f： A→B。通過以上三個(gè)步驟，函數(shù)的定義及三要素已經(jīng)很好地呈現(xiàn)在學(xué)生面前了。課后再布置學(xué)生回家背誦函數(shù)的定義，有助于學(xué)生對(duì)函數(shù)定義的清晰記憶和書寫的準(zhǔn)確規(guī)范。

四、定義體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的嚴(yán)謹(jǐn)性

定義是一個(gè)全局性的東西，要對(duì)所有的同類事物都成立。因此學(xué)生對(duì)定義的熟悉和理解有助于他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和解題的完整性。例如函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，單調(diào)函數(shù)的定義中的第一句話：“設(shè)x1、x2是定義域I上的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)數(shù)”，一般會(huì)被學(xué)生忽略不計(jì)。學(xué)生對(duì)單調(diào)函數(shù)的理解也不難，借助函數(shù)圖像可以很好地做出判斷，所以在學(xué)生的腦海中，印象深刻的多數(shù)是“x1lt;x2時(shí)，有f（x1）lt;f（x2）（ f（x1）gt;f（x2） ）”。但是，用定義法證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，定義中的“在區(qū)間D上”與“任意的”就能反映學(xué)生對(duì)這一定義的真正理解程度了。有些學(xué)生會(huì)舉若干特殊值的大小關(guān)系來得出結(jié)論，這顯然是不對(duì)的。

五、對(duì)定義的全面理解有助于解題的深入

對(duì)學(xué)生來說，清晰透徹地掌握好定義是不容易的。一般要經(jīng)過初識(shí)定義、應(yīng)用定義、反思定義、再用定義、掌握定義這樣一個(gè)層層遞進(jìn)的過程。在這個(gè)過程中，從“初識(shí)定義”到“應(yīng)用定義”之后，如果能把定義背一背，加強(qiáng)對(duì)定義的熟悉程度，對(duì)后面的“反思定義”會(huì)起到一個(gè)整理思路的作用。掌握了完整的定義后，無論題目怎樣變，都能從中提煉出其所指向的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)一些綜合題或是提高題就能從容應(yīng)對(duì)。例如，復(fù)合函數(shù)求定義域的問題：已知函數(shù)f[lg（x+1）]的定義域是[0，9]，求函數(shù)f（）的定義域。這題從條件到所求都是圍繞著定義域，要求學(xué)生要清楚定義域的概念，要清楚定義域是相對(duì)于“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的一個(gè)概念，至此這個(gè)問題就迎刃而解了。求解此類新定義的存在性問題的前提是讀懂新定義的含義，得出函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镾、值域?yàn)門的增函數(shù)，然后根據(jù)選項(xiàng)中的集合構(gòu)造函數(shù)即可。

總之，對(duì)定義深入、精確的理解是幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中脫離“題海戰(zhàn)術(shù)”的有效的一種方法;是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)會(huì)全面觀察問題、分析問題的一個(gè)案例;是培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性的一個(gè)平臺(tái)。