摘 要：方陣的冪運算是矩陣乘法的特殊情形，在圖論中有著極為廣泛的應(yīng)用。在總結(jié)歸納方陣高次冪常見六種計算方法的基礎(chǔ)上，著重分析了第六種算法：特征多項式法。用此方法計算m階方陣A的n次冪時，至多只需計算A的min｛m-1，n｝次冪，相對于前五種算法，此算法應(yīng)用范圍最廣。

關(guān)鍵詞：方陣高次冪；解題基本思路；六種解法一、數(shù)學(xué)歸納法

例1．設(shè)A=1 0?姿 1，求A2，A3，A4，…，An。

解題基本思路：依次計算A2，A3，A4，根據(jù)A2，A3，A4的結(jié)果，猜想An，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。

說明：運用此方法一般都是先計算A2，A3，A4，并根據(jù)A2，A3，A4的計算結(jié)果進行猜想，而后對猜想用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。但并不是所有矩陣的冪的元素跟冪指數(shù)都有較明顯的關(guān)系，故此方法有一定的局限性。

二、利用二項展開公式

例2.設(shè)A=?姿 1 00 ?姿 10 0 ?姿，求An。

解：A=?姿 0 00 ?姿 00 0 ?姿+0 1 00 0 10 0 0=?姿E+H，其中H=0 1 00 0 10 0 0。注意到H2=0 1 00 0 00 0 0，H3=0，且（?姿E）H=H（?姿E），故二項展開公式成立，即有An=（?姿E+H）n=（?姿E）n+n（?姿E）n-1H+■（?姿E）n-2H2。

=?姿n 0 00 ?姿n 00 0 ?姿n+0 n?姿n-1 00 0 n?姿n-10 00+0 0 ■?姿n-20 000 00

=?姿n n?姿n-1 ■?姿n-20 ?姿n n?姿n-10 0?姿n 。

說明：該方法首先要把矩陣A寫成兩個矩陣B、C的和，并要求這兩個矩陣滿足（1）矩陣B，C可交換；（2）其中一個矩陣的較低次冪的結(jié)果為特殊矩陣，如：零矩陣，數(shù)量矩陣。故此方法具有很強的技巧性，適用范圍有限。

三、利用矩陣乘法結(jié)合律

例3．設(shè)A=1■■2 1 ■3 ■ 1，求An。

解：取?琢=（1，2，3），?茁=（1，■，■），則有A=?琢T?茁，而?茁?琢T=（1，■，■）123=3。

利用矩陣乘法結(jié)合律：

An=（?琢T?茁）（?琢T?茁）…（?琢T?茁）（?琢T?茁）=?琢T（?茁?琢T）…（?茁?琢T）?茁=?琢T·3…3·?茁= 3n-1?琢T?茁=3n-1A=3n-1 ■×3n-1 3n-22×3n-1 3n-1 2×3n-23n ■×3n3n-1。

四、利用分塊對角陣求方冪

例4.已知A=2 4 0 01 2 0 00 0 2 40 0 0 2，求An。

解：A是分塊對角陣，A=B 00 C，其中B=2 41 2，C=2 40 2，

則An=Bn 00 Cn，利用方法三，得：Bn=2·4n-1 4n4n-1 2·4n-1。

利用方法二得：Cn=2n 4n·2n-10 2n，

故An=2·4n-1 4n004n-1 2·4n-1 00002n4n·2n-10002n 。

五、利用相似對角化

例5．設(shè)A=1 4 20 -3 40 4 3，求An。

解：詳見［2］。說明：此方法只能用于可對角化的方陣的冪運算。

六、特征多項式法

例6．設(shè)A=3 -2-2 3，求?漬（A）=A10-5A9。

解：計算A的特征多項式f（?姿）=A-?姿E=（?姿-1）（?姿-5），設(shè)

?漬（?姿）=?姿10-5?姿9=f（?姿）g（?姿）+h（?姿），這里g（?姿），h（?姿）分別表示?漬（?姿）除以f（?姿）所得的商式和余式，h（?姿）的次數(shù)小于f（?姿）的次數(shù)，故可設(shè)h（?姿）=a1?姿+a0，有：?姿10-5?姿9=（?姿-1）（?姿-5）g（?姿）+a1?姿+a0，令?姿=1，得：a1+a0=-4，令?姿=5，得：5a1+a0=0，所以：a1=1，a0=-5。故：?漬（?姿）=f（?姿）g（?姿）+?姿-5，所以?漬（A）=A10-5A9=f（A）g（A）+h（A）=A-5E（因為f（A）=0）

?漬（A）=A10-5A9=A-5E=-2 -2-2 -2。

說明：

（1）方法六較之于方法五要簡單實用，不僅計算量少，而且適用范圍廣，方法五僅局限于可對角化的矩陣。

（2）方法六的理論依據(jù)有二：其一是：若f（?姿）是A的特征多項式，則f（A）=0；其二是：多項式除法所得余式的次數(shù)小于除式的次數(shù)，在這里即小于特征多項式的次數(shù)。

（3）用方法六計算m階方陣A的n次冪時，至多只需計算A 的minm-1，n次冪。

（4）方法六中余式h（?姿）是一個次數(shù)不大于minm-1，n的多項式。

參考文獻：

［1］檀鳳琴，何自強.離散數(shù)學(xué).北京：科學(xué)出版社，2000.

［2］同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù).北京：高等教育出版社，2003.

項目資助：北京高等學(xué)校青年英才計劃（YETP1471）。

（作者單位 北京印刷學(xué)院基礎(chǔ)部）

?誗編輯 段麗君