摘 要：作為高一學(xué)生，第一接觸的難點(diǎn)及高中的難點(diǎn)為函數(shù)。而函數(shù)又是在其定義域背景中才存在相關(guān)問(wèn)題研究的可行性。定義域是函數(shù)的首要素。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)； 定義域

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-3315（2014）11-028-001

函數(shù)是高考中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，對(duì)于高一的新同學(xué)而言往往對(duì)函數(shù)是半知不解。而函數(shù)又是在其定義域背景中才存在相關(guān)問(wèn)題研究的可行性。由此可見(jiàn)函數(shù)定義域的地位及功能。學(xué)生應(yīng)該先從了解、掌握好定義域入手。下面談?wù)剮c(diǎn)初淺的看法：

首先要讓學(xué)生清楚什么是定義域：最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臑闀?shū)本函數(shù)定義中的說(shuō)明。但往往定義比較難于理解，而具體讓學(xué)生接觸到的定義域，其實(shí)是以函數(shù)表達(dá)形態(tài)為載體來(lái)表達(dá)（傳達(dá)信息），那么我們來(lái)看看函數(shù)實(shí)際題面中有哪些形態(tài)呢？

高一課本中函數(shù)的表達(dá)形態(tài)有：

①具體的x與y的等量關(guān)系式y(tǒng)=f（x）即解析式；

②列表展現(xiàn)x與y的對(duì)應(yīng)即表格；

③圖形中點(diǎn)（x，y）展現(xiàn)x與y的關(guān)系即圖像。

（1）我們?cè)谝阎馕鍪叫问街卸x域?yàn)槭购瘮?shù)式子有意義的x的取值集合。

中體現(xiàn)出意義為：分式要分母不為零，偶次根式為被開(kāi)數(shù)大于等于零，對(duì)數(shù)為真數(shù)大于零，正切為角的限制，0次冪為底不等于零。主要讓學(xué)生注重從運(yùn)算符號(hào)中不等量的提取及運(yùn)算能力的培養(yǎng)。

值得注意的是分段函數(shù)它也是已知解析式形式，而它的定義域應(yīng)該怎樣求呢？因?yàn)樗恢挂粋€(gè)解析式，且每個(gè)解析式都有適用范圍，但是它仍然為一個(gè)函數(shù)，所以它的定義域?yàn)楦鱾€(gè)解析式的適用范圍的并集。

例如y=lg（x-1） x≥23x+1 x<2 的定義域?yàn)镽。

當(dāng)然對(duì)于由解析式來(lái)求解定義域的最難的還是在抽象函數(shù)中，體現(xiàn)為使輸入量之能被法則f計(jì)算的自變量x的取值集合：

抽象函數(shù)是高中階段一般學(xué)生最為頭痛的一個(gè)點(diǎn)，很多學(xué)生無(wú)從下手去理解函數(shù)的定義域，其實(shí)作為同學(xué)一定要先從定義中把握住定義域——解析式中x的取值范圍（單指x而言），其次再?gòu)膄（x）結(jié)構(gòu)上理解對(duì)應(yīng)，f為對(duì)應(yīng)法則，而（）的整個(gè)內(nèi)部為法則的計(jì)算部分，稱為計(jì)算量，計(jì)算量中的x稱為自變量，當(dāng)學(xué)生把這三個(gè)量關(guān)系理清了，問(wèn)題也就解決了。

例如：1.已知f（x）的定義域?yàn)閇2，3]，則f（x2+1）的定義域。

2.已知f（2x-1）的定義域?yàn)閇2，3]，求f（2x+1）的定義域。

在第一題中f（x2+1）與f（x）的聯(lián)系為相同的法則f，所以兩個(gè)輸入量x2+1和x的范圍一致，所以1≤x2+1≤2，從而解出自變量x的定義域?yàn)閇-1，1]，第二題中的紐帶仍為相同的法則、相同的輸入量計(jì)算范圍，所以2x-1與2x+1的范圍相同，又因?yàn)閒（2x-1）的定義域?yàn)閇2，3]，所以自變量x滿足2≤x≤3，可得3≤2x-1≤5，即3≤2x+1≤5，可得f（2x+1）的定義域?yàn)閇1，2]。那我們可以看到在解決好抽象函數(shù)定義域時(shí)，同學(xué)們要把握好2點(diǎn)：一是抓住前后抽象函數(shù)輸入量范圍一致的紐帶，二是抓住定義域——解析式中x的取值范圍（單指x而言）。

（2）在列表中，展現(xiàn)為自變量x的取值的集合，直觀性比較強(qiáng)。

它通過(guò)表格中的x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)展現(xiàn)函數(shù)關(guān)系，其中所有的自變量x的取值的集合。

例如：

主要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于量與量的對(duì)應(yīng)關(guān)系的展現(xiàn)。

（3）函數(shù)圖像中，主要體現(xiàn)為所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值集合。

例如：1、圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)定義域?yàn)閇-2，3]

數(shù)形結(jié)合是高中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，也始終是一部分同學(xué)的弱點(diǎn)，在于他對(duì)于函數(shù)的三要素在圖像中的對(duì)應(yīng)沒(méi)有理解，那么如何對(duì)應(yīng)呢？首先整個(gè)圖像的整體對(duì)應(yīng)于函數(shù)y=f（x），其次所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值集合為定義域，實(shí)際可通過(guò)把每個(gè)點(diǎn)向橫坐標(biāo)引垂線，所以垂足的分布為定義域，值域類似，它主要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及自變量在圖像中的表示形態(tài)。

其次怎樣讓學(xué)生認(rèn)識(shí)定義域的作用？在整個(gè)函數(shù)領(lǐng)域中所有的研究從表象看并沒(méi)有明顯的定義域問(wèn)題形態(tài)展現(xiàn)，其實(shí)不然。在函數(shù)性質(zhì)研究中，處處可見(jiàn)定義域的身影，如函數(shù)值域，單調(diào)性，奇偶性等問(wèn)題中。

（1）值域的求解中如果你的定義域沒(méi)有考慮，那么值域?qū)⒊鲥e(cuò)，所以求值域必先研究定義域

對(duì)于這題單調(diào)區(qū)間的求解，學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤就是忘記函數(shù)定義域的存在，題目一拿到手就冒冒然利用復(fù)合函數(shù)的單條性去求解單調(diào)區(qū)間，很容易會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論：函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1]為減函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞）為增函數(shù)。沒(méi)有考慮到定義域?qū)握{(diào)區(qū)間的限制，正確解法如下：（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-3，-1]，單調(diào)減區(qū)間為[-1，1]。

由此可見(jiàn)，對(duì)于函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題定義域是先決條件，如果不對(duì)定義域加以重視，則很容易做無(wú)用功。只有對(duì)定義域深刻了解了才能事半功倍。

評(píng)注：①判斷單調(diào)性，千萬(wàn)不要忘記復(fù)合函數(shù)的定義域；

②正確應(yīng)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則；

③利用數(shù)形結(jié)合思想。

（3）奇偶性的研究中必先研究定義域是否關(guān)于定義域?qū)ΨQ，否則就沒(méi)有奇偶性。

例如：已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閇a-1，2a]，

則a=__， b=____。

這道題目主要考察的就是定義域的理解與對(duì)稱，體現(xiàn)了定義域?qū)瘮?shù)奇偶性的重要性。很多同學(xué)一上來(lái)會(huì)對(duì)這道題不知道該如何下手，找不到突破方向?；蛘吆苋菀走M(jìn)入偶函數(shù)定義式的思路。利用f（x）=f（-x）只會(huì)得到ax2+bx+3a+b=ax2-bx+3a+b恒成立，但這樣只可得到b=0，但對(duì)于a的求解卻無(wú)從得知。

然而要是注意了定義域?qū)ζ媾夹孕缘挠绊?，這道題目卻是很輕松的。因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以就有a-1=2a可馬 應(yīng)該說(shuō)函數(shù)的定義域?qū)ΨQ是奇偶性存在的一個(gè)要素，沒(méi)有定義域的思考就不會(huì)有奇偶性的存在。

總而言之，定義域是函數(shù)問(wèn)題的生存空間，是解決任何函數(shù)問(wèn)題時(shí)我們第一要考慮的要素，沒(méi)有在此條件下解得的題目很多是無(wú)效的。我們只有培養(yǎng)好的解題和思維習(xí)慣，才能在函數(shù)問(wèn)題上立于不敗之地。

參考文獻(xiàn)：

葛曉光.學(xué)生掌握和應(yīng)用函數(shù)概念情況的調(diào)查，《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》，2007年7月上