摘 要：美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是“教會(huì)年輕人思考”，認(rèn)為“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)。波利亞的解題思想對(duì)現(xiàn)階段的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)仍有重要意義，特別是對(duì)學(xué)困生的轉(zhuǎn)化有重要的指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：波利亞解題思想； 學(xué)困生轉(zhuǎn)化

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-3315（2014）11-022-001

一、探索合理方式審清題意，培養(yǎng)學(xué)困生的思維能力

學(xué)困生的困難之首就是不會(huì)審題，不能明確問題的方向和實(shí)質(zhì)，因此，通過各種方式培養(yǎng)學(xué)困生的審題能力不容忽視。

例如蘇科版第四章第3節(jié)中有這樣一個(gè)問題：運(yùn)動(dòng)場(chǎng)跑道周長400m，小紅跑步的速度是爺爺?shù)?倍，他們從同一起點(diǎn)沿跑道的同一方向同時(shí)出發(fā)，5分鐘后小紅第一次追上了爺爺，你知道他們的跑步速度嗎？

對(duì)于學(xué)困生來說，很難直接找到問題的實(shí)質(zhì)，根源在于自己不會(huì)審題，教師通過計(jì)算機(jī)模擬實(shí)際情況——和學(xué)生一起繪制數(shù)學(xué)模型示意圖——找出問題本質(zhì)：小紅跑的路程-爺爺跑的路程=跑道一圈的長度400m。

跑道示意圖：

波利亞指出：解題的價(jià)值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個(gè)解法的？”“是什么促使你這樣想，這樣做的？”這就是說，解題過程還是一個(gè)思維過程，是一個(gè)把知識(shí)與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程。

二、分解難度，逐級(jí)向上，培養(yǎng)學(xué)困生的學(xué)習(xí)信心

數(shù)學(xué)學(xué)困生最嚴(yán)重的問題就是在學(xué)習(xí)心理上失衡，對(duì)自己的學(xué)習(xí)沒有信心。因此，波利亞解題思想中分解難度，逐級(jí)向上解決問題的方法，對(duì)樹立學(xué)習(xí)信心，增強(qiáng)學(xué)習(xí)意志有很大的幫助。

例如某市為了鼓勵(lì)節(jié)約用水，對(duì)自來水的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作了如下的規(guī)定：每月每戶用水不超過10噸的部分，按0.45元/噸收費(fèi)，超過10噸而不超過20噸的部分按0.80元/噸收費(fèi)；超過20噸的部分按1.5元/噸收費(fèi)。現(xiàn)已知李老師家某月繳水費(fèi)14元，則李老師家這個(gè)月用水多少噸？

本題情況復(fù)雜，對(duì)學(xué)困生來說摸不著頭腦，理不清思路。因此通過審題，擬訂解題步驟：設(shè)李老師家這個(gè)月用水x噸。分三個(gè)部分解決：用水在0-10噸的情況，單價(jià)：0.45元/噸，水量：10噸；用水在10-20噸的情況，單價(jià)：0.80元/噸，水量：10噸；用水在20噸以上的情況，單價(jià)：1.5元/噸，水量：x-20噸。

然后用線段圖的形式幫助學(xué)生理解，使復(fù)雜問題分解成三個(gè)比較簡(jiǎn)單的問題。這樣，學(xué)困生就找到了解決問題的方向和線索，一個(gè)一個(gè)的先解決簡(jiǎn)單問題，最終獲得方程：

0.45×10+0.80×（20-10）+1.5（x-20）=14，解得：x=21

線路分析圖

單價(jià)：0.45元/噸 單價(jià)：0.80元/噸 單價(jià)：1.5元/噸

通過具體的例題采用“分解難度，逐級(jí)向上，解決問題”的方法進(jìn)行訓(xùn)練，學(xué)困生眼中的難題就變得比較簡(jiǎn)單，困難容易克服，思維不再雜亂無章，解題習(xí)慣和思路逐漸清晰。

三、靈活變化問題的形式，培養(yǎng)學(xué)困生的數(shù)學(xué)興趣

在“怎樣解題”表中，波利亞啟示我們不斷轉(zhuǎn)換問題：把問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的問題，把原問題化歸為一個(gè)已解決的問題，去考慮一個(gè)可能相關(guān)的問題，先解決一個(gè)更特殊的問題、或更一般的問題、或類似的問題……波利亞認(rèn)為：“如果我們不用題目變更，幾乎是不能有什么進(jìn)展的?！膘`活轉(zhuǎn)變問題方式對(duì)學(xué)困生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)有重要作用。例如在等腰三角形的教學(xué)中，關(guān)于等腰三角形的三個(gè)角之間的關(guān)系可以變化問題方式，激發(fā)學(xué)困生的學(xué)習(xí)興趣。

1.等腰三角形的一個(gè)底角為40，則其余的兩個(gè)角為多少度？

2.等腰三角形的一個(gè)角為40，則其余的兩個(gè)角為多少度？

3.等腰三角形的一個(gè)角為140，則其余的兩個(gè)角為多少度？

通過這樣一組變例練習(xí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)已知等腰三角形的一個(gè)角，求其他兩個(gè)角有時(shí)只有一組答案，有時(shí)有兩組答案，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

學(xué)生總結(jié)如下：當(dāng)已知的角是銳角時(shí)有兩種情況，得到兩組答案；當(dāng)已知的角是鈍角時(shí)有一種情況，得到一組答案。后來一位平時(shí)學(xué)習(xí)比較困難的學(xué)生補(bǔ)充了這樣一種特殊情況：當(dāng)已知的角是一些特殊角時(shí)也只有一組答案。例如三個(gè)角度數(shù)分別為45度、45度、90度；三個(gè)角度數(shù)分別為60度、60度、60度。他的回答得到了老師的表揚(yáng)，同學(xué)的認(rèn)可，該學(xué)生對(duì)自己也非常興奮。

四、教學(xué)生學(xué)會(huì)猜想，開展合情推理，大膽探索問題解決方法

波利亞認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育應(yīng)“教會(huì)年輕人去思考”，培養(yǎng)學(xué)生的“獨(dú)立性、能動(dòng)性和創(chuàng)新精神”，教師要“教學(xué)生證明問題”，也要“教他們猜想問題”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)合情推理。

數(shù)學(xué)猜想與合情推理能力在學(xué)生中普遍缺乏，學(xué)困生更是嚴(yán)重缺失這種能力，沒有猜想和合情推理意識(shí)，導(dǎo)致在解題中屢屢受挫。

五、重視回顧與反思，幫助學(xué)困生建構(gòu)知識(shí)體

在“怎樣解題”表中，波利亞非常重視回顧與反思。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)的進(jìn)一步梳理、及時(shí)回顧反思，構(gòu)建、完善知識(shí)體系對(duì)學(xué)困生的轉(zhuǎn)化有很大幫助。

例如蘇科版七年級(jí)第二章有理數(shù)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對(duì)0的認(rèn)識(shí)不斷擴(kuò)充和深化，通過引導(dǎo)學(xué)困生開展“我對(duì)0的多種認(rèn)識(shí)”這樣的小課題研究，促進(jìn)學(xué)生對(duì)0的知識(shí)的掌握，從而從側(cè)面鞏固有理數(shù)的知識(shí)。學(xué)生最后歸納了以下幾種認(rèn)識(shí)：0是整數(shù)；0是有理數(shù)；0是自然數(shù)；0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；0是非正數(shù)；0是非負(fù)數(shù)；0是最小的非負(fù)數(shù)；0是最小的非負(fù)整數(shù)；0是最大的非正數(shù)；0是最大的非正整數(shù)；0沒有倒數(shù)；互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0。通過這樣的小課題研究，學(xué)生學(xué)會(huì)了總結(jié)反思的學(xué)習(xí)方法，對(duì)今后的學(xué)習(xí)有很大幫助。

總之，波利亞的解題思想就像一個(gè)數(shù)學(xué)寶藏，開發(fā)利用這個(gè)寶藏，應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)困生的轉(zhuǎn)化，對(duì)教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)都有豁然開朗的指導(dǎo)作用。