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        類比法在數(shù)學解題中的應用探析

        2014-04-29 00:00:00盧章洪
        教師博覽·科研版 2014年11期

        [摘 要]類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同,從而推出它們的其他屬性也相同的推理。它是以關于兩個事物某些屬性相同的判斷為前提,推出兩個事物的其他屬性相同的結(jié)論的推理。在數(shù)學解題過程中,運用類比推理,往往能實現(xiàn)知識和方法的正遷移,能啟迪學生思維,培養(yǎng)學生綜合分析問題的能力。

        [關鍵詞]類比法;數(shù)學教學;正遷移

        類比推理是根據(jù)兩個(或兩類)對象的一些相同(或相似)的屬性,從而推導出它們的其他某些屬性也相同(或相似)的一種邏輯推理,簡稱類推、類比。在數(shù)學解題過程中,當我們的思維遇到障礙時,運用類比推理,往往能實現(xiàn)知識和方法的正遷移,達到“柳暗花明又一村”的效果。

        一、簡化類比

        簡化類比,將復雜問題類比到相應的簡單問題,由簡單問題的解決思路和方法得到啟發(fā),尋找復雜問題的解決途徑與方法。常見的簡化類比有一般與特殊的類比、高次與低次類比、多維與低維類比等。

        (1)一般與特殊的類比

        解決一般性問題時,可以先解決它的一個特殊情況(相對會簡單許多),然后對解決特殊情況時所用的方法、所得的結(jié)論進行分析,把它與一般情況進行類比,分析一般情況下的問題解決方法。

        根據(jù)輪換對稱的性質(zhì),原方程的解為:

        (3)多維與低維的類比

        平面圖形與立體圖形是從不同的維度來研究幾何圖形,但它們存在許多相似之處,對于一些較復雜的立體幾何問題(多維問題),可以通過平面幾何問題(二維問題)的類比,提供解決的思路方法,往往可簡化運算與推理,優(yōu)化解題過程。

        [例3]如圖1,在三棱錐P-ABC中,截面PDE經(jīng)過三棱錐的內(nèi)切球(與四個面都相切的球)的球心O,與AC、BC分別交于D、E,且截面將三棱錐P-ABC分成體積相等的兩部分,設四棱錐P—ADEB與三棱錐P—CDE的表面積分別為S1,S2,則必有( )

        [分析]本題是立體幾何問題(即三維空間問題),將立體中的圖形中相關的量與平面幾何中的相應的元素進行類比:三棱錐與三角形,三棱錐的內(nèi)切球與三角形的內(nèi)接圓,三棱錐的表面積與三角形的周長,三棱錐的體積與三角形的面積。由此可得到與本題相應平面幾何問題:如圖2,在△ABC中,直線DE經(jīng)過其內(nèi)切圓的圓心O,且與AB、AC分別交于D、E,如果線段DE將△ABC分成面積相等的兩部分,設△ADE與四邊形BCED的周長分別為L1、L2,判斷L1、L2的大小關系。

        設內(nèi)切圓半徑為r,將四邊形BCED分割為△DOB、△BOC、△COE三部分,將△ADE分割為△AOD和△AOE,

        解:由類比推理,可以猜想例3中S1=S2有,其解題思路與相應的平面幾何問題相仿。即將四棱錐P-ADEB分割為O-PAB,O-PAD,O-PBE與O-ADEB四部分,而將三棱錐P-DCE分割為O-PDC,O-PCE,O-CDE三部分,根據(jù)體積相等,列出方程,高都為內(nèi)切圓的半徑,即有S1=S2 。

        二、結(jié)構(gòu)形式的類比

        某些需要解決的較復雜問題很難找到現(xiàn)成的類比對象,但可通過原問題結(jié)構(gòu)特征的分析,尋找相似性類比問題,然后通過相應的構(gòu)造和代換,將原問題轉(zhuǎn)化為相應的類比問題來解決。

        三、數(shù)與形的類比

        數(shù)形結(jié)合是數(shù)學中的重要思想,“數(shù)少形時缺直觀,形少數(shù)時缺精確,兩者結(jié)合萬般好,兩者分離萬事休”。在解決數(shù)學問題時,數(shù)形結(jié)合,往往可達到化繁為簡,化難為易的效果,使所需解決復雜問題變得簡捷、直觀。

        [例5]已知:x,y,z 均為正實數(shù),

        [分析]本題兩邊都是無理式,從常規(guī)的方法來看,應該采用兩邊平方法,但右邊有兩個根號,需要平方兩次,式子就變?yōu)楹軓碗s,難以解決。但從整體上觀察結(jié)構(gòu)可知:可以把左邊看成三角形的兩邊之和,右邊是三角形的第三邊,整個結(jié)構(gòu)類似于“三角形兩邊之和大于第三邊”,而每個被開方式下面式子的結(jié)構(gòu)特征與余弦定理相類似,從而設法構(gòu)造一個三角形,用幾何知識來證明。

        解:設長方體相鄰的三邊長分別為a,b,c,a,?茁,y分別為a,b,c與對角線AC1的夾角,由此可得:

        當且僅當a=b=c時等號成立。

        類比是發(fā)掘新知識,開拓新領域的重要方法,類比的關鍵是把兩個對象之間的某種相似性能恰當?shù)穆?lián)系起來。類比思想有助于培養(yǎng)學生的靈活性、獨創(chuàng)性、廣闊性和敏捷性。

        參考文獻

        [1](美)波利業(yè)(Polya,G.).數(shù)學與猜想:數(shù)學中的歸納和類比[M].北京:科學出版社,2009.

        [2]中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學課程標準(實驗).北京:人民教育出版社,2006

        [3]鄭毓信.數(shù)學思維與數(shù)學方法論[M].成都:四川教育出版社.2012

        [4]張奠廟.數(shù)學方法論稿[M].上海:上海教育出版社,2002.

        [5]霍福策.淺議新教材中的類比思想[J].高中數(shù)學教與學,2013(4).

        責任編輯 余 華

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