曾華雄

摘要：開發(fā)學(xué)生內(nèi)在潛能，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，已經(jīng)成為當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要內(nèi)容。這主要體現(xiàn)在近幾年全國各地中考試題中都逐步加大了對應(yīng)用性問題的考查力度，并且在題型和題量上呈增長趨勢。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)應(yīng)用；有效教學(xué)；思想方法；能力培養(yǎng)

實際應(yīng)用類試題取材新穎，立意巧妙，立足于考查閱讀能力與數(shù)學(xué)建模能力.該類試題的命制具有以下的特點：①提供的情景材料新，提出的問題新；②注重考查閱讀理解能力；③注重考查分析、解決問題的能力.由于實際應(yīng)用類試題在取材上貼近時政熱點，貼近生活實際，題型豐富多彩，涉及知識面寬，因此， 該類試題常常成為中考命題的核心題。根據(jù)對學(xué)生近幾年中考應(yīng)用題的解答情況進(jìn)行了認(rèn)真的調(diào)查和分析，解答實際應(yīng)用類試題的一般步驟為：①讀懂題目，包括對題意的整體理解和局部理解，能夠全面分析關(guān)系、領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)；②建立數(shù)學(xué)模型，將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，從各種關(guān)系中找出最關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系，將這些關(guān)系用有關(guān)的量及數(shù)字、符號表示出來；③求解數(shù)學(xué)模型，根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，選擇合適的方法，設(shè)計合理簡捷的運(yùn)算途徑，求出數(shù)學(xué)問題的解；④檢驗，既要檢驗所得結(jié)果是否適合數(shù)學(xué)模型，又要評判所得結(jié)果是否符合實際問題的要求。

一、重視例題、習(xí)題的教學(xué)，注重學(xué)生閱讀能力的有效培養(yǎng)

教材是教學(xué)的主要依據(jù)，課本例題一般都具有典型性、示范性和遷移性，它們或是滲透了某些數(shù)學(xué)方法，或體現(xiàn)了某些數(shù)學(xué)思想，或提供了某些重要結(jié)論，因此應(yīng)充分認(rèn)識課本例題本身所蘊(yùn)含的價值，掌握其中的通性通法，并注重不同知識點的橫向聯(lián)系。

例1.某公司設(shè)計了一款成本為30元/件的學(xué)習(xí)用品投放市場進(jìn)行試銷。經(jīng)過調(diào)查，其中學(xué)習(xí)用品的銷售量y（件）與每天銷售單價x（元/件）之間滿足如圖1所示關(guān)系。

（1）請根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)銷售量為500件和600件時相應(yīng)的銷售單價；

（2）試求出銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若物價部門規(guī)定，該學(xué)習(xí)用品銷售單價最高不能超過55元/件，那么銷售單價定為多少時，公司試銷該學(xué)習(xí)用品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

解析：試題以一次函數(shù)為背景，主要考查學(xué)生閱讀能力，對函數(shù)圖象的提取信息能力.三個設(shè)問為遞進(jìn)關(guān)系，其中問題（1）考查函數(shù)圖象的信息獲取，根據(jù)圖象可直接得出相關(guān)數(shù)據(jù)，即通過已知點的縱坐標(biāo)獲取相應(yīng)的橫坐標(biāo)；問題（2）考查待定系數(shù)法，解答時須利用y=kx+b及點的坐標(biāo)構(gòu)造方程（組）求解；欲求問題（3） 的最大利潤，首先應(yīng)利用總利潤（W）=單件利潤×銷售量（y）進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，然后由W=a（x-h）2+k的增減性并結(jié)合自變量取值范圍確定最值問題.

（1）50元和40元；（2）y=-10x+1000；

（3）設(shè)工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，依題意，得

W=（x-30）（-10x+1000）=-10（x-65）2+12250.

∵a=-10<0，∴函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，其對稱軸為x=65.

又30

∴當(dāng)x=55時，W取得最大值，W最大=-10（55-65）2+12250=11250.

在我們數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須根據(jù)教材特點、學(xué)生年齡特征和個性特點，以教材為載體，以語言訓(xùn)練為主要內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)閱讀興趣，努力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，使其養(yǎng)成良好閱讀習(xí)慣，進(jìn)而促進(jìn)其終身學(xué)習(xí)能力的有效提高。

二、重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，注重學(xué)生建模能力的有效培養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，它貫穿于整個初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中。在初中數(shù)學(xué)中，許多思想和方法是一致的，二者之間相輔相成，互相蘊(yùn)含，只是方法較具體，是實施有關(guān)思想的技術(shù)手段，而思想是屬于數(shù)學(xué)觀念一類的東西，比較抽象。在教學(xué)中，通過對具體數(shù)學(xué)方法（如換元法、消元法、圖像法、配方法、待定系數(shù)法等）的學(xué)習(xí)，使學(xué)生逐步領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想；同時，通過對數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，又深化了數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用。

例2.如圖2，要設(shè)計一個等腰梯形的花壇，上底長12米，下底長18米，高8米.

⑴求梯形中位線的長；

⑵在梯形兩腰中點連線（虛線）處有一條橫向通道，上下底之間有兩條縱向通道，各條通道的寬均為x米.

①若通道的總面積等于42平方米，求通道的寬；

②按要求通道的寬不超過1米，且修建三條通道應(yīng)付的工資合計60元，花壇其余部分應(yīng)付工資為每平方米2元，建造整個花壇所付的工資270元，求通道的寬.

解析：試題背景源于教材習(xí)題變式，通過變式巧妙地融入新的問題情景，從而全面地考查梯形中位線的計算、一元二次方程的數(shù)學(xué)建模能力.其中問題（1）為基本題，運(yùn)用中位線的定義即可求解；問題（2）欲求通道的寬，須將問題轉(zhuǎn)化為求通道的面積，而通道的面積通常通常采用平移或割補(bǔ)的辦法求解，因此利用中位線乘以通道的寬度x得出橫向通道的面積是解題關(guān)鍵；問題（3）的答題關(guān)鍵是利用通道費(fèi)用+其余部分費(fèi)用=270構(gòu)建方程求解，然后結(jié)合題意對所求x的值進(jìn)行取舍.

（1）中位線=12+182=15（米）；

（2）依題意，得15x+2×8x-2x2=42.整理，得2x2-31x+42=0.

解得x1=32，x2=14（不符合題意，舍去）.∴通道的寬為1.5米；

（3）依題意，得2（15×8-31x+2x2）+60=270.整理，得2x2-31x+15=0.

解得x1=12，x2=15.∵x≤1，∴x2=15（不符合題意，舍去）∴通道的寬為12米.

在教學(xué)中，教師要多鼓勵學(xué)生積極思考問題，善于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，注意知識點的內(nèi)在聯(lián)系，努力培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較、抽象、歸納和建模能力，形成良好的思維品質(zhì)。

三、重視數(shù)學(xué)實際應(yīng)用，注重學(xué)生自信心的有效培養(yǎng)

數(shù)學(xué)來源于生活，生活中充滿著數(shù)學(xué)。用數(shù)學(xué)是學(xué)數(shù)學(xué)的出發(fā)點和歸宿。教學(xué)必須重視從實際問題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實際問題，把與現(xiàn)實生活密切相關(guān)的的常識問題與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相結(jié)合。使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的價值，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用的信心。

例3.如圖3，某小區(qū)有一長100m，寬80m的空地，現(xiàn)將其建成花園廣場，設(shè)計圖案如下，陰影區(qū)域為綠化區(qū)（四塊綠化區(qū)是全等矩形），空白區(qū)域為活動區(qū)，且四周出口一樣寬，寬度不小于50m，不大于60m.預(yù)計活動區(qū)每平方米造價60元，綠化區(qū)每平方米造價50元.

⑴設(shè)一塊綠化區(qū)較長的邊為xm，則較短的邊為多少？（用含x的代數(shù)式表示）

⑵求工程總造價y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；

⑶如果小區(qū)投資46.9萬元（即工程總造價不高于46.9萬元），問能否完成工程任務(wù)，若能，請寫出x為整數(shù)的所有工程方案；若不能，請說明理由.

解析：問題（1）考查代數(shù)式的表示，解答此類問題時通常采用構(gòu)建二元一次方程求解，而問題（1）關(guān)鍵是利用四周出口一樣構(gòu)建方程求解；欲求問題（2） 的工程總造價y，關(guān)鍵是利用工程總造價=活動區(qū)總造價+綠化區(qū)總造價；欲確定問題（3）的所有方案，首先應(yīng)善于利用題（2）的結(jié)論，特別是當(dāng)y=469000時所對應(yīng)x的值，然后由y=a（x-h）2+k的增減性并結(jié)合自變量取值范圍確定x的整數(shù)解，最后由整數(shù)解得出方案。

（1） 設(shè)一塊綠化區(qū)的長邊為xm，

[80-（100-2x）]÷2=x-10.

故一塊綠化區(qū)的短邊為：x-10.

（2） y=50×4x（x-10）+60×[8000-4x（x-10）]

=-40x2+400x+480000（20≤x≤25）；

（3）∵-40x2+400x+480000=469000，∴x2-10x-275=0.

∴x=5±103（負(fù)值舍去），∴x=5+103≈22.32.

∵y=-40x2+400x+480000=-40（x-5）2+481000，

∴當(dāng)x≥5時，y隨著x值的增大而減少.

又∵20≤x≤25，∴x=23，24，25，∴投資46.9萬元能完成工程任務(wù)，

共有三種方案.

方案一：一塊矩形綠地長為23m，寬為13m；

方案一：一塊矩形綠地長為24m，寬為14m；

方案一：一塊矩形綠地長為25m，寬為15m.

試題背景源于課本教材，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用、整數(shù)解與方案設(shè)計。以函數(shù)知識為載體，以解決實際問題為目的，綜合考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，以及對數(shù)形結(jié)合思想及配方法等方法的掌握情況，讓學(xué)生多接觸一些社會生產(chǎn)和日常生活，用數(shù)學(xué)的眼光探求新知，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識，真正將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、創(chuàng)新與實際應(yīng)用有機(jī)地結(jié)合起來，不斷增強(qiáng)學(xué)生解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的信心和勇氣。

隨著新課改向縱深發(fā)展，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性已經(jīng)成了一個戰(zhàn)略性問題，這就要求每一位教師在繼承的基礎(chǔ)上，敢于創(chuàng)新，拋開形式主義的束縛和功利主義的誘惑，潛心鉆研，勇于探索，最終提高課堂教學(xué)有效性。