王小燕

【摘 要】數(shù)形結合在數(shù)學中的應用有著悠久的發(fā)展歷史，無論是從數(shù)學本身特點、數(shù)學教學的內(nèi)容，還是從采用數(shù)形結合解決數(shù)學問題，可以更加直觀、直接解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的角度考慮，加強這方面地教育都是勢在必行。本文在分析數(shù)形結合在數(shù)學應用中的重要作用及原則的基礎上，就這種方法的具體應用及注意事項進行了詳細地論述。

【關鍵詞】數(shù)形結合；數(shù)學；應用

數(shù)學發(fā)展史上，數(shù)和形都是如影隨形、難以割舍的。尤其是在現(xiàn)代代數(shù)和幾何，更是驗證了數(shù)和形的相輔相成的。統(tǒng)觀數(shù)學發(fā)展史，早期尤其科學發(fā)展受限，代數(shù)和幾何孤立發(fā)展起來，攜手并進的機會并不多，尤其是在16-17世紀，基本上幾何在數(shù)學領域占據(jù)著主導地位。后期偉大的科學家笛卡兒創(chuàng)造了解析幾何法——笛卡爾法，就是現(xiàn)代數(shù)學方法來研究幾何問題，由此創(chuàng)造了數(shù)形結合的先河——解析幾何，而其實際上就是數(shù)形結合方法在數(shù)學中的具體應用。

1.數(shù)形結合在數(shù)學應用中的重要作用

從上面的介紹來看，數(shù)形結合有著悠久的發(fā)展歷史。但是，就現(xiàn)在這種方法在數(shù)學中的實際應用并不是很常見，造成這種問題的原因是多種多樣的，加強這方面地教育更是勢在必行。

其一，從數(shù)學本身特點來看，基本上現(xiàn)實存在的每一個數(shù)學概念都有一個與之相關聯(lián)、對應的空間形式，可以說概念越抽象、越接近事物的本質(zhì)，用圖形就能越容易反應出來。由此，從這個角度，決定著數(shù)形結合應用于數(shù)學之中尤其存在的必然性。

其二，采用數(shù)形結合解決數(shù)學問題，可以更加直觀、直接的解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的結果，尤其適用于解填空題和選擇題，可以說如果知道某一問題圖形背后蘊含的集合涵義，只要稍加推導就可徹底解決，得出確切的答案。由此，這種方法常常被應用于數(shù)學之中。

其三，從數(shù)學教學的內(nèi)容來看，數(shù)學領域涉及的問題無外乎“數(shù)”和“形”。運用“數(shù)”、“形”結合的策略解決數(shù)學問題，可以有效發(fā)展學生思維的靈活性，提高學生解決問題的思路，對于素質(zhì)教育倡導培養(yǎng)學生“分析問題”、“解決問題”的能力可謂是有著異曲同工之妙。

綜合上述介紹，將數(shù)形結合應用于數(shù)學之中，有著重要的現(xiàn)實意義。

2.數(shù)形結合在數(shù)學中應用的原則

（1）簡單性原則

（2）雙向性原則

（3）等價性原則

3.數(shù)形結合在數(shù)學中的具體應用

（1）數(shù)形結合在函數(shù)問題中的應用

函數(shù)圖形能夠形象的描述各變量之間的變化關系，通過研究圖形變化的分析，可以更好地理解函數(shù)的性質(zhì)，便于學生分析問題、解決問題。

（2）數(shù)形結合在方程或者是不等式中的應用

方程或者是不等式所表達的數(shù)字意義較為抽象，采用數(shù)形結合的方法，可將其表達的意義具體化，使要解決的問題更便于理解。

比如求方程x2+4x+6=■解的個數(shù)，通過繪制函數(shù)y=x2+4x+6與y=■的圖象，可明顯看到兩個方程在圖象中只有一個交點，即方程x2+4x+6=■的解的個數(shù)，即函數(shù)x2+4x+6，y=■的圖象的交點個數(shù)，根據(jù)圖象得交點個數(shù)是1，故原方程有1個解。

（3）數(shù)形結合在幾何問題中的應用

幾何實際上就是數(shù)形結合的體現(xiàn)，將數(shù)形應用點、線、曲線性質(zhì)及相互關系的研究中是非常重要的應用方法。

比如說：△ABC是一塊銳角三角形余料，邊AD=80毫米，BC=120毫米，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個定點分別在AB，AC上，設該矩形的長QM=y毫米，寬MN=x毫米.

（1）求證：y=120-■x；

（2）當x與y分別取什么值時，矩形PQMN的面積最大？最大面積是多少？

分析：

第一問：通過繪制圖形，可明顯由△APN∽△ABC得■=■，即■=■，y=120-■x。

第二問：設矩形PQMN的面積為S，則S=xy，即s=x（120-■x）=-■x2+120x

當x=40時，S有最大值為2400，此時y=60.

∴當x=40毫米時，y=60毫米時，矩形PQMN的面積最大，最大面積為2400平方毫米.

4.結論

總之，數(shù)形結合在數(shù)學中的應用有著悠久的發(fā)展歷史，無論是從數(shù)學本身特點、數(shù)學教學的內(nèi)容，還是從采用數(shù)形結合解決數(shù)學問題，可以更加直觀、直接解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的角度考慮，加強這方面地教育都是勢在必行。而在實際的應用中，還應該注意如下幾方面問題：

第一，保證“數(shù)”的準確性

數(shù)學中幾何圖形最大的優(yōu)點在于其直觀性，但是，數(shù)學問題的解決僅靠直觀性的憑空猜測顯然是無法得到解決的，由此，還必須要借助著“數(shù)”的準確性得出最終的答案。

第二，注意考慮問題的全面性

在實際問題的解決中，一個數(shù)學問題所對應的圖形可能不止一個。這個時候，就需要根據(jù)實際情況，劃出可能存在的圖形，并針對這些圖形分情況討論。

第三，注意數(shù)形間轉(zhuǎn)化的可行性

在數(shù)學問題的解答中，將復雜的問題轉(zhuǎn)換為簡單的、熟知的問題，從而將問題得到解決，就是所謂的轉(zhuǎn)化思想。但是，在實際數(shù)形轉(zhuǎn)化過程中，一定要注意相互轉(zhuǎn)化間是否具有可行性。

第四，注意數(shù)形結合的時效性

雖然說將數(shù)形結合應用于數(shù)學問題的解答中是一種較為重要的解題策略，但是，數(shù)形結合也有一定的時效性，換句話說，這種方法只有在特定的條件才可使用，如果條件改變適用性可能就會改變。

【參考文獻】

[1]黃忠順.數(shù)形結合思想在初中數(shù)學教學中的應用.學科教育研究[J].

[2]徐國央.數(shù)形結合思想在數(shù)學解題中的應用.寧波教育學院學報[J].2009年第11卷第一期：115

[3]任志鴻，徐明.三年高考兩年模擬[M].北京：學苑出版社，2006.23.45.

（作者單位：包頭鐵道職業(yè)技術學院）

【摘 要】數(shù)形結合在數(shù)學中的應用有著悠久的發(fā)展歷史，無論是從數(shù)學本身特點、數(shù)學教學的內(nèi)容，還是從采用數(shù)形結合解決數(shù)學問題，可以更加直觀、直接解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的角度考慮，加強這方面地教育都是勢在必行。本文在分析數(shù)形結合在數(shù)學應用中的重要作用及原則的基礎上，就這種方法的具體應用及注意事項進行了詳細地論述。

【關鍵詞】數(shù)形結合；數(shù)學；應用

數(shù)學發(fā)展史上，數(shù)和形都是如影隨形、難以割舍的。尤其是在現(xiàn)代代數(shù)和幾何，更是驗證了數(shù)和形的相輔相成的。統(tǒng)觀數(shù)學發(fā)展史，早期尤其科學發(fā)展受限，代數(shù)和幾何孤立發(fā)展起來，攜手并進的機會并不多，尤其是在16-17世紀，基本上幾何在數(shù)學領域占據(jù)著主導地位。后期偉大的科學家笛卡兒創(chuàng)造了解析幾何法——笛卡爾法，就是現(xiàn)代數(shù)學方法來研究幾何問題，由此創(chuàng)造了數(shù)形結合的先河——解析幾何，而其實際上就是數(shù)形結合方法在數(shù)學中的具體應用。

1.數(shù)形結合在數(shù)學應用中的重要作用

從上面的介紹來看，數(shù)形結合有著悠久的發(fā)展歷史。但是，就現(xiàn)在這種方法在數(shù)學中的實際應用并不是很常見，造成這種問題的原因是多種多樣的，加強這方面地教育更是勢在必行。

其一，從數(shù)學本身特點來看，基本上現(xiàn)實存在的每一個數(shù)學概念都有一個與之相關聯(lián)、對應的空間形式，可以說概念越抽象、越接近事物的本質(zhì)，用圖形就能越容易反應出來。由此，從這個角度，決定著數(shù)形結合應用于數(shù)學之中尤其存在的必然性。

其二，采用數(shù)形結合解決數(shù)學問題，可以更加直觀、直接的解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的結果，尤其適用于解填空題和選擇題，可以說如果知道某一問題圖形背后蘊含的集合涵義，只要稍加推導就可徹底解決，得出確切的答案。由此，這種方法常常被應用于數(shù)學之中。

其三，從數(shù)學教學的內(nèi)容來看，數(shù)學領域涉及的問題無外乎“數(shù)”和“形”。運用“數(shù)”、“形”結合的策略解決數(shù)學問題，可以有效發(fā)展學生思維的靈活性，提高學生解決問題的思路，對于素質(zhì)教育倡導培養(yǎng)學生“分析問題”、“解決問題”的能力可謂是有著異曲同工之妙。

綜合上述介紹，將數(shù)形結合應用于數(shù)學之中，有著重要的現(xiàn)實意義。

2.數(shù)形結合在數(shù)學中應用的原則

（1）簡單性原則

（2）雙向性原則

（3）等價性原則

3.數(shù)形結合在數(shù)學中的具體應用

（1）數(shù)形結合在函數(shù)問題中的應用

函數(shù)圖形能夠形象的描述各變量之間的變化關系，通過研究圖形變化的分析，可以更好地理解函數(shù)的性質(zhì)，便于學生分析問題、解決問題。

（2）數(shù)形結合在方程或者是不等式中的應用

方程或者是不等式所表達的數(shù)字意義較為抽象，采用數(shù)形結合的方法，可將其表達的意義具體化，使要解決的問題更便于理解。

比如求方程x2+4x+6=■解的個數(shù)，通過繪制函數(shù)y=x2+4x+6與y=■的圖象，可明顯看到兩個方程在圖象中只有一個交點，即方程x2+4x+6=■的解的個數(shù)，即函數(shù)x2+4x+6，y=■的圖象的交點個數(shù)，根據(jù)圖象得交點個數(shù)是1，故原方程有1個解。

（3）數(shù)形結合在幾何問題中的應用

幾何實際上就是數(shù)形結合的體現(xiàn)，將數(shù)形應用點、線、曲線性質(zhì)及相互關系的研究中是非常重要的應用方法。

比如說：△ABC是一塊銳角三角形余料，邊AD=80毫米，BC=120毫米，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個定點分別在AB，AC上，設該矩形的長QM=y毫米，寬MN=x毫米.

（1）求證：y=120-■x；

（2）當x與y分別取什么值時，矩形PQMN的面積最大？最大面積是多少？

分析：

第一問：通過繪制圖形，可明顯由△APN∽△ABC得■=■，即■=■，y=120-■x。

第二問：設矩形PQMN的面積為S，則S=xy，即s=x（120-■x）=-■x2+120x

當x=40時，S有最大值為2400，此時y=60.

∴當x=40毫米時，y=60毫米時，矩形PQMN的面積最大，最大面積為2400平方毫米.

4.結論

總之，數(shù)形結合在數(shù)學中的應用有著悠久的發(fā)展歷史，無論是從數(shù)學本身特點、數(shù)學教學的內(nèi)容，還是從采用數(shù)形結合解決數(shù)學問題，可以更加直觀、直接解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的角度考慮，加強這方面地教育都是勢在必行。而在實際的應用中，還應該注意如下幾方面問題：

第一，保證“數(shù)”的準確性

數(shù)學中幾何圖形最大的優(yōu)點在于其直觀性，但是，數(shù)學問題的解決僅靠直觀性的憑空猜測顯然是無法得到解決的，由此，還必須要借助著“數(shù)”的準確性得出最終的答案。

第二，注意考慮問題的全面性

在實際問題的解決中，一個數(shù)學問題所對應的圖形可能不止一個。這個時候，就需要根據(jù)實際情況，劃出可能存在的圖形，并針對這些圖形分情況討論。

第三，注意數(shù)形間轉(zhuǎn)化的可行性

在數(shù)學問題的解答中，將復雜的問題轉(zhuǎn)換為簡單的、熟知的問題，從而將問題得到解決，就是所謂的轉(zhuǎn)化思想。但是，在實際數(shù)形轉(zhuǎn)化過程中，一定要注意相互轉(zhuǎn)化間是否具有可行性。

第四，注意數(shù)形結合的時效性

雖然說將數(shù)形結合應用于數(shù)學問題的解答中是一種較為重要的解題策略，但是，數(shù)形結合也有一定的時效性，換句話說，這種方法只有在特定的條件才可使用，如果條件改變適用性可能就會改變。

【參考文獻】

[1]黃忠順.數(shù)形結合思想在初中數(shù)學教學中的應用.學科教育研究[J].

[2]徐國央.數(shù)形結合思想在數(shù)學解題中的應用.寧波教育學院學報[J].2009年第11卷第一期：115

[3]任志鴻，徐明.三年高考兩年模擬[M].北京：學苑出版社，2006.23.45.

（作者單位：包頭鐵道職業(yè)技術學院）

【摘 要】數(shù)形結合在數(shù)學中的應用有著悠久的發(fā)展歷史，無論是從數(shù)學本身特點、數(shù)學教學的內(nèi)容，還是從采用數(shù)形結合解決數(shù)學問題，可以更加直觀、直接解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的角度考慮，加強這方面地教育都是勢在必行。本文在分析數(shù)形結合在數(shù)學應用中的重要作用及原則的基礎上，就這種方法的具體應用及注意事項進行了詳細地論述。

【關鍵詞】數(shù)形結合；數(shù)學；應用

數(shù)學發(fā)展史上，數(shù)和形都是如影隨形、難以割舍的。尤其是在現(xiàn)代代數(shù)和幾何，更是驗證了數(shù)和形的相輔相成的。統(tǒng)觀數(shù)學發(fā)展史，早期尤其科學發(fā)展受限，代數(shù)和幾何孤立發(fā)展起來，攜手并進的機會并不多，尤其是在16-17世紀，基本上幾何在數(shù)學領域占據(jù)著主導地位。后期偉大的科學家笛卡兒創(chuàng)造了解析幾何法——笛卡爾法，就是現(xiàn)代數(shù)學方法來研究幾何問題，由此創(chuàng)造了數(shù)形結合的先河——解析幾何，而其實際上就是數(shù)形結合方法在數(shù)學中的具體應用。

1.數(shù)形結合在數(shù)學應用中的重要作用

從上面的介紹來看，數(shù)形結合有著悠久的發(fā)展歷史。但是，就現(xiàn)在這種方法在數(shù)學中的實際應用并不是很常見，造成這種問題的原因是多種多樣的，加強這方面地教育更是勢在必行。

其一，從數(shù)學本身特點來看，基本上現(xiàn)實存在的每一個數(shù)學概念都有一個與之相關聯(lián)、對應的空間形式，可以說概念越抽象、越接近事物的本質(zhì)，用圖形就能越容易反應出來。由此，從這個角度，決定著數(shù)形結合應用于數(shù)學之中尤其存在的必然性。

其二，采用數(shù)形結合解決數(shù)學問題，可以更加直觀、直接的解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的結果，尤其適用于解填空題和選擇題，可以說如果知道某一問題圖形背后蘊含的集合涵義，只要稍加推導就可徹底解決，得出確切的答案。由此，這種方法常常被應用于數(shù)學之中。

其三，從數(shù)學教學的內(nèi)容來看，數(shù)學領域涉及的問題無外乎“數(shù)”和“形”。運用“數(shù)”、“形”結合的策略解決數(shù)學問題，可以有效發(fā)展學生思維的靈活性，提高學生解決問題的思路，對于素質(zhì)教育倡導培養(yǎng)學生“分析問題”、“解決問題”的能力可謂是有著異曲同工之妙。

綜合上述介紹，將數(shù)形結合應用于數(shù)學之中，有著重要的現(xiàn)實意義。

2.數(shù)形結合在數(shù)學中應用的原則

（1）簡單性原則

（2）雙向性原則

（3）等價性原則

3.數(shù)形結合在數(shù)學中的具體應用

（1）數(shù)形結合在函數(shù)問題中的應用

函數(shù)圖形能夠形象的描述各變量之間的變化關系，通過研究圖形變化的分析，可以更好地理解函數(shù)的性質(zhì)，便于學生分析問題、解決問題。

（2）數(shù)形結合在方程或者是不等式中的應用

方程或者是不等式所表達的數(shù)字意義較為抽象，采用數(shù)形結合的方法，可將其表達的意義具體化，使要解決的問題更便于理解。

比如求方程x2+4x+6=■解的個數(shù)，通過繪制函數(shù)y=x2+4x+6與y=■的圖象，可明顯看到兩個方程在圖象中只有一個交點，即方程x2+4x+6=■的解的個數(shù)，即函數(shù)x2+4x+6，y=■的圖象的交點個數(shù)，根據(jù)圖象得交點個數(shù)是1，故原方程有1個解。

（3）數(shù)形結合在幾何問題中的應用

幾何實際上就是數(shù)形結合的體現(xiàn)，將數(shù)形應用點、線、曲線性質(zhì)及相互關系的研究中是非常重要的應用方法。

比如說：△ABC是一塊銳角三角形余料，邊AD=80毫米，BC=120毫米，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個定點分別在AB，AC上，設該矩形的長QM=y毫米，寬MN=x毫米.

（1）求證：y=120-■x；

（2）當x與y分別取什么值時，矩形PQMN的面積最大？最大面積是多少？

分析：

第一問：通過繪制圖形，可明顯由△APN∽△ABC得■=■，即■=■，y=120-■x。

第二問：設矩形PQMN的面積為S，則S=xy，即s=x（120-■x）=-■x2+120x

當x=40時，S有最大值為2400，此時y=60.

∴當x=40毫米時，y=60毫米時，矩形PQMN的面積最大，最大面積為2400平方毫米.

4.結論

總之，數(shù)形結合在數(shù)學中的應用有著悠久的發(fā)展歷史，無論是從數(shù)學本身特點、數(shù)學教學的內(nèi)容，還是從采用數(shù)形結合解決數(shù)學問題，可以更加直觀、直接解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的角度考慮，加強這方面地教育都是勢在必行。而在實際的應用中，還應該注意如下幾方面問題：

第一，保證“數(shù)”的準確性

數(shù)學中幾何圖形最大的優(yōu)點在于其直觀性，但是，數(shù)學問題的解決僅靠直觀性的憑空猜測顯然是無法得到解決的，由此，還必須要借助著“數(shù)”的準確性得出最終的答案。

第二，注意考慮問題的全面性

在實際問題的解決中，一個數(shù)學問題所對應的圖形可能不止一個。這個時候，就需要根據(jù)實際情況，劃出可能存在的圖形，并針對這些圖形分情況討論。

第三，注意數(shù)形間轉(zhuǎn)化的可行性

在數(shù)學問題的解答中，將復雜的問題轉(zhuǎn)換為簡單的、熟知的問題，從而將問題得到解決，就是所謂的轉(zhuǎn)化思想。但是，在實際數(shù)形轉(zhuǎn)化過程中，一定要注意相互轉(zhuǎn)化間是否具有可行性。

第四，注意數(shù)形結合的時效性

雖然說將數(shù)形結合應用于數(shù)學問題的解答中是一種較為重要的解題策略，但是，數(shù)形結合也有一定的時效性，換句話說，這種方法只有在特定的條件才可使用，如果條件改變適用性可能就會改變。

【參考文獻】

[1]黃忠順.數(shù)形結合思想在初中數(shù)學教學中的應用.學科教育研究[J].

[2]徐國央.數(shù)形結合思想在數(shù)學解題中的應用.寧波教育學院學報[J].2009年第11卷第一期：115

[3]任志鴻，徐明.三年高考兩年模擬[M].北京：學苑出版社，2006.23.45.

（作者單位：包頭鐵道職業(yè)技術學院）