周金林

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系、空間形式、模式結(jié)構(gòu)的意識(shí)反映，是思維活動(dòng)的結(jié)果。它能幫助人們系統(tǒng)化地學(xué)習(xí)知識(shí)、掌握結(jié)構(gòu)，提供最佳解決問(wèn)題的策略，諸如數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、方程與函數(shù)思想、分類討論思想等等。分類討論思想最早源于《九章算術(shù)》中關(guān)于盈虧問(wèn)題的討論，它指在部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題中存在著一些不確定的因素，結(jié)論不是能夠唯一確定的，要根據(jù)題目特點(diǎn)和要求，按不同的情況進(jìn)行分類，將原題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)小問(wèn)題逐項(xiàng)討論，最后綜合求解的過(guò)程。

一、滲透分類討論思想的意義

1.有助于養(yǎng)成分類的意識(shí)。物以類聚，每個(gè)人在日常生活中都積累了一定的分類經(jīng)驗(yàn)，教師在課堂教學(xué)中要將生活中的分類知識(shí)遷移到數(shù)學(xué)教學(xué)中，如數(shù)的分類、三角形的分類等等，力求做到目標(biāo)明確、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，要充分挖掘教材，抓住滲透的契機(jī)，將分類討論應(yīng)用于生活之中。

2.有助于掌握分類的方法。在分類討論教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)對(duì)象的屬性進(jìn)行分類討論，不遺漏、不重復(fù)地劃分子類，并對(duì)每一類加以解答，能有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性。

3.有助于形成一題多解的能力。分類討論教學(xué)為學(xué)生營(yíng)造了合作、交流、爭(zhēng)辯的氛圍，學(xué)生往往不滿足于一種解法，對(duì)一些題目提出兩種、三種甚至多種解法，能有效培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，從而促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展。

4.有助于形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展是通過(guò)學(xué)生主動(dòng)同化、順應(yīng)，在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上進(jìn)行拓展、延伸，從而形成新的系統(tǒng)。分類討論思想揭示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，能幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性。

二、當(dāng)前分類討論思想滲透存在的主要問(wèn)題

1.教學(xué)思想陳舊。長(zhǎng)期以來(lái)，受“傳道、授業(yè)、解惑”的傳統(tǒng)影響，部分教師教學(xué)思想陳舊，沿襲傳統(tǒng)的教學(xué)理念，以傳授知識(shí)作為主要教學(xué)目標(biāo)，他們只注重知識(shí)的傳授，而忽視思想方法的滲透，他們從不主動(dòng)考慮解題意圖，不能從多角度分析問(wèn)題，往往是一解了之，缺乏深層次的探索，掩蓋了學(xué)生的思維困惑。

2.學(xué)生被動(dòng)接受。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)脫離學(xué)生生活實(shí)際，教師機(jī)械灌輸，大搞題海戰(zhàn)術(shù)，割裂了知識(shí)間的聯(lián)系，學(xué)生缺乏自我感悟和獨(dú)立探究的機(jī)會(huì)，感到數(shù)學(xué)知識(shí)索然無(wú)味，缺乏探究熱情，無(wú)法顧及運(yùn)用什么思想方法，更談不上知識(shí)的創(chuàng)新了。如在“角平分線定理”教學(xué)中，一位教師重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形的內(nèi)心”，而沒(méi)有聯(lián)系“外心”進(jìn)行分類討論，導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)容易出錯(cuò)。

3.應(yīng)試教育影響。部分教師受中考指揮棒的影響，“以考分論英雄”的應(yīng)試教育觀念根深蒂固，他們不理解素質(zhì)教育的內(nèi)涵，依然“穿新鞋走老路”，重知識(shí)輕能力、重解題輕思想的現(xiàn)象普遍存在，導(dǎo)致學(xué)生抽象思維能力薄弱。

三、分類思想在解題中的應(yīng)用

1.分類思想在絕對(duì)值解題運(yùn)算中的運(yùn)用。解有關(guān)絕對(duì)值的題目時(shí)，一般是根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，但如果不確定絕對(duì)值里面數(shù)的符號(hào)，就必須要分類討論。

例1：使|a+1|=|a|+1成立的條件是（ ）

A. a為任何實(shí)數(shù) B. a≥0 C. a≤0 D. a≠0

分析：此題中等號(hào)左右兩邊都有絕對(duì)值符號(hào)，而又未給出實(shí)數(shù)a的取值范圍，因而無(wú)法直接去掉絕對(duì)值?？筛鶕?jù)“零點(diǎn)分段”的方法，令|a+1|=0，|a|=0得a=-1和a=0。再分a<-1、-1≤a<0、a≥0進(jìn)行討論。

解：令|a+1|=0，得a=-1；令|a|=0，得a=0。

（1）當(dāng)a<-1時(shí)，左邊=-（a+1）=-a-1，右邊=-a+1，左邊≠右邊；

（2）當(dāng)-1≤a<0時(shí)，左邊=a+1，右邊=-a+1，左邊≠右邊；

（3）當(dāng)a≥0時(shí)，左邊=a+1，右邊=a+1，左邊=右邊。

∴a≥0，應(yīng)選D。

2.分類討論思想在方程解題中的應(yīng)用。在解方程ax2+bx+c=0時(shí)，要根據(jù)一元二次方程的定義分析a是否為0的情況。

例2：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍。

分析：在解字母系數(shù)的取值范圍問(wèn)題中，題目沒(méi)有明確二次項(xiàng)系數(shù)a2的符號(hào)，因此不僅要考慮二次方程的可能，還要考慮一次方程的可能。

解：（1）當(dāng)a2=0，即a=0，方程為一元一次方程-2x+1=0，有實(shí)數(shù)根x=0.5；

（2）當(dāng)a2≠0，即a≠0，方程為一元二次方程，當(dāng)△≥0時(shí)有實(shí)根，即

△=[2（a-1）]2-4a2=-4a+4≥0，a≤1。

所以a≤1，且a≠0。

綜合（1）、（2），得a≤1。

（3）分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用。函數(shù)教學(xué)中出現(xiàn)分類討論的題型較多，有關(guān)于一次函數(shù)，有關(guān)于反比例函數(shù)的，還有綜合性較強(qiáng)的二次函數(shù)，它們大多是由一元二次方程的性質(zhì)演變而來(lái)，教者要引導(dǎo)學(xué)生分情況進(jìn)行說(shuō)明。

例3：求函數(shù)y=（k-1）x2-kx+1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

分析：本題條件是不唯一的，問(wèn)題中沒(méi)有說(shuō)明是什么函數(shù)，要分兩種情況：一次函數(shù)或二次函數(shù)進(jìn)行討論。①當(dāng)k=1時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù)y=-x+1，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；②當(dāng)此函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，k≠1，△=（-k）2-4（k-1）=（k-2）2。在二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與△的符號(hào)有關(guān)，因此要分△>0、△=0兩種情況分析：△>0，即k≠2時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)（1，0）、（■，0）；△=0，即k=2時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)（1，0）。

（4）分類思想在幾何操作中的運(yùn)用。在解答幾何問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)題意分析清楚符合條件圖形的各種可能形狀、位置，抓住相關(guān)對(duì)象性質(zhì)，分類各種符合條件的圖形。

例4：已知△ABC的邊AB=6，AC=2■，BC邊上的高AD=3。（1）求BC的長(zhǎng)；（2）如果有一個(gè)正方形的一邊在已知△ABC邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在AC、BC上，求這個(gè)正方形的面積。

分析：過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A向?qū)呑鞔咕€，垂足可以在BC上，也可能在BC的延長(zhǎng)線上，要分兩種情況進(jìn)行討論。（如圖）

總之，分類討論思想作為一種重要的思想方法，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思想的縝密性、嚴(yán)謹(jǐn)性具有重要意義，我們數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)解題中要循序漸進(jìn)地滲透分類討論的思想方法，以提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

（作者單位：江蘇省濱?？h八巨初級(jí)中學(xué)）

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系、空間形式、模式結(jié)構(gòu)的意識(shí)反映，是思維活動(dòng)的結(jié)果。它能幫助人們系統(tǒng)化地學(xué)習(xí)知識(shí)、掌握結(jié)構(gòu)，提供最佳解決問(wèn)題的策略，諸如數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、方程與函數(shù)思想、分類討論思想等等。分類討論思想最早源于《九章算術(shù)》中關(guān)于盈虧問(wèn)題的討論，它指在部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題中存在著一些不確定的因素，結(jié)論不是能夠唯一確定的，要根據(jù)題目特點(diǎn)和要求，按不同的情況進(jìn)行分類，將原題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)小問(wèn)題逐項(xiàng)討論，最后綜合求解的過(guò)程。

一、滲透分類討論思想的意義

1.有助于養(yǎng)成分類的意識(shí)。物以類聚，每個(gè)人在日常生活中都積累了一定的分類經(jīng)驗(yàn)，教師在課堂教學(xué)中要將生活中的分類知識(shí)遷移到數(shù)學(xué)教學(xué)中，如數(shù)的分類、三角形的分類等等，力求做到目標(biāo)明確、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，要充分挖掘教材，抓住滲透的契機(jī)，將分類討論應(yīng)用于生活之中。

2.有助于掌握分類的方法。在分類討論教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)對(duì)象的屬性進(jìn)行分類討論，不遺漏、不重復(fù)地劃分子類，并對(duì)每一類加以解答，能有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性。

3.有助于形成一題多解的能力。分類討論教學(xué)為學(xué)生營(yíng)造了合作、交流、爭(zhēng)辯的氛圍，學(xué)生往往不滿足于一種解法，對(duì)一些題目提出兩種、三種甚至多種解法，能有效培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，從而促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展。

4.有助于形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展是通過(guò)學(xué)生主動(dòng)同化、順應(yīng)，在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上進(jìn)行拓展、延伸，從而形成新的系統(tǒng)。分類討論思想揭示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，能幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性。

二、當(dāng)前分類討論思想滲透存在的主要問(wèn)題

1.教學(xué)思想陳舊。長(zhǎng)期以來(lái)，受“傳道、授業(yè)、解惑”的傳統(tǒng)影響，部分教師教學(xué)思想陳舊，沿襲傳統(tǒng)的教學(xué)理念，以傳授知識(shí)作為主要教學(xué)目標(biāo)，他們只注重知識(shí)的傳授，而忽視思想方法的滲透，他們從不主動(dòng)考慮解題意圖，不能從多角度分析問(wèn)題，往往是一解了之，缺乏深層次的探索，掩蓋了學(xué)生的思維困惑。

2.學(xué)生被動(dòng)接受。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)脫離學(xué)生生活實(shí)際，教師機(jī)械灌輸，大搞題海戰(zhàn)術(shù)，割裂了知識(shí)間的聯(lián)系，學(xué)生缺乏自我感悟和獨(dú)立探究的機(jī)會(huì)，感到數(shù)學(xué)知識(shí)索然無(wú)味，缺乏探究熱情，無(wú)法顧及運(yùn)用什么思想方法，更談不上知識(shí)的創(chuàng)新了。如在“角平分線定理”教學(xué)中，一位教師重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形的內(nèi)心”，而沒(méi)有聯(lián)系“外心”進(jìn)行分類討論，導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)容易出錯(cuò)。

3.應(yīng)試教育影響。部分教師受中考指揮棒的影響，“以考分論英雄”的應(yīng)試教育觀念根深蒂固，他們不理解素質(zhì)教育的內(nèi)涵，依然“穿新鞋走老路”，重知識(shí)輕能力、重解題輕思想的現(xiàn)象普遍存在，導(dǎo)致學(xué)生抽象思維能力薄弱。

三、分類思想在解題中的應(yīng)用

1.分類思想在絕對(duì)值解題運(yùn)算中的運(yùn)用。解有關(guān)絕對(duì)值的題目時(shí)，一般是根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，但如果不確定絕對(duì)值里面數(shù)的符號(hào)，就必須要分類討論。

例1：使|a+1|=|a|+1成立的條件是（ ）

A. a為任何實(shí)數(shù) B. a≥0 C. a≤0 D. a≠0

分析：此題中等號(hào)左右兩邊都有絕對(duì)值符號(hào)，而又未給出實(shí)數(shù)a的取值范圍，因而無(wú)法直接去掉絕對(duì)值。可根據(jù)“零點(diǎn)分段”的方法，令|a+1|=0，|a|=0得a=-1和a=0。再分a<-1、-1≤a<0、a≥0進(jìn)行討論。

解：令|a+1|=0，得a=-1；令|a|=0，得a=0。

（1）當(dāng)a<-1時(shí)，左邊=-（a+1）=-a-1，右邊=-a+1，左邊≠右邊；

（2）當(dāng)-1≤a<0時(shí)，左邊=a+1，右邊=-a+1，左邊≠右邊；

（3）當(dāng)a≥0時(shí)，左邊=a+1，右邊=a+1，左邊=右邊。

∴a≥0，應(yīng)選D。

2.分類討論思想在方程解題中的應(yīng)用。在解方程ax2+bx+c=0時(shí)，要根據(jù)一元二次方程的定義分析a是否為0的情況。

例2：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍。

分析：在解字母系數(shù)的取值范圍問(wèn)題中，題目沒(méi)有明確二次項(xiàng)系數(shù)a2的符號(hào)，因此不僅要考慮二次方程的可能，還要考慮一次方程的可能。

解：（1）當(dāng)a2=0，即a=0，方程為一元一次方程-2x+1=0，有實(shí)數(shù)根x=0.5；

（2）當(dāng)a2≠0，即a≠0，方程為一元二次方程，當(dāng)△≥0時(shí)有實(shí)根，即

△=[2（a-1）]2-4a2=-4a+4≥0，a≤1。

所以a≤1，且a≠0。

綜合（1）、（2），得a≤1。

（3）分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用。函數(shù)教學(xué)中出現(xiàn)分類討論的題型較多，有關(guān)于一次函數(shù)，有關(guān)于反比例函數(shù)的，還有綜合性較強(qiáng)的二次函數(shù)，它們大多是由一元二次方程的性質(zhì)演變而來(lái)，教者要引導(dǎo)學(xué)生分情況進(jìn)行說(shuō)明。

例3：求函數(shù)y=（k-1）x2-kx+1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

分析：本題條件是不唯一的，問(wèn)題中沒(méi)有說(shuō)明是什么函數(shù)，要分兩種情況：一次函數(shù)或二次函數(shù)進(jìn)行討論。①當(dāng)k=1時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù)y=-x+1，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；②當(dāng)此函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，k≠1，△=（-k）2-4（k-1）=（k-2）2。在二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與△的符號(hào)有關(guān)，因此要分△>0、△=0兩種情況分析：△>0，即k≠2時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)（1，0）、（■，0）；△=0，即k=2時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)（1，0）。

（4）分類思想在幾何操作中的運(yùn)用。在解答幾何問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)題意分析清楚符合條件圖形的各種可能形狀、位置，抓住相關(guān)對(duì)象性質(zhì)，分類各種符合條件的圖形。

例4：已知△ABC的邊AB=6，AC=2■，BC邊上的高AD=3。（1）求BC的長(zhǎng)；（2）如果有一個(gè)正方形的一邊在已知△ABC邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在AC、BC上，求這個(gè)正方形的面積。

分析：過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A向?qū)呑鞔咕€，垂足可以在BC上，也可能在BC的延長(zhǎng)線上，要分兩種情況進(jìn)行討論。（如圖）

總之，分類討論思想作為一種重要的思想方法，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思想的縝密性、嚴(yán)謹(jǐn)性具有重要意義，我們數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)解題中要循序漸進(jìn)地滲透分類討論的思想方法，以提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

（作者單位：江蘇省濱?？h八巨初級(jí)中學(xué)）

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系、空間形式、模式結(jié)構(gòu)的意識(shí)反映，是思維活動(dòng)的結(jié)果。它能幫助人們系統(tǒng)化地學(xué)習(xí)知識(shí)、掌握結(jié)構(gòu)，提供最佳解決問(wèn)題的策略，諸如數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、方程與函數(shù)思想、分類討論思想等等。分類討論思想最早源于《九章算術(shù)》中關(guān)于盈虧問(wèn)題的討論，它指在部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題中存在著一些不確定的因素，結(jié)論不是能夠唯一確定的，要根據(jù)題目特點(diǎn)和要求，按不同的情況進(jìn)行分類，將原題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)小問(wèn)題逐項(xiàng)討論，最后綜合求解的過(guò)程。

一、滲透分類討論思想的意義

1.有助于養(yǎng)成分類的意識(shí)。物以類聚，每個(gè)人在日常生活中都積累了一定的分類經(jīng)驗(yàn)，教師在課堂教學(xué)中要將生活中的分類知識(shí)遷移到數(shù)學(xué)教學(xué)中，如數(shù)的分類、三角形的分類等等，力求做到目標(biāo)明確、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，要充分挖掘教材，抓住滲透的契機(jī)，將分類討論應(yīng)用于生活之中。

2.有助于掌握分類的方法。在分類討論教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)對(duì)象的屬性進(jìn)行分類討論，不遺漏、不重復(fù)地劃分子類，并對(duì)每一類加以解答，能有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性。

3.有助于形成一題多解的能力。分類討論教學(xué)為學(xué)生營(yíng)造了合作、交流、爭(zhēng)辯的氛圍，學(xué)生往往不滿足于一種解法，對(duì)一些題目提出兩種、三種甚至多種解法，能有效培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，從而促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展。

4.有助于形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展是通過(guò)學(xué)生主動(dòng)同化、順應(yīng)，在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上進(jìn)行拓展、延伸，從而形成新的系統(tǒng)。分類討論思想揭示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，能幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性。

二、當(dāng)前分類討論思想滲透存在的主要問(wèn)題

1.教學(xué)思想陳舊。長(zhǎng)期以來(lái)，受“傳道、授業(yè)、解惑”的傳統(tǒng)影響，部分教師教學(xué)思想陳舊，沿襲傳統(tǒng)的教學(xué)理念，以傳授知識(shí)作為主要教學(xué)目標(biāo)，他們只注重知識(shí)的傳授，而忽視思想方法的滲透，他們從不主動(dòng)考慮解題意圖，不能從多角度分析問(wèn)題，往往是一解了之，缺乏深層次的探索，掩蓋了學(xué)生的思維困惑。

2.學(xué)生被動(dòng)接受。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)脫離學(xué)生生活實(shí)際，教師機(jī)械灌輸，大搞題海戰(zhàn)術(shù)，割裂了知識(shí)間的聯(lián)系，學(xué)生缺乏自我感悟和獨(dú)立探究的機(jī)會(huì)，感到數(shù)學(xué)知識(shí)索然無(wú)味，缺乏探究熱情，無(wú)法顧及運(yùn)用什么思想方法，更談不上知識(shí)的創(chuàng)新了。如在“角平分線定理”教學(xué)中，一位教師重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形的內(nèi)心”，而沒(méi)有聯(lián)系“外心”進(jìn)行分類討論，導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)容易出錯(cuò)。

3.應(yīng)試教育影響。部分教師受中考指揮棒的影響，“以考分論英雄”的應(yīng)試教育觀念根深蒂固，他們不理解素質(zhì)教育的內(nèi)涵，依然“穿新鞋走老路”，重知識(shí)輕能力、重解題輕思想的現(xiàn)象普遍存在，導(dǎo)致學(xué)生抽象思維能力薄弱。

三、分類思想在解題中的應(yīng)用

1.分類思想在絕對(duì)值解題運(yùn)算中的運(yùn)用。解有關(guān)絕對(duì)值的題目時(shí)，一般是根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，但如果不確定絕對(duì)值里面數(shù)的符號(hào)，就必須要分類討論。

例1：使|a+1|=|a|+1成立的條件是（ ）

A. a為任何實(shí)數(shù) B. a≥0 C. a≤0 D. a≠0

分析：此題中等號(hào)左右兩邊都有絕對(duì)值符號(hào)，而又未給出實(shí)數(shù)a的取值范圍，因而無(wú)法直接去掉絕對(duì)值。可根據(jù)“零點(diǎn)分段”的方法，令|a+1|=0，|a|=0得a=-1和a=0。再分a<-1、-1≤a<0、a≥0進(jìn)行討論。

解：令|a+1|=0，得a=-1；令|a|=0，得a=0。

（1）當(dāng)a<-1時(shí)，左邊=-（a+1）=-a-1，右邊=-a+1，左邊≠右邊；

（2）當(dāng)-1≤a<0時(shí)，左邊=a+1，右邊=-a+1，左邊≠右邊；

（3）當(dāng)a≥0時(shí)，左邊=a+1，右邊=a+1，左邊=右邊。

∴a≥0，應(yīng)選D。

2.分類討論思想在方程解題中的應(yīng)用。在解方程ax2+bx+c=0時(shí)，要根據(jù)一元二次方程的定義分析a是否為0的情況。

例2：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍。

分析：在解字母系數(shù)的取值范圍問(wèn)題中，題目沒(méi)有明確二次項(xiàng)系數(shù)a2的符號(hào)，因此不僅要考慮二次方程的可能，還要考慮一次方程的可能。

解：（1）當(dāng)a2=0，即a=0，方程為一元一次方程-2x+1=0，有實(shí)數(shù)根x=0.5；

（2）當(dāng)a2≠0，即a≠0，方程為一元二次方程，當(dāng)△≥0時(shí)有實(shí)根，即

△=[2（a-1）]2-4a2=-4a+4≥0，a≤1。

所以a≤1，且a≠0。

綜合（1）、（2），得a≤1。

（3）分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用。函數(shù)教學(xué)中出現(xiàn)分類討論的題型較多，有關(guān)于一次函數(shù)，有關(guān)于反比例函數(shù)的，還有綜合性較強(qiáng)的二次函數(shù)，它們大多是由一元二次方程的性質(zhì)演變而來(lái)，教者要引導(dǎo)學(xué)生分情況進(jìn)行說(shuō)明。

例3：求函數(shù)y=（k-1）x2-kx+1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

分析：本題條件是不唯一的，問(wèn)題中沒(méi)有說(shuō)明是什么函數(shù)，要分兩種情況：一次函數(shù)或二次函數(shù)進(jìn)行討論。①當(dāng)k=1時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù)y=-x+1，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；②當(dāng)此函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，k≠1，△=（-k）2-4（k-1）=（k-2）2。在二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與△的符號(hào)有關(guān)，因此要分△>0、△=0兩種情況分析：△>0，即k≠2時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)（1，0）、（■，0）；△=0，即k=2時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)（1，0）。

（4）分類思想在幾何操作中的運(yùn)用。在解答幾何問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)題意分析清楚符合條件圖形的各種可能形狀、位置，抓住相關(guān)對(duì)象性質(zhì)，分類各種符合條件的圖形。

例4：已知△ABC的邊AB=6，AC=2■，BC邊上的高AD=3。（1）求BC的長(zhǎng)；（2）如果有一個(gè)正方形的一邊在已知△ABC邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在AC、BC上，求這個(gè)正方形的面積。

分析：過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A向?qū)呑鞔咕€，垂足可以在BC上，也可能在BC的延長(zhǎng)線上，要分兩種情況進(jìn)行討論。（如圖）

總之，分類討論思想作為一種重要的思想方法，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思想的縝密性、嚴(yán)謹(jǐn)性具有重要意義，我們數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)解題中要循序漸進(jìn)地滲透分類討論的思想方法，以提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

（作者單位：江蘇省濱?？h八巨初級(jí)中學(xué)）