摘要：組合數(shù)學(xué)作為離散數(shù)學(xué)的一個分支，是理工科專業(yè)尤其是數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生必須學(xué)習(xí)的一門課程。本文結(jié)合自己多年的教學(xué)實踐，對組合數(shù)學(xué)的教學(xué)作了一些探討。

關(guān)鍵詞：組合數(shù)學(xué)；教學(xué)；組合思想

中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）01-0095-02

組合數(shù)學(xué)作為離散數(shù)學(xué)的一個分支，其內(nèi)容駁雜，方法繁多，對長期接受連續(xù)型數(shù)學(xué)的初學(xué)者而言，往往感到抓不住要領(lǐng)。然而，多種組合思想方法之間并不是孤立的，它們緊密聯(lián)系，相輔相成。在教學(xué)過程中，將各種思想方法能夠串在一起，對于組合數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、組合思維的培養(yǎng)會十分有益。排列組合、容斥原理、遞推關(guān)系以及生成函數(shù)是本科組合數(shù)學(xué)中比較重要的教學(xué)內(nèi)容，同時也是解決組合問題時常用的幾種組合思想方法。本文通過利用這幾種思想方法解決同一個組合問題，以此表明這幾種方法之間的統(tǒng)一性與差異性，對組合數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)進(jìn)行一個簡單探討。問題：由0、1、2三個數(shù)字作成的含有偶數(shù)個0的n位數(shù)碼的個數(shù)是多少？

一、利用組合分析法求解

組合分析法即為在證明組合恒等式或解決組合問題時不是進(jìn)行代數(shù)推導(dǎo)，而是對組合恒等式或組合問題所代表的組合意義進(jìn)行分析，通過建立一一對應(yīng)的方法說明等式兩邊或兩個組合問題恰好是對同一個組合模型進(jìn)行計數(shù)。在教學(xué)時，一定要講清組合分析法的本質(zhì)，同時要指明應(yīng)用組合分析法的關(guān)鍵是建立一一對應(yīng)關(guān)系的兩邊一定描述的是同一個組合模型。問題的求解：將所有的n位數(shù)碼分成兩組：①只含2的n位數(shù)碼為一組，組中只有一個n位數(shù)碼，它不出現(xiàn)數(shù)碼0，0是偶數(shù)。②至少含一個0或者1的n位數(shù)碼為另一組，組中共有3n-1個n位數(shù)碼。在這組數(shù)碼中，按2出現(xiàn)的模式再分成一些類，因在每一類的數(shù)碼中，0出現(xiàn)偶數(shù)次的數(shù)碼占一半，故這一組中0出現(xiàn)偶數(shù)次的數(shù)碼共有■。由①、②可知，0出現(xiàn)偶數(shù)次的數(shù)碼總數(shù)共有1+■=■個。

二、利用容斥原理求解

容斥原理的基本形式的應(yīng)用具有一定的局限性，在教學(xué)時，有必要介紹容斥原理的一般形式以及更廣泛的應(yīng)用。設(shè)n元集S，具有性質(zhì)集P={P1，P2，…，Pm}?，F(xiàn)在問題是求出集 S中恰好具有P中r個，性質(zhì)的元素個數(shù)N（r）（0≤r≤m）。令：W（0）=|S|，W（1）=■N（Pi），W（2）=■N（PiPj），…，W（m）=N（P1，P2，…，Pm）。其中N（P1，P2，…，Pm）表示同時具有性質(zhì)P1，P2，…，Pm的元素個數(shù)。若記W（r）表示S中至少具有r（1≤r≤m）個性質(zhì)的元素個數(shù)，首先有以下的容斥原理的一般形式：定理1：N（r）=W（r）-■W（r+1）+■W（r+2）-…+（-1）m-r■W（m），其中0≤r≤m。同時，還可以很容易得到以下結(jié)論：定理2：設(shè)E（x）=N（0）+N（1）x+N（2）x2+…+N（m）xm，則：E（x）=■W（j）（x-1）j。由此定理不難得到一個推論：設(shè)n元集S={x1，x2，…，xn}的元有性質(zhì)集P={P1，P2，…，Pm}，則S中具有偶數(shù)個性質(zhì)的元素個數(shù)為：N（0）+N（2）+N（4）+…=W（0）+■■W（j）（-2）j；S中具有奇數(shù)個性質(zhì)的元素個數(shù)為：：N（1）+N（3）+N（5）+…=-■■W（j）（-2）j。利用這些結(jié)論，可以得到上述問題應(yīng)用容斥原理的解決方法。問題的求解：設(shè)由0，1，2三個數(shù)字作成的全體n位數(shù)碼的集合為S，則|S|=3n。又設(shè)Pi表示n位數(shù)碼中的第i個位置為0，（i=1，2，…，n）。那么因為W（0）=|S|=3n，W（j）=■3n-j，所以，恰具有偶數(shù)個0的n位數(shù)碼的數(shù)目為：N（0）+N（2）+N（4）+…=W（0）+■■W（j）（-2）j=3n+■■■3n-j（-2）j=■+■■■3n-j（-2）j=■+■（3-2）n=■.

三、利用遞推關(guān)系求解

給定一個數(shù)列H（0），H（1），…，H（n），…，（或H{（n）}），如果存在若干項之間的關(guān)系式（等式），從某個非負(fù)整數(shù)n起都有效，這個關(guān)系式叫做遞推關(guān)系。針對一個實際問題，在教學(xué)時，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)遞推關(guān)系的建立是正確解決相關(guān)組合問題的關(guān)鍵。問題的求解：用f（n）表示由0、1、2組成的且0出現(xiàn)偶數(shù)次的n位數(shù)碼的個數(shù)，n=1，2，…，顯然f（1）=2。當(dāng)n≥2時，將這樣的f（n）個n位數(shù)碼分為以下兩類。

1.第1個位置不是0的這樣的n位數(shù)碼為一類，這時，第1個位置必是1或2，有兩種選擇，而后面的n-1位只要是0出現(xiàn)偶數(shù)次的n-1位數(shù)碼即可，故這一類共有2f（n-1）個。

2.第一個位置是0的這樣的n位數(shù)碼為另一類，這時后面的n-1位只要是0出現(xiàn)奇數(shù)次的n-1位數(shù)碼即可，故這一類共有：3n-1-f（n-1）個，（后n-1位任取0、1、2共3n-1個n位數(shù)碼，f（n-1）表示0出現(xiàn)偶數(shù)次的n-1位數(shù)碼）。所以由加法原理，得：f（n）=2f（n-1）+3n-1-f（n-1）=f（n-1）+3n-1，規(guī)定f（0）=1，得遞推關(guān)系：f（n）=f（n-1）+3n-1 n≥1f（0）=1。解這個遞推關(guān)系：f（n）=f（n-1）+3n-1=f（n-2）+3n-2+3n-1=f（n-3）+3n-3+3n-2+3n-1，用歸納法證明：當(dāng)n=0時，f（0）=■=1；當(dāng)n=1時，f（1）=■=2，結(jié)論均成立。設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，下證n=k+1時：f（k+1）=f（k）+3k=■+3k=■，所以當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立。

四、利用生成函數(shù)求解

冪級數(shù)是良好的數(shù)學(xué)工具。冪級數(shù)的系數(shù)形成的序列與冪級數(shù)是一一對應(yīng)的。如果兩個冪級數(shù)之間存在某種關(guān)系，那么相應(yīng)的兩個系數(shù)系列也必然存在一定得關(guān)系。組合分析中的許多問題可以歸結(jié)為求一個與n有關(guān)的數(shù)H（n），即本質(zhì)是求一個未知序列{H（n）}。在教學(xué)時，應(yīng)該指出利用生成函數(shù)解決問題的關(guān)鍵，即合理的構(gòu)造相應(yīng)地生成函數(shù)，再將問題轉(zhuǎn)化為求生成函數(shù)中某項的系數(shù)問題。問題的求解：設(shè)an表示由0、1、2組成的且0出現(xiàn)偶數(shù)次的n位數(shù)碼的個數(shù)。規(guī)定a0=1，則{an}的指數(shù)型生成函數(shù)為：fe（x）=（1+■+■+…）（1+x+■+■+■+…）2=e2x·■=■（e3x+ex）=■（■3n■+■■）=■■·■

從而，an=■ （n=0，1，2，…）。

作為本科數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，組合數(shù)學(xué)主要學(xué)習(xí)組合計數(shù)的思想方法，而排列組合、容斥原理、遞推關(guān)系以及生成函數(shù)都能解決組合計數(shù)的相關(guān)問題，從而體現(xiàn)了它們之間的統(tǒng)一性，這也是能夠同時利用它們解決同一計數(shù)問題的原因。但是使用不同的方法解決問題時，所表現(xiàn)出的難易程度又有差別，這又體現(xiàn)了這些方法之間的差異性。對于一個實際問題，究竟采用什么方法，這就需要根據(jù)實際情況而定。但我們在教學(xué)與學(xué)習(xí)的過程中，一題多解是掌握這些方法的一條很好的途徑。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳敬華.關(guān)于組合數(shù)學(xué)的若干基本思想方法[J].湖北師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2001，21（2）：86-89.

[2]曲婉玲.組合數(shù)學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，1989.

[3]匡正.組合數(shù)學(xué)習(xí)題精解[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2005.

基金項目：重慶師范大學(xué)青年基金資助項目（2011XLQ29）。

作者簡介：汪定國（1976-），男，講師，主要從事圖論，組合數(shù)學(xué)的研究。endprint

摘要：組合數(shù)學(xué)作為離散數(shù)學(xué)的一個分支，是理工科專業(yè)尤其是數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生必須學(xué)習(xí)的一門課程。本文結(jié)合自己多年的教學(xué)實踐，對組合數(shù)學(xué)的教學(xué)作了一些探討。

關(guān)鍵詞：組合數(shù)學(xué)；教學(xué)；組合思想

中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）01-0095-02

組合數(shù)學(xué)作為離散數(shù)學(xué)的一個分支，其內(nèi)容駁雜，方法繁多，對長期接受連續(xù)型數(shù)學(xué)的初學(xué)者而言，往往感到抓不住要領(lǐng)。然而，多種組合思想方法之間并不是孤立的，它們緊密聯(lián)系，相輔相成。在教學(xué)過程中，將各種思想方法能夠串在一起，對于組合數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、組合思維的培養(yǎng)會十分有益。排列組合、容斥原理、遞推關(guān)系以及生成函數(shù)是本科組合數(shù)學(xué)中比較重要的教學(xué)內(nèi)容，同時也是解決組合問題時常用的幾種組合思想方法。本文通過利用這幾種思想方法解決同一個組合問題，以此表明這幾種方法之間的統(tǒng)一性與差異性，對組合數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)進(jìn)行一個簡單探討。問題：由0、1、2三個數(shù)字作成的含有偶數(shù)個0的n位數(shù)碼的個數(shù)是多少？

一、利用組合分析法求解

組合分析法即為在證明組合恒等式或解決組合問題時不是進(jìn)行代數(shù)推導(dǎo)，而是對組合恒等式或組合問題所代表的組合意義進(jìn)行分析，通過建立一一對應(yīng)的方法說明等式兩邊或兩個組合問題恰好是對同一個組合模型進(jìn)行計數(shù)。在教學(xué)時，一定要講清組合分析法的本質(zhì)，同時要指明應(yīng)用組合分析法的關(guān)鍵是建立一一對應(yīng)關(guān)系的兩邊一定描述的是同一個組合模型。問題的求解：將所有的n位數(shù)碼分成兩組：①只含2的n位數(shù)碼為一組，組中只有一個n位數(shù)碼，它不出現(xiàn)數(shù)碼0，0是偶數(shù)。②至少含一個0或者1的n位數(shù)碼為另一組，組中共有3n-1個n位數(shù)碼。在這組數(shù)碼中，按2出現(xiàn)的模式再分成一些類，因在每一類的數(shù)碼中，0出現(xiàn)偶數(shù)次的數(shù)碼占一半，故這一組中0出現(xiàn)偶數(shù)次的數(shù)碼共有■。由①、②可知，0出現(xiàn)偶數(shù)次的數(shù)碼總數(shù)共有1+■=■個。

二、利用容斥原理求解

容斥原理的基本形式的應(yīng)用具有一定的局限性，在教學(xué)時，有必要介紹容斥原理的一般形式以及更廣泛的應(yīng)用。設(shè)n元集S，具有性質(zhì)集P={P1，P2，…，Pm}?，F(xiàn)在問題是求出集 S中恰好具有P中r個，性質(zhì)的元素個數(shù)N（r）（0≤r≤m）。令：W（0）=|S|，W（1）=■N（Pi），W（2）=■N（PiPj），…，W（m）=N（P1，P2，…，Pm）。其中N（P1，P2，…，Pm）表示同時具有性質(zhì)P1，P2，…，Pm的元素個數(shù)。若記W（r）表示S中至少具有r（1≤r≤m）個性質(zhì)的元素個數(shù)，首先有以下的容斥原理的一般形式：定理1：N（r）=W（r）-■W（r+1）+■W（r+2）-…+（-1）m-r■W（m），其中0≤r≤m。同時，還可以很容易得到以下結(jié)論：定理2：設(shè)E（x）=N（0）+N（1）x+N（2）x2+…+N（m）xm，則：E（x）=■W（j）（x-1）j。由此定理不難得到一個推論：設(shè)n元集S={x1，x2，…，xn}的元有性質(zhì)集P={P1，P2，…，Pm}，則S中具有偶數(shù)個性質(zhì)的元素個數(shù)為：N（0）+N（2）+N（4）+…=W（0）+■■W（j）（-2）j；S中具有奇數(shù)個性質(zhì)的元素個數(shù)為：：N（1）+N（3）+N（5）+…=-■■W（j）（-2）j。利用這些結(jié)論，可以得到上述問題應(yīng)用容斥原理的解決方法。問題的求解：設(shè)由0，1，2三個數(shù)字作成的全體n位數(shù)碼的集合為S，則|S|=3n。又設(shè)Pi表示n位數(shù)碼中的第i個位置為0，（i=1，2，…，n）。那么因為W（0）=|S|=3n，W（j）=■3n-j，所以，恰具有偶數(shù)個0的n位數(shù)碼的數(shù)目為：N（0）+N（2）+N（4）+…=W（0）+■■W（j）（-2）j=3n+■■■3n-j（-2）j=■+■■■3n-j（-2）j=■+■（3-2）n=■.

三、利用遞推關(guān)系求解

給定一個數(shù)列H（0），H（1），…，H（n），…，（或H{（n）}），如果存在若干項之間的關(guān)系式（等式），從某個非負(fù)整數(shù)n起都有效，這個關(guān)系式叫做遞推關(guān)系。針對一個實際問題，在教學(xué)時，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)遞推關(guān)系的建立是正確解決相關(guān)組合問題的關(guān)鍵。問題的求解：用f（n）表示由0、1、2組成的且0出現(xiàn)偶數(shù)次的n位數(shù)碼的個數(shù)，n=1，2，…，顯然f（1）=2。當(dāng)n≥2時，將這樣的f（n）個n位數(shù)碼分為以下兩類。

1.第1個位置不是0的這樣的n位數(shù)碼為一類，這時，第1個位置必是1或2，有兩種選擇，而后面的n-1位只要是0出現(xiàn)偶數(shù)次的n-1位數(shù)碼即可，故這一類共有2f（n-1）個。

2.第一個位置是0的這樣的n位數(shù)碼為另一類，這時后面的n-1位只要是0出現(xiàn)奇數(shù)次的n-1位數(shù)碼即可，故這一類共有：3n-1-f（n-1）個，（后n-1位任取0、1、2共3n-1個n位數(shù)碼，f（n-1）表示0出現(xiàn)偶數(shù)次的n-1位數(shù)碼）。所以由加法原理，得：f（n）=2f（n-1）+3n-1-f（n-1）=f（n-1）+3n-1，規(guī)定f（0）=1，得遞推關(guān)系：f（n）=f（n-1）+3n-1 n≥1f（0）=1。解這個遞推關(guān)系：f（n）=f（n-1）+3n-1=f（n-2）+3n-2+3n-1=f（n-3）+3n-3+3n-2+3n-1，用歸納法證明：當(dāng)n=0時，f（0）=■=1；當(dāng)n=1時，f（1）=■=2，結(jié)論均成立。設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，下證n=k+1時：f（k+1）=f（k）+3k=■+3k=■，所以當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立。

四、利用生成函數(shù)求解

冪級數(shù)是良好的數(shù)學(xué)工具。冪級數(shù)的系數(shù)形成的序列與冪級數(shù)是一一對應(yīng)的。如果兩個冪級數(shù)之間存在某種關(guān)系，那么相應(yīng)的兩個系數(shù)系列也必然存在一定得關(guān)系。組合分析中的許多問題可以歸結(jié)為求一個與n有關(guān)的數(shù)H（n），即本質(zhì)是求一個未知序列{H（n）}。在教學(xué)時，應(yīng)該指出利用生成函數(shù)解決問題的關(guān)鍵，即合理的構(gòu)造相應(yīng)地生成函數(shù)，再將問題轉(zhuǎn)化為求生成函數(shù)中某項的系數(shù)問題。問題的求解：設(shè)an表示由0、1、2組成的且0出現(xiàn)偶數(shù)次的n位數(shù)碼的個數(shù)。規(guī)定a0=1，則{an}的指數(shù)型生成函數(shù)為：fe（x）=（1+■+■+…）（1+x+■+■+■+…）2=e2x·■=■（e3x+ex）=■（■3n■+■■）=■■·■

從而，an=■ （n=0，1，2，…）。

作為本科數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，組合數(shù)學(xué)主要學(xué)習(xí)組合計數(shù)的思想方法，而排列組合、容斥原理、遞推關(guān)系以及生成函數(shù)都能解決組合計數(shù)的相關(guān)問題，從而體現(xiàn)了它們之間的統(tǒng)一性，這也是能夠同時利用它們解決同一計數(shù)問題的原因。但是使用不同的方法解決問題時，所表現(xiàn)出的難易程度又有差別，這又體現(xiàn)了這些方法之間的差異性。對于一個實際問題，究竟采用什么方法，這就需要根據(jù)實際情況而定。但我們在教學(xué)與學(xué)習(xí)的過程中，一題多解是掌握這些方法的一條很好的途徑。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳敬華.關(guān)于組合數(shù)學(xué)的若干基本思想方法[J].湖北師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2001，21（2）：86-89.

[2]曲婉玲.組合數(shù)學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，1989.

[3]匡正.組合數(shù)學(xué)習(xí)題精解[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2005.

基金項目：重慶師范大學(xué)青年基金資助項目（2011XLQ29）。

作者簡介：汪定國（1976-），男，講師，主要從事圖論，組合數(shù)學(xué)的研究。endprint

摘要：組合數(shù)學(xué)作為離散數(shù)學(xué)的一個分支，是理工科專業(yè)尤其是數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生必須學(xué)習(xí)的一門課程。本文結(jié)合自己多年的教學(xué)實踐，對組合數(shù)學(xué)的教學(xué)作了一些探討。

關(guān)鍵詞：組合數(shù)學(xué)；教學(xué)；組合思想

中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）01-0095-02

組合數(shù)學(xué)作為離散數(shù)學(xué)的一個分支，其內(nèi)容駁雜，方法繁多，對長期接受連續(xù)型數(shù)學(xué)的初學(xué)者而言，往往感到抓不住要領(lǐng)。然而，多種組合思想方法之間并不是孤立的，它們緊密聯(lián)系，相輔相成。在教學(xué)過程中，將各種思想方法能夠串在一起，對于組合數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、組合思維的培養(yǎng)會十分有益。排列組合、容斥原理、遞推關(guān)系以及生成函數(shù)是本科組合數(shù)學(xué)中比較重要的教學(xué)內(nèi)容，同時也是解決組合問題時常用的幾種組合思想方法。本文通過利用這幾種思想方法解決同一個組合問題，以此表明這幾種方法之間的統(tǒng)一性與差異性，對組合數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)進(jìn)行一個簡單探討。問題：由0、1、2三個數(shù)字作成的含有偶數(shù)個0的n位數(shù)碼的個數(shù)是多少？

一、利用組合分析法求解

組合分析法即為在證明組合恒等式或解決組合問題時不是進(jìn)行代數(shù)推導(dǎo)，而是對組合恒等式或組合問題所代表的組合意義進(jìn)行分析，通過建立一一對應(yīng)的方法說明等式兩邊或兩個組合問題恰好是對同一個組合模型進(jìn)行計數(shù)。在教學(xué)時，一定要講清組合分析法的本質(zhì)，同時要指明應(yīng)用組合分析法的關(guān)鍵是建立一一對應(yīng)關(guān)系的兩邊一定描述的是同一個組合模型。問題的求解：將所有的n位數(shù)碼分成兩組：①只含2的n位數(shù)碼為一組，組中只有一個n位數(shù)碼，它不出現(xiàn)數(shù)碼0，0是偶數(shù)。②至少含一個0或者1的n位數(shù)碼為另一組，組中共有3n-1個n位數(shù)碼。在這組數(shù)碼中，按2出現(xiàn)的模式再分成一些類，因在每一類的數(shù)碼中，0出現(xiàn)偶數(shù)次的數(shù)碼占一半，故這一組中0出現(xiàn)偶數(shù)次的數(shù)碼共有■。由①、②可知，0出現(xiàn)偶數(shù)次的數(shù)碼總數(shù)共有1+■=■個。

二、利用容斥原理求解

容斥原理的基本形式的應(yīng)用具有一定的局限性，在教學(xué)時，有必要介紹容斥原理的一般形式以及更廣泛的應(yīng)用。設(shè)n元集S，具有性質(zhì)集P={P1，P2，…，Pm}?，F(xiàn)在問題是求出集 S中恰好具有P中r個，性質(zhì)的元素個數(shù)N（r）（0≤r≤m）。令：W（0）=|S|，W（1）=■N（Pi），W（2）=■N（PiPj），…，W（m）=N（P1，P2，…，Pm）。其中N（P1，P2，…，Pm）表示同時具有性質(zhì)P1，P2，…，Pm的元素個數(shù)。若記W（r）表示S中至少具有r（1≤r≤m）個性質(zhì)的元素個數(shù)，首先有以下的容斥原理的一般形式：定理1：N（r）=W（r）-■W（r+1）+■W（r+2）-…+（-1）m-r■W（m），其中0≤r≤m。同時，還可以很容易得到以下結(jié)論：定理2：設(shè)E（x）=N（0）+N（1）x+N（2）x2+…+N（m）xm，則：E（x）=■W（j）（x-1）j。由此定理不難得到一個推論：設(shè)n元集S={x1，x2，…，xn}的元有性質(zhì)集P={P1，P2，…，Pm}，則S中具有偶數(shù)個性質(zhì)的元素個數(shù)為：N（0）+N（2）+N（4）+…=W（0）+■■W（j）（-2）j；S中具有奇數(shù)個性質(zhì)的元素個數(shù)為：：N（1）+N（3）+N（5）+…=-■■W（j）（-2）j。利用這些結(jié)論，可以得到上述問題應(yīng)用容斥原理的解決方法。問題的求解：設(shè)由0，1，2三個數(shù)字作成的全體n位數(shù)碼的集合為S，則|S|=3n。又設(shè)Pi表示n位數(shù)碼中的第i個位置為0，（i=1，2，…，n）。那么因為W（0）=|S|=3n，W（j）=■3n-j，所以，恰具有偶數(shù)個0的n位數(shù)碼的數(shù)目為：N（0）+N（2）+N（4）+…=W（0）+■■W（j）（-2）j=3n+■■■3n-j（-2）j=■+■■■3n-j（-2）j=■+■（3-2）n=■.

三、利用遞推關(guān)系求解

給定一個數(shù)列H（0），H（1），…，H（n），…，（或H{（n）}），如果存在若干項之間的關(guān)系式（等式），從某個非負(fù)整數(shù)n起都有效，這個關(guān)系式叫做遞推關(guān)系。針對一個實際問題，在教學(xué)時，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)遞推關(guān)系的建立是正確解決相關(guān)組合問題的關(guān)鍵。問題的求解：用f（n）表示由0、1、2組成的且0出現(xiàn)偶數(shù)次的n位數(shù)碼的個數(shù)，n=1，2，…，顯然f（1）=2。當(dāng)n≥2時，將這樣的f（n）個n位數(shù)碼分為以下兩類。

1.第1個位置不是0的這樣的n位數(shù)碼為一類，這時，第1個位置必是1或2，有兩種選擇，而后面的n-1位只要是0出現(xiàn)偶數(shù)次的n-1位數(shù)碼即可，故這一類共有2f（n-1）個。

2.第一個位置是0的這樣的n位數(shù)碼為另一類，這時后面的n-1位只要是0出現(xiàn)奇數(shù)次的n-1位數(shù)碼即可，故這一類共有：3n-1-f（n-1）個，（后n-1位任取0、1、2共3n-1個n位數(shù)碼，f（n-1）表示0出現(xiàn)偶數(shù)次的n-1位數(shù)碼）。所以由加法原理，得：f（n）=2f（n-1）+3n-1-f（n-1）=f（n-1）+3n-1，規(guī)定f（0）=1，得遞推關(guān)系：f（n）=f（n-1）+3n-1 n≥1f（0）=1。解這個遞推關(guān)系：f（n）=f（n-1）+3n-1=f（n-2）+3n-2+3n-1=f（n-3）+3n-3+3n-2+3n-1，用歸納法證明：當(dāng)n=0時，f（0）=■=1；當(dāng)n=1時，f（1）=■=2，結(jié)論均成立。設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，下證n=k+1時：f（k+1）=f（k）+3k=■+3k=■，所以當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立。

四、利用生成函數(shù)求解

冪級數(shù)是良好的數(shù)學(xué)工具。冪級數(shù)的系數(shù)形成的序列與冪級數(shù)是一一對應(yīng)的。如果兩個冪級數(shù)之間存在某種關(guān)系，那么相應(yīng)的兩個系數(shù)系列也必然存在一定得關(guān)系。組合分析中的許多問題可以歸結(jié)為求一個與n有關(guān)的數(shù)H（n），即本質(zhì)是求一個未知序列{H（n）}。在教學(xué)時，應(yīng)該指出利用生成函數(shù)解決問題的關(guān)鍵，即合理的構(gòu)造相應(yīng)地生成函數(shù)，再將問題轉(zhuǎn)化為求生成函數(shù)中某項的系數(shù)問題。問題的求解：設(shè)an表示由0、1、2組成的且0出現(xiàn)偶數(shù)次的n位數(shù)碼的個數(shù)。規(guī)定a0=1，則{an}的指數(shù)型生成函數(shù)為：fe（x）=（1+■+■+…）（1+x+■+■+■+…）2=e2x·■=■（e3x+ex）=■（■3n■+■■）=■■·■

從而，an=■ （n=0，1，2，…）。

作為本科數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，組合數(shù)學(xué)主要學(xué)習(xí)組合計數(shù)的思想方法，而排列組合、容斥原理、遞推關(guān)系以及生成函數(shù)都能解決組合計數(shù)的相關(guān)問題，從而體現(xiàn)了它們之間的統(tǒng)一性，這也是能夠同時利用它們解決同一計數(shù)問題的原因。但是使用不同的方法解決問題時，所表現(xiàn)出的難易程度又有差別，這又體現(xiàn)了這些方法之間的差異性。對于一個實際問題，究竟采用什么方法，這就需要根據(jù)實際情況而定。但我們在教學(xué)與學(xué)習(xí)的過程中，一題多解是掌握這些方法的一條很好的途徑。

參考文獻(xiàn)：

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[2]曲婉玲.組合數(shù)學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，1989.

[3]匡正.組合數(shù)學(xué)習(xí)題精解[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2005.

基金項目：重慶師范大學(xué)青年基金資助項目（2011XLQ29）。

作者簡介：汪定國（1976-），男，講師，主要從事圖論，組合數(shù)學(xué)的研究。endprint