例析初中數(shù)學“幾何直觀”教學的類型

☉四川省南充市嘉陵區(qū)教育科學研究室 蒲大勇

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果，幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學.”由此我們可以看出：“幾何直觀是利用實物或圖形洞察問題本質(zhì)的一種方式，既有形象思維的特點，又有抽象思維的特點.”心理學研究表明，初中階段學生的思維發(fā)展處于以具體形象思維為主向以抽象邏輯思維為主的過渡時期.所以，在初中階段，我們要繼續(xù)利用實物或圖形“具體形象”的特征，探究其本身各種量之間的關(guān)系，借助其“具體形象”的特征來理解與圖形之中蘊含的某種數(shù)量關(guān)系相當?shù)摹⑦\用“抽象符號”表示的、圖形之外的數(shù)量之間的運算關(guān)系，進一步啟發(fā)和培養(yǎng)學生的抽象邏輯思維能力.那么，初中數(shù)學“幾何直觀”教學有哪些類型？我們認為，初中數(shù)學“幾何直觀”教學按照直觀的目的可劃分為直觀驗證型、直觀理解型、直觀探索型、直觀建構(gòu)型、直觀拓展型和直觀簡約型六種類型.

一、直觀驗證型

直觀驗證型是通過動手操作、實驗檢測等方式驗證已得結(jié)論或猜想的正確性，從而在直觀操作的基礎上獲得數(shù)學知識的理解的一種數(shù)學教學活動.這種類型的目的是驗證已知結(jié)論的正確性和合理性，一般步驟為：已知結(jié)論—構(gòu)造圖形—觀察分析—得出結(jié)果.直觀驗證型的特點是：直觀，思維起點低，操作簡單.

案例1“完全平方公式”教學片斷

師：通過上面的探究活動，我們知道完全平方公式為（a±b）2=a2±2ab+b2，你能根據(jù)公式形式，自己構(gòu)造圖形表示完全平方公式嗎？

（小組合作探究，5分鐘后）

生1（邊展示邊說）：構(gòu)造如圖1所示的正方形，這個正方形的面積為（a+b）2；而圖1中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面積分別為ab，b2，a2，ab，它們的面積和為a2+2ab+b2.這里用兩種方式表示了同一個圖形的面積，所以它們相等，即（a+b）2=a2+2ab+b2.

圖1

師：很好，生1通過構(gòu)造幾何圖形面積驗證了完全平方和公式的正確性.誰來說一說完全平方差公式？

生2：構(gòu)造如圖2所示的正方形，這個正方形的面積為a2；圖2中Ⅲ的面積為（a-b）2；圖2中Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面積和為2ab-b2，用圖2中Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面積表示Ⅲ的面積為a2-2ab+b2；這里也是用兩種方式表示了同一個圖形的面積，所以它們相等，即（a-b）2=a2-2ab+b2.

圖2

評析：這個教學片斷驗證完全平方公式的正確性遵循“已知結(jié)論—構(gòu)造圖形—分析計算—得出結(jié)果”的流程，首先，學生按照條件自己構(gòu)造圖形，讓“數(shù)”與“形”有機融合；然后，以兩種不同方式對同一圖形面積進行計算；最后，由計算結(jié)果相等得到公式的正確性.在這個過程中學生經(jīng)歷動手操作、分析計算，直觀驗證了完全平方公式的正確性，從“形”上增強了對公式的理解，滲透了“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.

二、直觀理解型

直觀理解型是借助實物或圖形直觀，以學生理解數(shù)學概念、定理等數(shù)學知識為目的的數(shù)學教學活動.這類教學借助對實物或圖形進行直觀的操作，深刻理解數(shù)學概念、原理等，它主要通過學生對實物或圖形的“數(shù)學化”操作來實現(xiàn)對數(shù)學概念、原理、事實的接受和理解.一般步驟為：產(chǎn)生疑惑—“數(shù)學化”操作—內(nèi)化理解.直觀理解型的特點是：抽象的數(shù)學知識形象化，在形象感知中理解.

案例2“無理數(shù)”教學片斷

師：任何一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到一個點來表示，類似地，任何一個無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點來表示.

（學生對“任何一個無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點來表示”的理解比較困難，產(chǎn)生了疑惑）

師：以無理數(shù)π為例.請看多媒體演示，如圖3，用直徑為1個單位長度的圓從原點O沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的點O運動到O′，線段OO′的長就是這個圓的周長π，所以點O′的坐標為π.這樣，無理數(shù)π就用數(shù)軸上的點表示出來了.

圖3

評析：這個教學片斷通過多媒體動畫演示讓學生感知了“在數(shù)軸上有且只有一個表示無理數(shù)π的點”，這在抽象的“數(shù)”與直觀的“形”之間建立了互相表達的關(guān)系，學生在從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化中理解了無理數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關(guān)系，由此內(nèi)化了對“無理數(shù)可以在數(shù)軸上找到對應點”的認識.這樣能夠讓學生體驗到數(shù)形結(jié)合思想方法在學習數(shù)學時具有化抽象為直觀、簡潔易懂的作用，必定能夠激起學生對數(shù)形結(jié)合思想方法的認同.

三、直觀探索型

直觀探索型是借助實物或圖形直觀，以探索未知結(jié)論為目的的數(shù)學教學活動.這類教學教師要創(chuàng)造、模擬、再現(xiàn)問題情境，引導學生自主探究數(shù)學知識、發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論（或假設）.直觀探索型對學生智力的發(fā)展、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)、科學方法的形成都有很大的幫助.一般步驟為：問題提出—直觀探索—抽象概括—發(fā)現(xiàn)結(jié)論.直觀探索型的特點是：具有開放性、探索性、生成性，對學生的數(shù)學素養(yǎng)、教師的引導方法要求較高.

案例3“正弦”概念教學片斷師：如圖4，斜坡的傾斜角為30°，當器材P沿斜坡OB向上搬運5米時，點P離地面的距離PH為多少？

生1：2.5米.

師：在器材P向上搬運的過程中，在點P離地面的距離PH、點P離起點O的距離OP等量中，有哪些量發(fā)生了變化？哪些量不發(fā)生變化呢？

生2：當點P運動時，線段OP、PH、OH的長度都發(fā)生了改變.

圖4

生3：當點P運動時，線段OP的長度發(fā)生了改變，如果設OP=x的話，那么線段PH、OH都可以用含x的代數(shù)式表示出來.當∠AOB=30°時，PH=x，OH=.這說明線段PH、OH的長隨著OP的變化而變化，它們是關(guān)于x的一次函數(shù).

師：剛才大家找到了3個變量，那么在這個變化的過程中，有不變的量嗎？

生4：∠AOB的度數(shù)不變.

生6：還有線段OH與OP的比值不變，等于.

生7：把三條線段兩兩組合就可以了！

生8（迫不及待地）：三條線段兩兩組合有3種可能，但是求比值時，還涉及分子、分母的不同，比如OP與OH組合，既可以得到線段比，也可以得到線段比，所以有6種可能.

師（很開心地）：這里確實有6對比值，現(xiàn)在我們不妨先選取其中的3對比值進行研究，先從線段PH與線段OP的比值開始.

圖5

師：這對線段的比值與點P的位置無關(guān)，那么它與什么有關(guān)呢？

生4（再次發(fā)言）：可能與∠AOB的度數(shù)有關(guān).比如圖6，當∠AOB1=60°時，比值變?yōu)?

圖6

師：想想看，能否借助圖6來說明當角度變化時，比值也隨之變化呢？

學生先獨立思考，再討論交流大約2分鐘.

圖7

生11：這對線段的比值隨著角度的改變而改變，它是角度的函數(shù).

師：為了表示的方便，把這對線段的比值用sinα表示，稱之為角α的正弦.

評析：這個教學片斷教師創(chuàng)設了一個“器材沿斜坡運動”的問題情境，借助幾何圖形直觀“找尋運動過程中的變量和不變量”，建立了相應線段的比值；再利用幾何圖形直觀地探索比值的相關(guān)量，進而發(fā)現(xiàn)比值隨角度變化而變化，是角度的函數(shù)，自然地形成正弦函數(shù)的概念.這樣直觀形象、動態(tài)生成的過程，不僅讓學生體會了正弦三角函數(shù)產(chǎn)生的必要性，而且理解了正弦三角函數(shù)是一個以角為自變量的函數(shù)，使學生慢慢地理解了正弦三角函數(shù)的意義和符號表示.

四、直觀建構(gòu)型

直觀建構(gòu)型是借助實物或圖形直觀，以建構(gòu)某個數(shù)學知識或圖式模型為目的的數(shù)學教學活動.這類教學是在建構(gòu)直觀的方程模型、圖式模型等的基礎上，使得學生能夠進一步把握和理解更加抽象、更為深刻的思維對象.一般步驟為：問題提出—實物演示—觀察分析—建構(gòu)模型.直觀建構(gòu)型的特點是：具有空間性、模型性、探索性.

案例4 “圓錐側(cè)面展開圖”教學片斷

師（邊演示模型，邊啟發(fā)提問）：如圖8，現(xiàn)在老師把這圓錐的側(cè)面沿它的一條母線剪開，展在一個平面上，哪位同學能發(fā)現(xiàn)這個展開圖是什么圖形？

生1：扇形.

師（再次演示模型）：請同學們仔細觀察，并回答：

（1）扇形的弧長l與圓錐底面圓的周長是什么關(guān)系？

（2）扇形的半徑其實是圓錐的什么線段？

生2（上講臺指著模型，邊說邊寫）：扇形的弧長是底面圓的周長，即l=2πr，扇形的半徑就是圓錐的母線.

師（追問）：圓錐的側(cè)面積與扇形的面積有何關(guān)系？生3：圓錐的側(cè)面積等于扇形的面積.

圖8

側(cè)錐底面圓的半徑，l為圓錐底面圓的周長）.

評析：這個教學片斷通過“圓錐實物模型”的多次演示，讓學生經(jīng)歷了由圓錐立體模型到扇形這個平面模型的過程，在學生頭腦中建構(gòu)了“圓錐模型”與“扇形模型”，學生在這兩個模型的“形”的轉(zhuǎn)化中找到了“數(shù)”的相等關(guān)系，這又在學生大腦中建構(gòu)了一個新的“數(shù)量”模型，這樣讓學生體驗到數(shù)學的美妙，對所學知識的理解更加深刻.

五、直觀拓展型

直觀拓展型是借助實物或圖形直觀，以拓寬研究思路或拓展數(shù)學知識為目的的數(shù)學教學活動.這類教學是對已有研究方案或思路的延伸，若運用得當，可以充分調(diào)動學生已有的知識結(jié)構(gòu)，拓展思維視野，發(fā)揮教師教學的創(chuàng)造性，給不同能力傾向的學生提供較大的選擇空間，使他們獲取各自發(fā)展所需要的知識、技能和能力.一般步驟為：任務引入—任務拓展—分解任務—應用拓展.直觀拓展型的特點是：具有開放性、創(chuàng)新性、探索性.

案例5“絕對值的幾何意義”教學片斷

問題引入：a的幾何意義是什么？

活動1：若a是一個數(shù)，探究|a-1|的幾何意義.

（1）試在數(shù)軸上探究|2-1|，|-1-1|，|0-1|的幾何意義.

（2）試在數(shù)軸上探究|a-1|的幾何意義.

（學生合作探究、展示略）

活動2：點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離為線段AB的長度.試在數(shù)軸上探究|a-b|的幾何意義.

（1）如何在數(shù)軸上表示數(shù)a、b？

（2）在數(shù)軸上，點A、B有哪幾種情形？

（3）你能將各種情形的AB都表示出來嗎？

學生小組合作探究并展示：

①當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點（如圖9），AB=OB=|b|=|a-b|；

圖9

②A、B兩點都不在原點，當點A、B都在原點右邊時（如圖10），則AB=OB-OA=|b|-|a|=|a-b|；

圖10

③如圖11，當點A、B都在原點左邊時，AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|；

圖11

④如圖12，當點A、B在原點的兩邊時，AB=OA+OB=|a|+|b|=a+（-b）=|a-b|.

圖12

所以，|a-b|的幾何意義是：|a-b|表示數(shù)軸上A、B兩點之間的距離.

活動3：當代數(shù)式|x-1|+|x-2|取最小值時，x相應的取值范圍是什么？最小值是多少？

（學生合作探究、展示略）

評析：這個教學片斷采取“層層推進”的教學方式，三個探究活動在整體上是一個直觀拓展型，從“數(shù)到字母”“整體到分類”“一類到多類”“初步認識到深入理解再到具體應用”；每個探究活動都是一個拓展型，活動1將一般問題的探討分解為兩個問題，問題（1）解決特殊情形下的幾何意義，問題（2）拓展為對|a-1|幾何意義的初步認識，滲透數(shù)形結(jié)合思想；活動2按照從特殊到一般的過程，引導學生在數(shù)軸上表示實數(shù)a、b，根據(jù)點A、B在數(shù)軸上的各種情形，將A、B兩點間的距離用數(shù)a、b表示，再轉(zhuǎn)化為|a-b|，培養(yǎng)學生推理的意識，滲透分類討論的思想；活動3是|a-b|的幾何意義的直接應用，引導學生在數(shù)軸上用點P、A、B表示數(shù)x、1、2， 則PA=|x-1|，PB=|x-2|，將問題轉(zhuǎn)化為PA+PB的最小值，再利用數(shù)軸解決問題，讓學生感受數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想.

六、直觀簡約型

直觀簡約型是用數(shù)學符號、圖表、圖式等直觀表達數(shù)學中的數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的數(shù)學教學活動.從學習過程上看，把數(shù)學概念、法則或公式簡約化，都要經(jīng)歷“理解含義一選取符號或字母一確定運算一簡約表達”四個環(huán)節(jié).直觀簡約型的特點是：簡潔、抽象、易記.

案例6“規(guī)律探索型”教學片斷

問題：小玲家對面超市的大櫥窗四周，安裝著紅、黃、綠三種顏色的霓虹燈，并且這些霓虹燈按照1盞紅色燈，2盞黃色燈，3盞綠色燈的順序循環(huán)排列，那么第15盞霓虹燈是____色.

（小組合作學習、交流、討論，5分鐘后）

小組1：用字母A表示紅色霓虹燈，字母B表示黃色霓虹燈，字母C表示綠色霓虹燈，并得出如下排列模式：

小組2：用△表示紅色霓虹燈，□表示黃色霓虹燈，○表示綠色霓虹燈，將15個霓虹燈全部畫出如下如下：

據(jù)此推導出第15個字母，確定第15個霓虹燈的顏色.

師：對上述規(guī)律可“列除法算式”：15÷（1+2+3）=2余3，從而得出結(jié)論：第15個霓虹燈是黃色.

評析：在這個教學片斷中，小組1、2都用直觀簡約的字母或圖式排列了三種顏色霓虹燈的規(guī)律，簡便，直觀性強.在這個過程中，讓學生經(jīng)歷實際問題的“符號化”，培養(yǎng)學生的“符號意識”；最后，教師根據(jù)規(guī)律“列除法算式”，在培養(yǎng)學生“符號意識”的同時，也培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力.

總之，幾何直觀教學的目的是把抽象的數(shù)學概念、法則、公式和定理等數(shù)學知識，通過實物或圖形的描述和分析以實現(xiàn)教學的直觀化、顯性化、形象化，其宗旨在于提高數(shù)學教學的育人價值，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).這就要求教師在教學中要以理解教材、理解學生、理解數(shù)學為基礎，依據(jù)初中生的認知特點和身心發(fā)展規(guī)律，創(chuàng)新幾何直觀教學的類型，輔以教具、學具、多媒體等直觀教學手段，豐富數(shù)學教學的內(nèi)涵.

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5.潘小梅.什么是真正經(jīng)歷了過程的教學？——過程化教學的案例分析及思考［J］.中國數(shù)學教育（初中版），2012（10）.

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