【摘 要】不定積分的解題方法很多，很多同學(xué)看到題目時(shí)總會(huì)在選用方法上大費(fèi)腦筋，本文主要簡(jiǎn)單的介紹幾種最常見(jiàn)的利用湊微分法和分部積分法解題的類型。

【關(guān)鍵詞】不定積分；湊微分法；分部積分法

不定積分針對(duì)不同的題型有不同的解法，本次主要講解不定積分中的湊微分法和分部積分法。

一、湊微分法

一般型如的不定積分常用湊微分法解題。（注：其中a、b、c為常數(shù)，f（x）為一次函數(shù)）

1、型

首先令u=f（x），根據(jù)du=u'dx=[f（x）]'dx求出dx與du的關(guān)系，從而將型轉(zhuǎn)換成型，再利用公式求出，最后將u=f（x）回代得

例題1：求不定積分：

解：令u=3x+5，則du=u'dx=（3x+5）'dx=3dx，即

∴ 原式=

2、型

首先令u=f（x），根據(jù)du=u'dx=[f（x）]'dx求出dx與du的關(guān)系，從而將型轉(zhuǎn)換成型，再利用公式，最后將u=f（x）回代得

例題2：求不定積分：

解：令u=4x+5，則du=u'dx=（4x+5）'dx=4dx，即

∴ 原式=

3、型

首先令u=f（x），根據(jù)du=u'dx=[f（x）]'dx求出dx與du的關(guān)系，從而將型轉(zhuǎn)換成型，再利用公式，最后將回代得

例題3：求不定積分：

解：令u=5x+4，則du=u'dx=（5x+4）'dx=5dx，即

∴ 原式=

4、型

首先令u=f（x），根據(jù)du=u'dx=[f（x）]'dx求出dx與du的關(guān)系，從而將型轉(zhuǎn)換成型，再利用公式求出，最后將u=f（x）回代得、

例題4：求不定積分：

解：令u=2x+1，則du=u'dx=（2x+1）'dx=2dx，即

∴ 原式=

例題5：求不定積分：

解：令u=3x+1，則du=u'dx=（3x+1）'dx=3dx，即

∴ 原式=

二、分部積分法

一般形如：，的不定積分常用分部積分法求解。

1、型

首先將exdx湊成d（ex），將∫f（x）exdx變?yōu)椤襢（x）d（ex）型，再利用公式求解。

例4：

解：原式

2、型

首先將sinxdx、cosxdx湊成-d（cosx）、d（sinx），將、變?yōu)樾?，再利用公式求解?/p>

例5：

解：原式=

例6：

解：原式=

3、型

首先求導(dǎo)數(shù)為f（x）的原函數(shù)F（x），將f（x）dx湊成d[F（x）]，再將變?yōu)樾停詈罄霉角蠼狻?/p>

例7：

解：原式

以上只是幾種最常見(jiàn)的可用湊微分法和分部積分法的例子，在下一次的學(xué)習(xí)中我們將介紹稍微復(fù)雜一些同樣也可以用這兩種方法求解的例題。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)（第五版）.北京：高等教育出版社，第五版

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（作者單位：云南工程職業(yè)學(xué)院）