【摘 要】數(shù)形結(jié)合的思想是指在研究問(wèn)題的過(guò)程中，由數(shù)思形或由形思數(shù)，把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)分析問(wèn)題的思想。數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)不僅只在于傳授知識(shí)，還在于塑造有數(shù)學(xué)思想的人。數(shù)形結(jié)合將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，是數(shù)學(xué)的精髓，是解題的指導(dǎo)思想，更能使人受益匪淺。加里寧曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)是鍛煉思想的“體操”。目前我們初中階段涉及到的數(shù)學(xué)思想有：整體思想、換元思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想等等。本文就數(shù)形結(jié)合思想談?wù)勗诮忸}時(shí)的妙用。

數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩種表達(dá)形式，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)用“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”形象生動(dòng)地闡述了數(shù)形結(jié)合的意義。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化。下面就數(shù)形結(jié)合思想在具體問(wèn)題中如何應(yīng)用加以舉例進(jìn)行說(shuō)明。

一、代數(shù)問(wèn)題借助幾何圖形進(jìn)行思考

例1：某班有50名學(xué)生，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有30人，參加演講比賽的有25人，兩科競(jìng)賽都沒(méi)有參加的有8人，問(wèn)兩科競(jìng)賽都參加的有幾人？

解析：這是一個(gè)一元一次方程的應(yīng)用問(wèn)題，我們可以借助幾何圖形來(lái)尋找等量關(guān)系，如圖1，大圓表示該班的學(xué)生總數(shù)，兩個(gè)小圓分別表示參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽和演講比賽的學(xué)生，兩個(gè)小圓的公共部分表示兩科競(jìng)賽都參加的學(xué)生，大圓內(nèi)與小圓外之間的部分表示兩科都沒(méi)有參加的學(xué)生。設(shè)兩科競(jìng)賽都參加的學(xué)生有x人，則有：8+30-x+x+25-x=50，解得x=13。即兩科比賽都參加的學(xué)生有13人。

例2：已知點(diǎn)C在直線AB上，線段AC=7cm，線段BC=3cm，點(diǎn)E、F分別是線段AC、線段BC的中點(diǎn)，求線段EF的長(zhǎng)。

分析：點(diǎn)C在直線AB上，這樣的點(diǎn)C既可以在線段AB上，也可以在線段AB的延長(zhǎng)線上，所以通過(guò)畫(huà)圖使學(xué)生理解起來(lái)更直觀些，知道求線段EF的長(zhǎng)有兩種情況（EF=CE+CF或EF=CE-CF）。

解：因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是線段AC、線段BC的中點(diǎn)，所以CE=AC=3.5（cm），CF=BC=1.5（cm）

第一種情況（如圖2），當(dāng)點(diǎn)C在線段AB，EF=CE+CF=5（cm）第二種情況（如圖3），當(dāng)在線段AB的延長(zhǎng)線上，EF=CE-CF=2（cm）

二、幾何問(wèn)題借助代數(shù)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算

例3：如圖4，正方形卡片A類、B類和長(zhǎng)方形卡片C類各若干張，如果要拼成一個(gè)長(zhǎng)為a+3b、寬為a+b的大長(zhǎng)方形，則需要C類卡片幾張？

分析：本題是典型的幾何問(wèn)題代數(shù)化，因?yàn)榇箝L(zhǎng)方形的面積（a+3b）（a+b）=a+4ab+3b，一方面利用等式乘法得出a+4ab+3b，另一方面結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)a+4ab+3b實(shí)際上是已知的三種卡片的面積之和，利用拼圖前后面積相等得出結(jié)論需要4張C類卡片。

例4：小明在拼圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)8個(gè)一樣大小的長(zhǎng)方形恰好可以拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，如圖5所示。小紅看見(jiàn)了說(shuō)：“我來(lái)試一試”，結(jié)果小紅七拼八湊后，拼成如圖6所示的正方形。但是中間還留有一個(gè)邊長(zhǎng)為2mm的小正方形。你能求出原來(lái)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬嗎？

分析：本題中有兩個(gè)未知量：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，而兩個(gè)拼圖恰好給出了兩個(gè)等量關(guān)系，圖5中得到：3個(gè)長(zhǎng)等于5個(gè)寬，圖6中得到：寬的2倍減長(zhǎng)等于2，因此本題可以通過(guò)二元一次方程組解決。

三、數(shù)形有機(jī)結(jié)合，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程

例5：拋物線y=3x向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，向上移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，求移動(dòng)后拋物線的解析式？

分析：通過(guò)數(shù)形結(jié)合我們很容易得出拋物線平移的實(shí)質(zhì)就是點(diǎn)的移動(dòng)，所以我們可以取特殊點(diǎn)（比如拋物線的頂點(diǎn)）移動(dòng)，得出拋物線平移的規(guī)律是：左加右減，上加下減（左右移動(dòng)是指解析式中x加或減，上下移動(dòng)是指?jìng)€(gè)式子加減），從而得出答案為y=3（x-3）+5。

例6：（2010年攀枝花市）如圖7，等腰Rt△ABC位于第一象限，AB=AC=2，點(diǎn)A在直線y=x上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，邊AB、AC分別平行于x軸、y軸。若雙曲線y=與△ABC有交點(diǎn)，則k的取值范圍為（ ）

A.1

分析：先根據(jù)題意求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)AB=AC=2，邊AB、AC分別平行于x軸、y軸求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及BC中點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算雙曲線y=（k不等于0）分別經(jīng)過(guò)A點(diǎn)和BC中點(diǎn)時(shí)K的取值，最終確定答案選C。

上述例題充分說(shuō)明在初中數(shù)學(xué)解題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅容易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的推理與計(jì)算，用簡(jiǎn)單直觀的圖形代替冗長(zhǎng)的代數(shù)推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。教師通過(guò)在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的方法，可以開(kāi)拓學(xué)生的思維，把抽象問(wèn)題直觀化，對(duì)學(xué)生提高學(xué)習(xí)興趣大有幫助，并且也有助于學(xué)生進(jìn)入高中階段的學(xué)習(xí)。本文所舉例題將數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來(lái)，突出了數(shù)形結(jié)合思想的妙用。

【參考文獻(xiàn)】

[1]諸建剛.靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想化解疑難問(wèn)題[J].初中生世界，2013（5-6）

[2]成曉明.例談解二元一次方程組中的數(shù)學(xué)思想方法[J].初中生世界，2013（5-6）

[3]張軍.一元一次方程中的數(shù)學(xué)思想方法[J].初中生世界，2012（11-12）

（作者單位：江蘇省啟東市繼述中學(xué)）