著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。”這句話直觀、形象、生動(dòng)地指明了數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中蘊(yùn)藏的無(wú)窮價(jià)值。所謂“數(shù)形結(jié)合思想”，是指通過(guò)數(shù)（數(shù)、數(shù)量關(guān)系式、運(yùn)算式等）與形（幾何圖形等）之間的相互轉(zhuǎn)化、相互利用來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種思想方法。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。由于這一思想方法具備了“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)和“形”的直觀這兩大特點(diǎn)，因此在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中發(fā)揮了至關(guān)重要的作用。教學(xué)實(shí)踐表明，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題簡(jiǎn)單化、零散問(wèn)題結(jié)構(gòu)化，從而有助于發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想有哪些運(yùn)用呢？

一、見(jiàn)數(shù)思形，化繁為簡(jiǎn)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)有一些復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題。這時(shí)，如果能夠借助圖形，巧妙地將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形問(wèn)題，那么就能促使學(xué)生的思維再上新臺(tái)階，從而充分體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的好處。

例如，在教學(xué)《解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化》一課時(shí)，教師出示了這樣一道題：+++=？讓學(xué)生嘗試練習(xí)。絕大多數(shù)學(xué)生采用通分的方法，把這些分?jǐn)?shù)化成分母是16的分?jǐn)?shù)，極個(gè)別學(xué)生采用把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的方法。教師繼續(xù)提問(wèn)：還有其他的方法嗎？沒(méi)有學(xué)生舉手。這時(shí)，教師出示一個(gè)正方形，指出把這個(gè)正方形的面積看做“1”，那么這道算式在圖中該怎么表示呢？學(xué)生邊說(shuō)邊在圖中表示出相應(yīng)的部分，如下圖。

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通過(guò)觀察圖形，學(xué)生很容易明白：陰影部分的和，正好等于一個(gè)正方形減去空白部分所得的差。也就是+++=1-=。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察算式的特點(diǎn)。接著，教師讓學(xué)生觀察簡(jiǎn)便運(yùn)算的過(guò)程，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：用1減去最后一個(gè)分?jǐn)?shù)就行了。最后，學(xué)生總結(jié)出計(jì)算這類算式的規(guī)律：分子是1，后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是前一個(gè)分?jǐn)?shù)的兩倍，求這樣一組分?jǐn)?shù)的和，只要用1減去最后一個(gè)分?jǐn)?shù)。以上案例中，教師先放手讓學(xué)生嘗試練習(xí)，學(xué)生雖然計(jì)算出結(jié)果，但計(jì)算過(guò)程比較繁瑣，容易出錯(cuò)。這時(shí)，教師將“數(shù)”（枯燥的算式）巧妙地轉(zhuǎn)化為“形”（規(guī)則的圖形），學(xué)生很容易就想出了更簡(jiǎn)便的解題方法。今后，再遇到類似的算式，如計(jì)算+++++=？，學(xué)生就能很快想到這個(gè)圖形。

二、見(jiàn)形想數(shù)，發(fā)展數(shù)感

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)之一。借助數(shù)形結(jié)合是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的有效途徑，它能有效溝通“數(shù)與代數(shù)”與“空間與圖形”兩大領(lǐng)域之間的聯(lián)系。

例如，在教學(xué)《億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》一課時(shí)，一位教師借助線段圖來(lái)幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)量的多少。整個(gè)環(huán)節(jié)分為三步：第一步，出示甲城市大約有30萬(wàn)人這一條件，請(qǐng)學(xué)生在黑板上畫(huà)一條線段。第二步，教師在黑板上畫(huà)出另一條線段，指出：這條線段代表乙城市的人口，要比甲城市多得多。你能猜測(cè)乙城市大約有多少萬(wàn)人嗎？說(shuō)說(shuō)理由。學(xué)生根據(jù)兩條線段之間的相對(duì)長(zhǎng)短關(guān)系，估計(jì)出乙城市的人口大約是100萬(wàn)。第三步，教師告訴學(xué)生，丙城市大約有48萬(wàn)人，這時(shí)該怎樣用線段圖來(lái)表示呢？有的說(shuō)，比表示甲城市的線段長(zhǎng)一些；有的說(shuō)，比表示乙城市的一半少一點(diǎn)。最后，教師讓學(xué)生在作業(yè)本上畫(huà)出了這個(gè)圖。案例中教師借助線段圖，幫助學(xué)生建立了數(shù)量之間的大小關(guān)系。由表示甲城市的線段長(zhǎng)度，來(lái)推出乙城市的線段長(zhǎng)度表示的數(shù)量。然后，讓學(xué)生畫(huà)出表示丙城市人口的線段。這樣的處理，培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力和估算能力，較好地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感。

[48萬(wàn)][？萬(wàn)][30萬(wàn)][甲城市][乙城市][丙城市]

三、數(shù)形結(jié)合，奠定基礎(chǔ)

函數(shù)屬于初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，雖然小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒(méi)有涉及，但卻大量滲透了“函數(shù)”思想。在教學(xué)中，教師要有意識(shí)地挖掘教材中滲透“函數(shù)”思想的素材，使學(xué)生初步感知函數(shù)與圖像之間的關(guān)系。

例如，二年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)用第幾排第幾個(gè)來(lái)確定一個(gè)點(diǎn)的位置，到了五年級(jí)，學(xué)習(xí)用數(shù)對(duì)這種更為簡(jiǎn)潔的方法來(lái)確定一個(gè)點(diǎn)的位置。這時(shí)，教師就可以將“座位”平面圖轉(zhuǎn)化為形象的“直角坐標(biāo)系”，從而將“數(shù)對(duì)”與平面上的“點(diǎn)”之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生初步體會(huì)到“數(shù)”與“形”之間的有效結(jié)合。六年級(jí)學(xué)習(xí)“正、反比例關(guān)系”時(shí)，基于對(duì)直角坐標(biāo)系的初步認(rèn)識(shí)，就可以把相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)量在直角坐標(biāo)系中“表示”出來(lái)。學(xué)生在描點(diǎn)連線的過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)：表示正比例關(guān)系的式子，畫(huà)在坐標(biāo)系中是一條直線；表示反比例關(guān)系的式子，畫(huà)在坐標(biāo)系中是一條曲線。這樣，學(xué)生就能體會(huì)到圖形與函數(shù)之間的緊密聯(lián)系。以上案例中，教師借助坐標(biāo)系這個(gè)抽象的“形”，幫助學(xué)生深入理解平面上“數(shù)”代表的具體位置。這樣的處理，使學(xué)生對(duì)坐標(biāo)系有了更為直觀、深刻的認(rèn)識(shí)，從而為學(xué)生初中時(shí)學(xué)習(xí)函數(shù)做了良好的知識(shí)儲(chǔ)備。

總之，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中無(wú)時(shí)不在、無(wú)處不在。作為數(shù)學(xué)教師，我們要充分利用數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生在形象思維和抽象思維之間搭建腳手架，這樣才有利于發(fā)展學(xué)生的思維。</