學生建構(gòu)平行與相交的概念遠不像當初他們辨別長方體、正方體、圓柱體那樣來得順利，這是因為學生的周邊生活中充斥著“體”，幫助他們積累了大量的“體驗性經(jīng)驗”。而對于“兩條永不相交的直線”，他們既無法通過現(xiàn)象來觀察、驗證，又缺少外顯操作活動來感知、參與的“實踐性經(jīng)驗”，無疑給學生建立概念帶來了不小的困難。

關(guān)注概念教學中的關(guān)鍵要素，就是觸摸學生建構(gòu)概念時認知深處最為柔軟的地帶。那么《平行與相交》的教學中，哪些才是學生不易理解或是容易混淆的關(guān)鍵要素呢？

關(guān)鍵要素一：沒有交點就不是相交，畫得不一樣長就不平行

下圖中兩條直線的位置關(guān)系如何？對相當多的學生而言都存在嚴重挑戰(zhàn)。

[圖1][圖2]

辨清圖1中兩條直線為什么是相交的？圖2中兩條直線為什么是平行的？對學生的認知而言，兩者的障礙是相同的，都是由視覺經(jīng)驗與認知經(jīng)驗的沖突所引起的。明明沒有碰到的兩條線，為什么說是相交的呢？這是圖1帶給學生的困惑。如果兩條直線相互平行，在學生的想象中應(yīng)該是對等的，“模樣兒”要長得一樣才對。圖2在視覺上恰恰超出了學生的固有認知經(jīng)驗。解決這一問題的常見方法，不外乎兩種：孔子的“啟發(fā)式”和蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”。以圖1為例，“啟發(fā)式”通常會這樣處理：

師：圖1中的兩條直線相交嗎？

生：不相交，因為兩條直線隔開了。

師：請注意黑板上畫的是兩條直線，而直線有什么特點呢？

生：直線可以無限延長。

師：我們現(xiàn)在就把這兩條直線都延長（演示），看，相交了么？

生：相交了。

師：現(xiàn)在告訴我，這兩條直線怎樣？

生：相交。

圖2如何讓學生理解兩條直線是平行的呢？“產(chǎn)婆術(shù)”的教學法會這樣處理：

師：圖2中的兩條直線平行嗎？

生：不平行，因為一條線長，而另一條線短短的。

師：如果要把它們變成平行線，有什么辦法嗎？

生：可以把這條短的線畫長些（操作演示）。

師：現(xiàn)在看上去一樣長了，它還是原來的那條線么？

生：是的。

師：那還可以繼續(xù)延長么？

生：可以（操作演示）。

師：現(xiàn)在看上去反而比另一條直線長了，它們還平行么？

生：（笑了）不延長這條直線，它們也是平行的。

從學生認知圖式的形成來看，“啟發(fā)式”采用的是“同化”的方式，讓學生將新經(jīng)驗“同化到一個適當?shù)男睦硪庀蛑小?，成為他們認知結(jié)構(gòu)的一部分；“產(chǎn)婆術(shù)”采用的則是“順應(yīng)”的方式，當學生的既有認知圖式無法同化新經(jīng)驗時，教學則促進學生主動修改原有的圖式，以符合新環(huán)境的要求。“順應(yīng)”對學生學習的積極意義在于，個體的心理狀態(tài)會因為失衡而產(chǎn)生一種內(nèi)驅(qū)力，促使個體進行調(diào)整，而在適應(yīng)環(huán)境時心理上連續(xù)地交替出現(xiàn)平衡與失衡的狀態(tài)，可以擴大、提升學習者的圖式結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵要素二：畫平行線就是“合、靠、移、畫”

畫平行線，既是發(fā)展學生動作技能的需要，亦是深化學生對平行線概念認知的過程。但平行線的畫法對學生而言比較難以掌握，其原因有二：一是學生在這之前“數(shù)學地畫圖”只是局限于線段、射線和直線，尚沒有形成基本的畫圖技能；二是教材中只提供了“怎么畫”，卻沒有說明“為什么這么畫”（事實上，由于教材將“垂直”的概念安排在“平行”之后，故而也無法說明），老師大都也無法澄清，只好別出心裁地總結(jié)出所謂畫平行線的“四字要訣”：合（三角尺與已知直線重合）、靠（用直尺靠上三角尺一邊）、移（移動三角尺）、畫（沿三角尺的邊畫出平行線）。這種不帶“心智活動”參與的手工作業(yè)，從本質(zhì)上看算不上是數(shù)學活動。盡管畫的是數(shù)學圖形，但這與“照葫蘆畫瓢”并無實質(zhì)上的區(qū)別?？梢赃@樣推測，學生一旦忘了這所謂的“四字要訣”，就再也不會畫平行線了。

其實，畫平行線說起來更是木匠的拿手活兒，他們用一塊直角板，沿木板的一邊上下移動，可以作出很多組平行線。道理很簡單，他們利用的是“垂直于同一直線的兩條直線互相平行”這一原理。教學中如果不是將“垂直”作為先行概念，我們就得另辟蹊徑。

請看下面的教學片段：

師：如果要我們自己來畫一組平行線，你覺得難在哪兒？

生：容易畫斜了，只要手一抖，線就不直了。

生：容易畫偏了，兩條線間的距離就會不一樣長了。

師：是啊，要解決這些問題，我們能想到什么好辦法嗎？

生：我們可以借助作業(yè)本上的格子來畫。

生：可以利用直尺的兩條邊來畫。

生：書本的這兩條邊也是平行的，我們可以靠著邊來畫。

師：對，這些都是借助不動的兩條邊來畫平行線的。

生：我還可以用三角板來畫。

師：請到前面來，把你的畫法介紹給大家。

生（演示）：像這樣，只要把三角板上下移動，就能畫出平行線了。

師：對于她的方法，你們?nèi)绾卧u價？

生：我覺得雖然她移動時很小心，但還是容易畫偏了。

生：這只是看起來好像平行，但不能保證。

生：我有辦法（學生走到講臺前），只要在三角尺的旁邊加一個直尺固定住，這樣移動就不會歪了。

師：為什么呢？

生：因為這樣就把三角尺固定住了，移動時，兩條線之間的距離就不再一會兒大一會兒小了。

師：直尺可以換成三角尺嗎？或者換成其他物體嗎？

生：換什么都行，只要物體的邊是直的就可以。

師：大家同意這樣的看法嗎？讓我們都用這種方法來嘗試畫一組平行線吧。

……

這樣處理，“平行”概念的核心要素被凸顯出來了。所謂的“合、靠、移、畫”其實只是凸顯核心要素的輔助措施，確?！皟蓷l直線間的距離處處相等”才是問題的關(guān)鍵。教學只有擺正了因果關(guān)系，畫平行線才可能內(nèi)化成為學生“知性的技能”。

關(guān)鍵要素三：如刺在喉的“同一平面內(nèi)”

學生原本并不會想到平行線會在“不同的平面內(nèi)”，這也是由他們的經(jīng)驗所決定的。只有到了高中開始學習立體幾何，或許才會意識到這一問題。小學階段在平行線的定義中加上“在同一平面內(nèi)”，看起來多少有點兒畫蛇添足的味道，實在是苦于完整表達概念的需要。這給原本不是問題的教學帶來了“問題”。

若是直接提問：“你們對‘在同一平面內(nèi)’是怎么理解的？”我們多半不能得到滿意的答案。如何引導才會達到理想的教學效果呢？筆者聽課中歸納出的有效方法大致有以下幾種：

就地取材：引導學生看看教室頂面與墻相交的一條直線，再看看地面與墻相交的一條直線，它們既不相交也不平行，因為它們不在同一平面內(nèi)。

觀察圖片：下圖中的兩座立交橋相交嗎？平行嗎？

自制教具：較為典型的兩種教具一個是長方體，一個是“魔方”。無論是長方體框架模型還是長方體實物，都能讓學生清楚地看出異面上的兩條直線是不平行的。

動態(tài)模型似乎更為形象，教者借助“魔方”的特性，先在同一個面上畫上兩條直線，然后旋轉(zhuǎn)“魔方”，兩條直線自然就不在同一平面了。

這樣的安排帶了些許神秘色彩，吻合了學生的認知特點，在滿足學生的好奇心的同時，也達到預(yù)期的教學效果。

上面對“平行與相交”教學中關(guān)鍵事件的掃描，都是基于對現(xiàn)行教材中教學內(nèi)容及呈現(xiàn)方式的分析。我國的教材，都先安排教學“平行與相交”，接著教學“垂直”（滬教版教材除外）。這樣安排的優(yōu)點是，先確定好一個平面上的兩條直線的位置關(guān)系，再討論相交中的特殊情況——垂直，由一般到特殊，從編排體系上看似乎更規(guī)整一些。但是，這也給教學帶來了困難。正如前文所分析的：第一，永不相交是一個無限量，并且不可驗證，超越了學生的生活經(jīng)驗。第二，介紹平行線的畫法時，只能介紹怎么畫，而無法講清楚為什么這么畫。事實上，教材所介紹的用三角板靠著直尺平移的方法，就是利用了“兩條直線同時垂直于一條直線”的原理。利用直尺的兩邊畫平行線和利用田字格上的線畫平行線，實質(zhì)上利用了“平行線之間的距離處處相等”這一性質(zhì)，直線間的距離顯然還是以“垂直”為前提的。這樣一分析，似乎應(yīng)該先教學“垂直”更為合理。張奠宙院士曾對國外的小學數(shù)學教材中關(guān)于平行線的處理方式進行過研究，發(fā)現(xiàn)德國、日本、俄羅斯等國的教材，都采用了較為趨同的辦法，就是先讓學生認識“垂直”，然后再學習“平行”，這樣就用“垂直于同一條直線的兩條直線是平行的”來定義平行線。用垂直定義平行，優(yōu)點顯而易見。但會不會有新的問題產(chǎn)生，如學生對同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系容易受到先行概念“垂直”的干擾？還有，用定理的表述方式來定義平行，雖然邏輯性較強，是否會給低年級的學生帶來理解上的困難？如此等等，尚有待作出更為深入的研究。</