師：小球能滾動出我們熟悉的圖形，猜一猜哪個小球行的路程長一些？（課件演示小球滾動成正方形和正六邊形，如圖1）

[邊長8厘米][邊長4厘米][圖1 圖2]

生：正方形里小球行的路程長一些。

師：你是怎么猜的？

生：因為正方形的周長是32厘米，正六邊形的周長是24厘米，正方形的周長長些。

師：小球行的路程分別是這兩個圖形的（生：周長）。一算周長就知道了。

師：小球繼續(xù)滾動（課件演示小球滾動成圓，如圖2），這次小球行的路程是圓的（生：周長）。（揭示課題：圓的周長）

師：誰來指一指這個圓的周長？（生指周長）

師：圍成圓的這條曲線的長就是圓的周長。有辦法知道這圓的周長嗎？同桌商量商量。

生1：用膠帶紙貼在圓的周圍，然后再量出膠帶有多長，膠帶的長度就是圓的周長。

生2：用一根鐵絲彎成和這個圓一樣大的圓，然后把鐵絲拉直，再量出鐵絲有多長。

評析：這一環(huán)節(jié)通過猜哪個小球行的路程長一些的游戲，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。這里讓學(xué)生計算正方形和正六邊形的周長后再進行猜測，是一種有依據(jù)的猜測。這樣做不僅復(fù)習(xí)了舊知，又為后面溝通這三個圖形之間的聯(lián)系和猜測圓的周長和直徑的關(guān)系作好了鋪墊。另外，這一環(huán)節(jié)將“周長”這一抽象的概念，通過小球滾動形象地展現(xiàn)出來，使學(xué)生印象深刻。

師：你們的方法都是先把圓的周長這條曲線，化曲為直后再測量出圓的周長。還有其他方法嗎？

生：（一個學(xué)生激動地站起來）我知道，量圓的直徑，用圓的直徑乘以3.14就是圓的周長。

師：你是怎么知道的？

生：看書。

師：你真會學(xué)習(xí)，預(yù)習(xí)是很好的習(xí)慣。那你知道為什么這么做嗎？（生搖頭）咱們一起來研究，好嗎？

生：（齊）好。

師：看圖（如圖3），正方形的周長與它的什么有關(guān)？

[邊長8厘米][邊長4厘米][圖3]

生：正方形的周長與它的邊長有關(guān)，正方形的周長等于邊長乘4。

師：也就是正方形的周長是邊長的4倍。正六邊形呢？

生：正六邊形的周長是邊長的6倍。

師：那圓的周長與圓的什么有關(guān)呢？

生1：跟圓的大小有關(guān)，大圓周長長，小圓周長短。

生2：跟圓的直徑或者半徑有關(guān)，因為圓的大小是由半徑或者直徑?jīng)Q定的。

師：（課件出示大小不同的兩個圓，并畫出圓的一條直徑）是的，直徑長的圓，半徑也長些，圓也大些，周長也長一些。

師：（課件演示周長和直徑分別閃動）猜一猜圓的周長可能是直徑的幾倍？

生1：2倍。

生2：2倍多。

生3：4倍。

生4：3倍。

評析：由正方形和正六邊形的周長與它們邊長的倍數(shù)關(guān)系，過渡到猜測“圓的周長與圓的什么有關(guān)”“圓的周長可能是直徑的幾倍”，順利實現(xiàn)知識遷移。這里猜測圓的周長是直徑的幾倍，只是一種憑著直覺進行的猜測，缺少有力的依據(jù)支撐，但猜測并沒有結(jié)束。

師：（課件演示如圖4）車輪滾動一周的長度是圓的周長嗎？

<＼＼Yyyy＼資料1 （D）＼小教＼小教2013＼教學(xué)版2013-1＼B1-1.tif>

圖4

生：是。

師：再猜一猜這個圓的周長可能是直徑的幾倍？

生：我可以這樣來猜，（走上講臺用膠帶量了直徑的長度，又在線段上量了三次）我覺得周長應(yīng)該是直徑的三倍多一點。

評析：這里猜測圓的周長是直徑的幾倍，已經(jīng)有了直觀的依據(jù)，學(xué)生可以動手測量，直接猜測出來，但猜測并沒有就此結(jié)束。

師：真聰明，會想辦法。會不會出現(xiàn)剛才同學(xué)們說的2倍或者4倍的情況呢？我們可以借助學(xué)過的圖形來推測。

師：（課件出示正方形并演示圖5）我們以正方形的邊長為直徑畫出一個圓，比較圓的周長與正方形的周長，你發(fā)現(xiàn)圓的周長一定小于直徑的幾倍？

圖5

生：圓的周長小于直徑的4倍。

師：你是怎么猜的？

生：因為正方形周長是邊長的4倍，而圓的周長比正方形的周長短，直徑等于正方形的邊長，所以我推測圓的周長小于直徑的4倍。

師：圓的周長一定小于直徑的4倍，到底小到什么程度呢？我們再請出正六邊形。（課件演示轉(zhuǎn)動正六邊形的兩條邊到中間，如圖6）這條線段長幾厘米？我們再以這條線段為直徑畫一個圓，比較圓的周長與正六邊形的周長，你發(fā)現(xiàn)圓的周長一定大于直徑的幾倍呢？

[4厘米][4厘米][4厘米][8厘米][4厘米][8厘米]

圖6

生：正六邊形的周長是24厘米，是圓直徑的3倍，而圓的周長大于正六邊形的周長，所以圓的周長大于直徑的3倍。

生：我發(fā)現(xiàn)圓的周長在直徑的3倍和4倍之間。

師：你們也發(fā)現(xiàn)了嗎？（課件演示三圖重疊，如圖7）這樣我們就更能看出圓的周長在直徑的3倍到4倍之間了。

[4厘米][8厘米]

圖7

評析：這里的猜測不只是單純的直觀猜測，更需要學(xué)生進行深入思考、合情推理。通過將圓的周長與正方形和正六邊形進行比較，讓學(xué)生有依據(jù)地去猜測。通過多媒體動態(tài)演示三圖合一的過程，將學(xué)生的思維引向?qū)⑷龍D聯(lián)系起來進行推理，從而合理估計出圓的周長與直徑的倍數(shù)范圍。這是更高層次的猜測。

師：是不是所有圓的周長都在直徑的3倍到4倍之間呢？（課件演示三圖同時放大或縮小，如圖8）這個倍數(shù)會變化嗎？

圖8

生：這個倍數(shù)不會變化。因為放大或縮小以后，圓還是在正方形和正六邊形之間，正方形的邊長還等于圓的直徑，正六邊形兩條邊長的和等于圓的直徑。所以，所有圓的周長應(yīng)該都在它直徑的3倍到4倍之間。

師：看來所有圓的周長都應(yīng)該在它直徑的3倍到4倍之間，而且這個倍數(shù)也是不變的。這只是我們的猜想和推測，還需要進行驗證。

評析：這里將三圖同時放大或縮小，引導(dǎo)學(xué)生分析放大或縮小后的圖形的周長與圓直徑的關(guān)系，從而將這一研究發(fā)現(xiàn)推廣到所有的圓，使學(xué)生的推理能力得到進一步提升。

反思：

猜測和估計都是依據(jù)已有經(jīng)驗和事實而進行的一種推理，是一種有根有據(jù)的合情推理。大數(shù)學(xué)家高斯也認為，在某些情況下，教猜想比教證明更為重要?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理、清晰地闡述自己的觀點?！毙W(xué)生的猜測和估計往往受制于已有經(jīng)驗和知識水平，因而隨意性較大。如果不加引導(dǎo)，容易造成學(xué)生毫無根據(jù)地“亂猜”“瞎估”，養(yǎng)成“信口開河”的壞習(xí)慣，從而失去猜測和估計的意義。

通常，《圓的周長》的教學(xué)首先是認識圓的周長，然后通過測量圓的周長和直徑并計算周長除以直徑的商，再推導(dǎo)出圓的周長計算公式，缺少了猜測和估計的過程。本節(jié)課在這方面有所加強，注重培養(yǎng)學(xué)生有根據(jù)地去進行猜測，有范圍地去進行估計。通過四個層次的猜測，培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力。第一個層次，憑著直覺，缺少有力依據(jù)支撐的猜測；第二個層次，有直觀的依據(jù)，學(xué)生可以通過測量，直接猜測出結(jié)果；第三個層次，以直觀圖為依據(jù)，需要學(xué)生進行深入思考，合情推理，估計出范圍；第四個層次，仍然以直觀圖為依據(jù)，進一步拓展思維，由個別推廣到一般。這四個層次層層遞進，把學(xué)生的思維逐步引向深入，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的合情推理能力和演繹推理能力。</