王坤

【摘 要】本文利用微分中值定理，對文[1]的一道不等式證明題給出了另外一種證明方法。

【關(guān)鍵詞】不等式；拉格朗日中值定理；柯西中值定理

0.引言

在高等數(shù)學(xué)里，我們可以構(gòu)造輔助一個函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可證明一些不等式.此外，微分中值定理是高等數(shù)學(xué)里的一個重點和難點，對它有很多應(yīng)用，其中的一個重要的應(yīng)用就是可以用它來證明很多不等式.本文利用微分中值定理，對文[1]的P.183總習(xí)題三第11題里的兩個不等式證明題，給出了另外一種證明方法。

1.題目及其常見證明方法

這里的題目是要求證明下面兩個不等式：

（1）當(dāng)0；

（2）當(dāng)x>0時，ln（1+x）>；

許多習(xí)題解答參考書對上述不等式證明題，都給出了幾乎一致的證法：構(gòu)造輔助函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)在幾何方面的應(yīng)用，判斷函數(shù)的單調(diào)性即得.例如文[2]的解答如下：

證

（1）設(shè)f（x）=，x∈（0，），則f'（x）==.

令g（x）=x-sin2x，g'（x）=1-cos2x>0，x∈（0，），所以g（x）在[0，]上單調(diào)增加，則當(dāng)x>0時，g（x）>g（0）=0，從而f'（x）>0，得f（x）在（0，）上單調(diào)上升，當(dāng)0f（x1），即>，也即>.

（2）設(shè)f（x）=（1+x）ln（1+x）-arctanx，f'（x）=ln（1+x）+1-=ln（1+x）+>0（x>0），所以f（x）在[0，+∞]上單調(diào)增加，當(dāng)x>0時，f（x）>f（0）=0，所以

（1+x）ln（1+x）-arctanx>0，即ln（1+x）>.

2.新證明方法

下面利用微分中值定理來證明上述題目.

證（1）令f（x）=tanx，則f（x）在[0，x1]?[0，x2]上滿足拉格朗日中值定理條件，于是?ξ1∈（0，x1），S.T.

0

成立；

同理，?ξ2∈（0，x2），S.T.

0

成立.

②÷①，即得：

當(dāng)0.

（2）設(shè)f（t）=ln（1+t），g（t）=arctant，則f（t），g（t）俱在[0，x]上連續(xù)，在 （0，x）上可導(dǎo)，由柯西中值定理，得：?ξ∈（0，x），S.T.

0

0

④÷③，得：

=<1+x，由于ln（1+x）、1+x均大于零，故對上式變形，即得：

當(dāng)x>0時，ln（1+x）>.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007：183.

[2]彭輝，葉宏，張煥玲.高等數(shù)學(xué)習(xí)題詳解[M].天津：天津人民出版社，2008：137.