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        一個(gè)概率問(wèn)題的分析及模擬

        2013-10-23 12:37:58易校尉
        關(guān)鍵詞:數(shù)集一球拋球

        易校尉,涂 平,陳 欣

        (武漢工業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,湖北武漢 430048)

        1 問(wèn)題介紹

        目前算法分析領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)是利用隨機(jī)化的方法求解一些特殊NP問(wèn)題的近似解,這些隨機(jī)算法的時(shí)間復(fù)雜度分析往往是比較困難的問(wèn)題,一般著眼于計(jì)算或者是估計(jì)所給算法所需時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。作者在一個(gè)問(wèn)題的隨機(jī)算法實(shí)踐中曾遇到這樣一個(gè)問(wèn)題(類似的問(wèn)題在遺傳算法等隨機(jī)搜索算法中經(jīng)常出現(xiàn)):有四個(gè)數(shù)集:A、B、C、D,每次隨機(jī)地從這四個(gè)數(shù)集的兩個(gè)數(shù)集中選取兩個(gè)數(shù),如此重復(fù)多次,直至每個(gè)數(shù)集都至少有兩個(gè)數(shù)被選取,求試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

        為方便說(shuō)明,可以把上面介紹的問(wèn)題簡(jiǎn)化為:桌上有四個(gè)洞,每次拋兩個(gè)球,這兩個(gè)球隨機(jī)地等可能地進(jìn)入其中的兩個(gè)洞(這兩個(gè)球不能進(jìn)同一個(gè)洞),一旦發(fā)現(xiàn)每個(gè)洞內(nèi)至少有兩個(gè)球就不再拋球。問(wèn):平均要拋多少次球?

        2 拋球次數(shù)的分布律

        2.1 問(wèn)題的初步分析及符號(hào)說(shuō)明

        設(shè)An表示事件:“前n-1次拋球后至少有一個(gè)洞內(nèi)少于兩個(gè)球,而第n次拋球后每個(gè)洞內(nèi)至少有兩個(gè)球”;Bn-1表示事件:“前 n-1次拋球后,有兩個(gè)洞內(nèi)各有一球,而其余兩個(gè)洞內(nèi)各至少有兩個(gè)球”;Cn-1表示事件:“前 n-1次拋球后,有一個(gè)洞內(nèi)有一球,而其余三個(gè)洞內(nèi)各至少有兩個(gè)球”

        X為一隨機(jī)變量,表示停止拋球后的拋球次數(shù),所求的問(wèn)題即為求EX。此外,注意到P{X=n}=P(An),其中n>3。由全概率公式,有

        2.2 第一種情形的概率

        考慮到1號(hào)洞和2號(hào)洞的兩個(gè)球有可能是同一次拋球入洞,也可能是在兩次不同的拋球中入洞,由全概率公式有:

        2.3 第二種情形的概率

        首先注意,當(dāng)n<5時(shí)

        設(shè)En-1表示事件“前n-1次拋球后,1號(hào)洞內(nèi)恰有一球”。

        由全概率公式,有

        故由(8)及(12)有:當(dāng)n>4時(shí),

        2.4 X 的分布律

        由(1)、(5)及(7)有:

        當(dāng) n>4時(shí),由(1)、(6)及(13)有:

        即:當(dāng)n>4時(shí),

        3 拋球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望

        3.1 要用到的幾個(gè)級(jí)數(shù)

        3.2 拋球次數(shù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算

        由離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式及(16)、(17)可知:拋球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

        4 計(jì)算機(jī)模擬算法及結(jié)果分析

        上面的數(shù)學(xué)分析部分比較復(fù)雜,下面給出了多次重復(fù)試驗(yàn)所獲得的拋球次數(shù)的平均值,由大數(shù)定理可知,當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),其平均值應(yīng)十分接近所求得的數(shù)學(xué)期望。

        模擬程序分以下幾個(gè)模塊。

        模塊一:tryt(int a[])隨機(jī)地拋兩個(gè)球(兩個(gè)進(jìn)入不同的洞中)。

        模塊二:isok(int a[])用于判斷是否每個(gè)洞中至少有兩個(gè)球。

        模塊三:countOfOkTry(int a[])返回單次試驗(yàn)成功的拋球次數(shù)。

        編制程序?qū)⒃撛囼?yàn)重復(fù)十萬(wàn)次,計(jì)算拋球次數(shù)的平均值為6.573780,與理論值6.5738十分接近。說(shuō)明上面的數(shù)學(xué)分析部分是準(zhǔn)確無(wú)誤的。

        5 問(wèn)題的推廣

        利用所獲得的拋球次數(shù)的分布律(14)、(15)式可以算得拋球次數(shù)的方差,該方差的計(jì)算并無(wú)本質(zhì)困難,只是相對(duì)于數(shù)學(xué)期望的計(jì)算略為復(fù)雜而已,而且可以用計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行模擬以驗(yàn)證其正確性。

        本文只討論了4個(gè)洞,每次拋2個(gè)球的情形,可以進(jìn)一步討論m個(gè)洞,每次拋n個(gè)球的情形(其中n<m)。這個(gè)一般問(wèn)題到目前為止尚無(wú)一般結(jié)論,只能就特殊情形進(jìn)行個(gè)別討論。

        [1]羅斯.應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程——概率模型導(dǎo)論[M].龔光魯,譯.北京:人民郵電出版社,2011.

        [2]科曼.算法導(dǎo)論[M].潘金貴,譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社.2006.

        [3]丁建立.遺傳算法與螞蟻算法的融合[J].計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展,2003(9).

        [4]克努特.計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)藝術(shù)(第2卷)半數(shù)值算法[M].蘇運(yùn)霖,譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2008.

        [5]格雷厄姆.具體數(shù)學(xué)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2007.

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