☉浙江省寧波東海實驗學(xué)校 陳明儒

一、教學(xué)背景

2012年11月筆者受邀在寧波市課改成果展示活動中上課，在選定課題前，就一直在思考上什么內(nèi)容，怎么上才能讓課堂精彩而有效，讓學(xué)生受益，讓聽課老師感覺既耳目一新又受益匪淺．這堂課必須體現(xiàn)新理念、新課程、新課堂的活動主題，又要體現(xiàn)數(shù)學(xué)課的特點．最后經(jīng)過思量，決定上浙教版九年級下冊第一章《解直角三角形》的起始課《銳角三角函數(shù)（1）》．

二、教材分析

《銳角三角函數(shù)（1）》是學(xué)生掌握直角三角形相關(guān)性質(zhì)及函數(shù)知識后，對直角三角形邊角關(guān)系的進(jìn)一步研究．通過這節(jié)課，一方面可以使學(xué)生在義務(wù)教育階段對直角三角形的邊角關(guān)系有個完美的知識建構(gòu)，另外學(xué)生可以運用函數(shù)知識，使通過數(shù)形結(jié)合的方法去研究角與邊的關(guān)系成為可能，并且為他們在高中的三角函數(shù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)．通過解直角三角形的學(xué)習(xí)，學(xué)生在知識上可以承上啟下，學(xué)習(xí)技能上可以使數(shù)與代數(shù)、空間與幾何重要的性質(zhì)在本章進(jìn)行綜合運用，從中滲透數(shù)形結(jié)合、類比、轉(zhuǎn)化及數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗．

三、教學(xué)過程實錄

1．創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

問題：秋高氣爽，登高望遠(yuǎn)．一天小明和小亮相約去爬山，他們在山腳下，分別從東西兩側(cè)在傾斜角為30°和40°的斜坡上步行了150米（如圖1）．請問誰登的高？

圖1

生1：小亮登的高.因為他登的坡陡.

師：是的，從圖中可以直接看出.其實，要比較兩人誰登的高，只需比較兩條垂線段BC和EF的長度（課件動態(tài)演示兩條線段的疊合過程），發(fā)現(xiàn)EF確實比BC長.

師（追問）：那小亮比小明登的高多少米？

（學(xué)生陷入沉思）

師：BC的長是多少？

生（齊答）：75米.

師：為什么？

生（眾）：30°所對的直角邊是斜邊的一半.

師：嗯.EF呢？

（學(xué)生沉默）

師：在△DEF中，已知DE及∠D，能求EF就好了.即：在直角三角形中，已知一邊及一銳角，可以求其余兩邊（課件出示）.顯然，這個知識大家還沒學(xué)過，那咱們退一步，觀測△ABC，當(dāng)BA變化時，兩條直角邊也變化，但BC與AB的比值始終是多少？

師：那大家是否可以大膽猜測：

在直角三角形中，當(dāng)銳角的度數(shù)確定時，它的對邊與斜邊的比值也確定（課件出示）？

生2：不相等.因為BC＜EF，AB=DE.

師：很好.那可以進(jìn)一步猜測：在直角三角形中，若銳角的度數(shù)不同，則銳角所對的直角邊與斜邊的比值也不同（課件出示）.要解決這些問題，就要學(xué)習(xí)一種新的知識：銳角三角函數(shù)（板書）.什么是銳角三角函數(shù)呢？帶著這些問題，我們一起進(jìn)入下面的探究環(huán)節(jié).

設(shè)計意圖：教師創(chuàng)設(shè)了一個“登山坡”的情境，把銳角移植到直角三角形中.通過變化中變量和不變量的尋找，發(fā)現(xiàn)比值隨角度變化而變化，是有關(guān)角度的函數(shù)，從而很自然地引出三角函數(shù)的課題.

2.問題探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：通過計算，你發(fā)現(xiàn)了什么？

師：也就是說：角度不變，…….

生（眾）：比值不變.

師：很好.

圖2

圖3

師：為什么？

生（齊答）：有.角度不變，比值不變.

圖4

圖5

（3）如圖4，∠A=60°，請完成類似的命題.

師：說說你的計算過程.

師：真好，通過以上三個特殊問題的驗證，“角度不變，比值不變”這個猜想是正確的.但驗證不能代替說理，大家能否證明呢？

師：答的太好了，通過以上經(jīng)歷，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生（眾）：角度不變，比值不變.

師：你歸納得不錯，那你會證明嗎？

（學(xué)生再次陷入沉思）

師：看來大家遇到困難了，那老師做個實驗，其實實驗不是科學(xué)的專利，有時數(shù)學(xué)也可以做實驗.

師：問得好.現(xiàn)在還不能證明這個真命題，只能解釋.但以后可以證明，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有時就會遇到這種情形.這里老師欠大家一個“債”.

生（眾）：都笑了.

師：發(fā)現(xiàn)大家有個好習(xí)慣：敢于質(zhì)疑.質(zhì)疑是學(xué)習(xí)的好品質(zhì).有了剛才的探究經(jīng)歷，大家已經(jīng)有什么發(fā)現(xiàn)？

（學(xué)生展開熱烈討論）

生8：角度不變，比值不變；角度改變，比值改變.

師：很好.在直角三角形中，由推理可得：角度不變，比值不變；由歸納得出：角度改變，比值改變（投影顯示）.

設(shè)計意圖：通過數(shù)學(xué)猜想、實驗和幾何畫板動態(tài)演示，讓學(xué)生體驗觀察、歸納、猜想、證明（驗證）及探究過程，展開從特殊到一般的定量概括，加深學(xué)生對概念的理解，豐富學(xué)生的感性經(jīng)驗.在尋找變量、不變量的過程中，自然地出現(xiàn)了線段的比值，讓學(xué)生找出“比值”中的自變量、函數(shù)及對應(yīng)規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從特殊到一般、從具體到抽象的研究方法，這是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的基本方法.

3.類比聯(lián)想，形成新知

師：圖6的變化中，應(yīng)關(guān)注哪兩個變量？它們之間是什么關(guān)系？

圖6

師：你的回答太漂亮了，這種關(guān)系又是一種大家非常熟悉的什么關(guān)系？

（學(xué)生一時想不起來，有的說“對應(yīng)”，經(jīng)過糾正，終于有聲音說是“函數(shù)關(guān)系”）

師：銳角三角函數(shù)這個概念，有點復(fù)雜難記.這里老師稍微停一停，把這個概念稍加解釋（教師從銳角三角函數(shù)怎么讀、怎么寫、怎么理解三個方面進(jìn)行強(qiáng)調(diào)）.

師：如果把α看成直角三角形中的銳角A，那么銳角A的三角函數(shù)又可如下定義：

設(shè)計意圖：在探索比值的相關(guān)量的過程中，發(fā)現(xiàn)比值隨角度變化而變化，從而使學(xué)生初步形成銳角三角函數(shù)的概念，巧妙地把三角函數(shù)放在函數(shù)的概念體系中進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生體會了銳角三角函數(shù)產(chǎn)生的必要性．同時，學(xué)生經(jīng)歷了三角函數(shù)概念的形成過程．另外，教師充分考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，重點抓住學(xué)習(xí)正弦函數(shù)的概念這個主線，突破三角函數(shù)概念的難點后，再類比引出其余兩個，起到了事半功倍的效果．

圖7

4.典例學(xué)習(xí)，深化新知

師：大家在課堂上積極參與，使得知識的探究過程非常順暢．下面老師準(zhǔn)備了幾個問題，看看大家能否利用今天所學(xué)的知識解決它們．

例1 如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5.

（1）求∠A的正弦、余弦和正切的值.

師：由題意，可得AC是多少？

生（眾）：AC=12．

圖8

師：接下來請一位同學(xué)跟我合作一起來完成問題（1）．

（要求學(xué)生說出文字語言和符號語言，再說函數(shù)值，目的是讓學(xué)生再一次理解銳角三角函數(shù)的定義，教師板書）

師：剛才這位同學(xué)的回答完全正確．接著請大家各自完成問題.

（2）求∠B的正弦、余弦和正切的值（課件顯示）．

（教師巡視）

（學(xué)生回答，也要求先說出文字語言和符號語言，再說函數(shù)值，因為讀也是一個難點）

（課件顯示∠A、∠B的正弦、余弦和正切的值）

（3）觀察（1）（2）中的計算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么（課件顯示）？

（學(xué)生開始討論）

師：請你們把發(fā)現(xiàn)的結(jié)果讓大家一起分享，哪位先回答？

生10：sinA=cosB，cosA=sinB．

師：（板書學(xué)生的結(jié)果）很好，請坐（板書：∠A+∠B=90°）.其他同學(xué)還有不同的發(fā)現(xiàn)嗎？

生12：tanA與tanB是反過來的關(guān)系．

（大家都忍不住笑出聲來）

師：你再想一想，這兩個函數(shù)值的乘積是1，在數(shù)學(xué)中叫這種關(guān)系是……

生12：（經(jīng)過教師和同學(xué)們的提醒）是倒數(shù)關(guān)系．

師：對了（板書：tanA·tanB=1），在A、B互余的條件下是倒數(shù)關(guān)系．其實，這節(jié)課又一次運用觀察、歸納、猜想的途徑得到了一些重要結(jié)論，這些以后會很有用哦．但猜想的結(jié)論往往需要證明，希望大家課后去證明它們，相信你們會有收獲的．

例2 在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖9所示，則cosB=（ ）．

圖9

（有的選A，有的選B）

師：看來有兩種不同的意見，同意A的請舉手（數(shù)了一下有近三分之一），再請同意B的舉手（有一半左右），現(xiàn)在請選A答案的同學(xué)講一下理由．

師：下面再請選B答案的同學(xué)舉一下手．

（學(xué)生再次舉手，發(fā)現(xiàn)比原先的少了，教師叫其中一個舉手的站起來回答）

師（不站隊）：現(xiàn)在你們同意選A還是選B？

生（眾）：B．

師：看來大家已經(jīng)明白了．因為△ABC不是直角三角形，所以BC不是直角邊.通過這個問題的解決，應(yīng)明白這樣一個道理：大家求一個銳角的三角函數(shù)，一定要把這個角落實到直角三角形中．切記！切記！

設(shè)計意圖：給出直角三角形的邊，求正弦、余弦和正切的值，目的是讓學(xué)生掌握用定義解題的基本規(guī)范．教師在習(xí)題的選擇中應(yīng)注重典型性，讓學(xué)生充分地思考和討論，在思辨中明白求銳角三角函數(shù)往往要轉(zhuǎn)化到直角三角形中的重要性，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)歸納的過程，滲透轉(zhuǎn)化思想．

5．師生合作，盤點總結(jié)

師：不知不覺中，本節(jié)課即將結(jié)束，美好的探究之旅總是讓人回味，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程總是使人愉悅，變得睿智，請同學(xué)們根據(jù)以下三個問題回顧本節(jié)課的內(nèi)容．

（1）這節(jié)課學(xué)了一個什么函數(shù)概念？它與以前的函數(shù)概念有什么區(qū)別？

（2）在學(xué)習(xí)過程中再一次運用了什么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法？

（3）這節(jié)課中又一次體驗到哪些數(shù)學(xué)思想？

設(shè)計意圖：這樣的問題清單更有指向性，目的是引導(dǎo)學(xué)生梳理學(xué)習(xí)內(nèi)容，提煉學(xué)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)思想方法．

6．布置作業(yè)，課后延伸

書面作業(yè)：

教科書第6頁中的作業(yè)題（必做題）．

探究作業(yè)（選做）：

（1）對銳角α，請思考sinα、cosα、tanα的取值范圍是多少？

（2）試著解決課前的登山問題．

（3）談古論今，追根朔源——銳角三角函數(shù)的歷史研究．

設(shè)計意圖：設(shè)計彈性作業(yè)，照顧不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需要．一節(jié)課的結(jié)束，并不意味著學(xué)習(xí)的終結(jié)；作業(yè)的設(shè)計由課內(nèi)延伸到課外，是基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不斷提出問題、解決問題的過程，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不斷探究的過程，同時為以后的學(xué)習(xí)埋下伏筆.

四、教學(xué)思考

1．設(shè)計體現(xiàn)新理念，追求教學(xué)和諧

數(shù)學(xué)教學(xué)活動是師生積極參與、交往互動的過程．本節(jié)課教師通過設(shè)置登山的情景，引出三個問題，順著學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展順序，按照數(shù)學(xué)的邏輯順序，逐步展開探究活動，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考；通過溝通對話、交往互動，問題的答案逐一明晰，學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)概念的必要性變得非常自然．再通過例2的設(shè)計支撐，學(xué)生進(jìn)一步的質(zhì)疑反思、探究辨析，使教學(xué)的有效性得到保障，達(dá)到教與學(xué)和諧統(tǒng)一．

2．設(shè)計有側(cè)重的教學(xué)流程，突出過程孕育

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是抽象．抽象的道理要講，但要用一切辦法使它們看得見、摸得著、理得清．?dāng)?shù)學(xué)概念往往通過歸納、推理產(chǎn)生，因此概念的形成，需要過程孕育．函數(shù)概念是初中階段學(xué)生比較難理解的知識，銳角三角函數(shù)又有別于學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)，它的自變量是角度，函數(shù)是線段的比值；解析式的寫法也不一樣，并且有正弦、余弦和正切三個函數(shù)；讀法也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個障礙，導(dǎo)致以往學(xué)生對銳角三角函數(shù)一知半解．基于這種經(jīng)驗，這堂課，筆者把教學(xué)重點放在正弦銳角三角函數(shù)概念的形成過程上，再通過類比學(xué)習(xí)其余兩個函數(shù)，這樣從心理上減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力．在內(nèi)容設(shè)計上，課堂上用近一半的時間，圍繞三個方面展開：（1）角度改變，比值改變；（2）角度不變，比值不變；（3）誰是誰的函數(shù)．在活動的形式上，采用探究學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過觀察、思考、實驗及推理，慢慢孕育出正弦銳角三角函數(shù)．

3．設(shè)計凸顯數(shù)學(xué)思維學(xué)科的特點，借助推理催化

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，主要目的是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力，而推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式.初三學(xué)生在知識儲備和能力儲備上已經(jīng)具備這種學(xué)習(xí)的條件，初三階段教師過多地強(qiáng)調(diào)演繹推理，而輕視數(shù)學(xué)直觀．其實，數(shù)學(xué)知識的形成依賴直觀，數(shù)學(xué)知識的確立依賴于推理．本節(jié)課在解決“角度改變，比值改變；角度不變，比值不變”這兩個問題時，都是采用從特殊到一般的方式，充分調(diào)動學(xué)生的直覺思維；通過數(shù)形結(jié)合，運用合情推理與演繹推理共同催化的方式實現(xiàn)抽象與具體之間的轉(zhuǎn)變．

4．設(shè)計凸顯數(shù)學(xué)探究的特點，發(fā)揮雙重優(yōu)勢

努力發(fā)揮探究學(xué)習(xí)與接受學(xué)習(xí)的雙重優(yōu)勢，體現(xiàn)數(shù)學(xué)探究的特點．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程本身就是一個探究的過程，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要學(xué)生的積極參與、觀察、歸納、類比、聯(lián)想、演繹等．本節(jié)課教師通過設(shè)計一系列問題串，把教學(xué)過程變成不斷的提出問題、解決問題的探索過程，再通過溝通互動、激勵評價、質(zhì)疑辨析，使學(xué)生獲得知識的深層理解．教師在解讀銳角三角函數(shù)的概念時，講解銳角三角函數(shù)的名稱、讀法、書寫及由來；在盤點總結(jié)環(huán)節(jié)，教師總結(jié)學(xué)習(xí)方法，提煉數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生接受學(xué)習(xí)的優(yōu)勢得到發(fā)揮．