☉江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué) 朱建良
數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容,近幾年中考數(shù)學(xué)命題對(duì)學(xué)生建立模型,探究解決問(wèn)題的考查力度越來(lái)越大,此類(lèi)問(wèn)題一般通過(guò)建立模型,抓住問(wèn)題實(shí)質(zhì),遷移知識(shí)背景,在新的問(wèn)題情境中進(jìn)行數(shù)學(xué)再思考、再探究,要求學(xué)生會(huì)從不同角度尋求解決問(wèn)題的方法,通過(guò)研究此類(lèi)問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)思維的“再創(chuàng)新”過(guò)程中,拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野,幫助學(xué)生積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)和策略.為了更好地理解和處理這類(lèi)問(wèn)題,下面筆者嘗試分析一道試題,挖掘蘊(yùn)藏在這類(lèi)問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)思想及方法,供大家參考.
圖1
(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)C為雙曲線上任意一點(diǎn),作CD∥y軸交直線l1于點(diǎn)D,試求當(dāng)線段CD最短時(shí),點(diǎn)A、B、C、D圍成的四邊形面積.
(2)因?yàn)锳(-2,0),B(2,m),所以直線l2的解析式為y=-x-2.
過(guò)點(diǎn)B作BE∥y軸交AD于點(diǎn)E,則B(2,-4),E(2,2),BE=6.
所以S四邊形ABCD=S△ABE+S四邊形BEDC=23.
例1(2012年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)第27題)
實(shí)際應(yīng)用:已知某汽車(chē)的一次運(yùn)輸成本包含以下三個(gè)部分:一是固定費(fèi)用,共360元;二是燃油費(fèi),每千米為1.6元;三是折舊費(fèi),它與路程的平方成正比,比例系數(shù)為0.001.設(shè)該汽車(chē)一次運(yùn)輸?shù)穆烦虨閤千米,當(dāng)x為多少時(shí),該汽車(chē)平均每千米的運(yùn)輸成本最低?最低是多少元?
例2(2012年四川省達(dá)州市中考數(shù)學(xué)第21題)
提出新問(wèn)題:若矩形的面積為1,則該矩形的周長(zhǎng)有無(wú)最大值或最小值?若有,最大(?。┲凳嵌嗌??
x…1 1 1 4 3 2 1 2 3 4 …y
解:(1)填表如下:
x… 1 2 1 2 3 4 …y…81 1 1 4 3 2 62 3 5 4 5 62 3 81 2 …
圖1
系列探究問(wèn)題(例1)的設(shè)置是一種數(shù)學(xué)思維引導(dǎo),是在學(xué)生經(jīng)歷了思維過(guò)程,建立模型,在一定體會(huì)和感悟的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”,既有章可循,又有部分學(xué)生有感覺(jué)但又說(shuō)不出數(shù)學(xué)思想方法和解決問(wèn)題的策略.處于“學(xué)源于思,思源于疑”的境界,例2中問(wèn)題(3)面積最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段最值問(wèn)題的求法探究,幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)最值問(wèn)題本質(zhì)的理解,深化了數(shù)學(xué)對(duì)幾何圖形的轉(zhuǎn)化及最值問(wèn)題化歸為一個(gè)不等式基本模型的認(rèn)識(shí),通過(guò)有效設(shè)問(wèn),應(yīng)用圖像法或配方法另辟蹊徑,指引問(wèn)題解決,給學(xué)生思考的方向,解決周長(zhǎng)為1的矩形面積最大值問(wèn)題,在一般的解題思路的探索中凝成多種方法.建模的意義在于幫助學(xué)生明確了思考問(wèn)題的基本方向、基本程序和基本方法,合理引導(dǎo)幫助學(xué)生克服了認(rèn)知操作任務(wù)執(zhí)行中的困難,對(duì)比兩個(gè)試題,我們發(fā)現(xiàn)通過(guò)遷移知識(shí)背景系列設(shè)問(wèn),體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程和思維發(fā)展高價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng),探究了數(shù)學(xué)本質(zhì),激活了學(xué)生思維.
例1類(lèi)比母題建模探究,例2是母題的“關(guān)聯(lián)性開(kāi)發(fā)”,增強(qiáng)學(xué)生思維的“造血功能”,縱觀三個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題由直接應(yīng)用到變形應(yīng)用、實(shí)際運(yùn)用,問(wèn)題設(shè)置環(huán)環(huán)緊扣、層層推進(jìn),能夠使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展得淋漓盡致.在問(wèn)題的縱向拓展延伸和橫向遷移組合過(guò)程中有效滲透了數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合、化歸等思想,強(qiáng)化了遷移應(yīng)用意識(shí),在兩個(gè)問(wèn)題建模、類(lèi)比中,引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)建模、整合、創(chuàng)新、變式、尋找規(guī)律的過(guò)程中,讓學(xué)生感悟到一個(gè)基本不等式“舊貌變新顏”.例1與例2的兩個(gè)問(wèn)題類(lèi)比,打通數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系,有效訓(xùn)練了學(xué)生的類(lèi)比推理能力,明確了解決問(wèn)題的辦法,可從模型的角度獲取方法,也可數(shù)形結(jié)合畫(huà)出圖像感性認(rèn)識(shí),再?gòu)睦硇运伎寂浞角蠼?,拓寬學(xué)生視野,豐富了學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn),為指導(dǎo)學(xué)生以后自行探究解題方法有極其重要的意義.
看似相同的問(wèn)題試題加以類(lèi)比,找到它們的實(shí)質(zhì)區(qū)別,從基本問(wèn)題中抽象出基本不等式模型解決較為復(fù)雜的問(wèn)題,綜觀三個(gè)問(wèn)題,反思解題經(jīng)驗(yàn)與策略,我們發(fā)現(xiàn)從平面直角坐標(biāo)系的四邊形面積分割求最小值,到應(yīng)用問(wèn)題列出方程求解運(yùn)輸成本最低問(wèn)題,換角度審視矩形最大值問(wèn)題,不僅培養(yǎng)了學(xué)生思維的敏捷性,避免形成思維定勢(shì),例2較好地訓(xùn)練學(xué)生的想象力和數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性,強(qiáng)化了數(shù)形結(jié)合思想,而且能幫助學(xué)生樂(lè)于梳理,理清思路,學(xué)會(huì)歸納,加深對(duì)數(shù)學(xué)建模及圖像法、配方法的深刻理解,三個(gè)問(wèn)題的系列拓展變化,觸類(lèi)旁通,在解題方法共享中優(yōu)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,使學(xué)生的思考更有效,更縝密,較好地訓(xùn)練了靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的能力,充分發(fā)揮了中考試題的教學(xué)效能.