謝家文

軌跡是事物運動留下的痕跡，它稍縱即逝，但借助點線面把事物的運動軌跡連接起來，卻可以得到可視的形體，從廣義上說任何規(guī)則形體都是由點、線、面作一定運動的軌跡所形成。筆者從運動軌跡出發(fā)，以培養(yǎng)和提升學生的抽象思維能力為目標，提升學生對圖形的認識。下面就以《圓柱的認識》教學為例談一些嘗試與思考。

一、猜測運動軌跡，讓思維轉向，孕伏抽象思維

片段實錄一：

（以魔術話題導入，呈現長方形紙片，詢問學生是否相信通過魔力可以用這張紙創(chuàng)造立體圖形，當學生各種用動手操作的答案被教師否定，滿眼充滿疑惑眼神時，教師和學生出現下面的互動情形。）

師：老師把這個長方形，以寬為軸心，旋轉一周，你們閉上眼睛想象一下會成什么圖形？

生：（閉起眼睛想了一會兒，答案多元，但更多是圓柱。）

師：是什么圖形呢？請看大屏幕（多媒體演示一個長方形繞寬旋轉一周后得到一個圓柱）。

生：哦，圓柱也可以這樣得來（部分學生小聲說）。

生活中的圓柱常是一種靜止的幾何體，它外顯、直觀，但筆者卻不是直接呈現，而是繞著關子出現。首先通過魔術話題，去吸引學生，讓他們不但好奇，更重要的是集中注意力，然后適時拋出“一個長方形，以寬為軸心，旋轉一周，會成什么形？”讓學生去猜測和思考，這時抽象思維之門為學生打開，學生靜思默想之時，也是抽象思維訓練之時，隨后用多媒體演示其形成過程，不但驗證其猜測的正確與否，更把抽象過程用動畫顯現出來，也把學生腦中或零碎或不正確的想像過程或聯結或糾正過來了。抽象過程可視化了，培育了抽象思維。

思考：教師的教學方式，決定著學生的思維方向，圖形的認識，教師的常用教學方式是直接呈現直觀實物或聯系生活中的實物導入。這就把學生的思維方式引向了直觀動作思維，而采用猜測運動軌跡的方式，一是需要學生想象，二是想象時還要把運動過程進行聯結，抽象思維得到鍛煉不言而喻。更重要的是，學生的思維方式發(fā)生了轉向，在轉向中，孕伏著抽象思維。這樣，在接下來圖形的特征認識中，學生才更有可能往這方面去思考。其實在第二學段圖形的認識教學時，大多數圖形都可以往這方面進行嘗試，如長方體可以看成長方形平移而成，圓形可以看作一條線段繞一端點旋轉而成等?？傊畬W生的思維方式與教師給予學生的思維指向密切相關。

二、借用運動軌跡，予特征重塑，發(fā)展抽象思維

片段實錄二：

（擺出許多圓柱實物，讓學生充分觀察、操作、比較后提問圓柱的特征，并追問學生是通過什么方式感知到這些特征，面對學生答案基本上是通過觀察、操作、比較感知時，教師和學生出現下面的互動情形。）

師：如果你不用觀察、觸摸、比較，能用其它的方法解釋圓柱的特征嗎？

生：（沉默。）

師：回憶一下，剛上課時圓柱是怎么得來的？

生1：哦，我知道了，圓柱是由一個長方形繞著寬旋轉而來的，長方形的長就是上下兩個圓的半徑，所以上下兩個底面是同樣的圓形。

生2：我也知道了，圓柱的側面是由寬旋轉而成的，所以圓柱的側面是一個曲面。

生3：……

圓柱的特征，可以由學生通過觀察、觸摸、測量、比較等各種對實物的操作活動而得到，但筆者沒有局限于此，而是用“能用其它的方法解釋圓柱的特征嗎？”引起學生另類的深度思考，在學生想另僻蹊徑，而又無從下手之時，又拋出“回憶圓柱的由來”，學生自然而然會用運動軌跡去思考圓柱的特征，這樣學生擺脫了形象思維的束縛，而是用摸不著的抽象思維去重塑圓柱的特征，這里的特征感知同通過觸摸等各種活動得來的特征，完全是不在同一層次的思維之物。在圓柱特征得到重塑之時，抽象思維也得到進一步的發(fā)展。

思考：圖形的特征，是只要知道怎么樣，還是要知道為什么這樣呢？對于第二學段的學生來說顯然要達到第二層次。是通過觀察比較得知還是通過圖形內在的“機理”而悟，當然第二種方式更好，那是深一層的思維發(fā)現。而運用運動軌跡去探尋圖形的特征就是悟內在的“機理”，這樣的圖形特征不再是感性的，而是理性的，不但知道是什么，更知道為什么會成這樣？這樣相當于重塑圖形特征，重塑之時，也是學生抽象思維的發(fā)展之時。其實只要是規(guī)則圖形，它的特征都可以運用它的運動軌跡去解釋，如圓因為它是一條線段繞一端點旋轉而成，所以它的所有半徑會相等，只不過我們的教師是否意識到了？是否指引學生往這方面思考呢？

三、發(fā)展運動軌跡，促認識提高，提升抽象思維

片段實錄三：

師：課始，我們知道了，圓柱可以由一個長方形以一條寬為軸心，旋轉一周而得到。圓柱還可以通過其它方法而得到嗎？（大家閉起眼睛想一想。）

（生閉起眼睛想了一會兒。）

生1：可以看成一個圓，不斷向上或向下平移而成。

師：你真會想象，是這樣嗎？請看大屏幕。（多媒體演示這種情形。）

師：還有其它的方法嗎？

生2：看作一個長方形，圍繞長的中軸線，旋轉而成。

師：是這樣嗎？請看大屏幕。（多媒體演示這種情形。）

師：這時長是圓柱底面的什么？

生2：直徑。

師：還有嗎？

生：……

師：圓柱就是這么神奇，除了可以用紙等不同的材料制作出，還可以用不同的平面形體通過平移或旋轉而得來，這種過程是一種運動過程，需要我們用腦在想像中構建。

我們平時看到的圓柱，更多是實物體?？梢曋?，對第二學段的學生來講理解“通過材料怎么制作得來？”并不難，如果教學僅要求他們知道用材料制造圓柱的方法，就顯得有點膚淺，學生的思維得不到多大的發(fā)展。但筆者不滿足于此，要求學生從抽象的角度出來，想像它的另一翻得來，它是課始圓柱通過運動由來的進一步發(fā)展，需要學生的抽象思維，在圓柱的軌跡運動得到進一步發(fā)展之時，歷練了學生的抽象思維，抽象思想當然也得到了提升。

思考：當學生知道了圖形是由事物的運動軌跡得來的，思維的方向不一樣，思維的深度也不一樣，如果能讓學生從軌跡的角度去分析它的別樣來源，那么學生就要去掉物體的許多非本質性東西，抽象出本質性東西，這種認識是對圖形的高層次認識，同時也激活了學生的思維，這應該成為我們廣大教師的一種追求，所以要求學生從發(fā)展的角度去看待運動軌跡，去找尋不同的運動軌跡，開闊他們的視野，發(fā)展他們的思維。其實生活中許多規(guī)則物體都可以看成不同物體的不同運動軌跡，如圓柱還可以看成一個圓上下平移而成，圓還可以看成一條線段繞中點旋轉而成，等等。也就是說運動軌跡不是單一的，我們應該要求學生用發(fā)展的、變化的眼光去看待，以提升他們的抽象思維能力。

（責任編輯：陳志華）