趙琳

摘 要：2013年陜西高考數(shù)學(xué)第21題思考和探索，一題多解，思維多變.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用；壓軸題；構(gòu)造函數(shù)；數(shù)形結(jié)合；反函數(shù)；導(dǎo)數(shù)幾何意義

2013年陜西高考數(shù)學(xué)題的特點(diǎn)是：平凡中考能力，傳統(tǒng)中見(jiàn)新奇.題目整體難度適中，突出了對(duì)主體知識(shí)的考查，回歸課本基礎(chǔ)知識(shí)的意圖更加明顯，同時(shí)也有一些亮點(diǎn)，靈活性增強(qiáng)，新題型、改編題增多，選修題命題角度有所轉(zhuǎn)變.

認(rèn)真做完整套試題，最后一道題（第21題）讓我感受頗深，考查的知識(shí)點(diǎn)主要是導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用.這道題基礎(chǔ)與能力并重，第一問(wèn)較簡(jiǎn)單，考查了兩個(gè)比較基礎(chǔ)的知識(shí)：反函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義.第二問(wèn)較難，重在考查學(xué)生研究非基本初等函數(shù)性質(zhì)的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.第三問(wèn)屬于“拔尖”題型，題目要求比較兩個(gè)式子的大小，需要構(gòu)造函數(shù)，并且研究其性質(zhì)，要求比較高.整個(gè)題的確不負(fù)“壓軸”的重任，要求學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)要扎實(shí)，運(yùn)算要過(guò)關(guān)，思維要靈活，應(yīng)變能力要強(qiáng).題目雖難，但三問(wèn)之間并無(wú)聯(lián)系，可以獨(dú)立考查學(xué)生每部分知識(shí)，同時(shí)也給了學(xué)生得分的機(jī)會(huì).做完這道題，經(jīng)過(guò)仔細(xì)的思考，從不同入手點(diǎn)去挖掘這道題，我總結(jié)出一些不同的解題方法，展示出來(lái)，讓大家體會(huì)這道壓軸題的強(qiáng)大之處，欣賞數(shù)學(xué)思維的神奇和美妙之處.

題目：21.（本小題滿分14分）

點(diǎn)評(píng)：此方法較簡(jiǎn)單，通過(guò)除法，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)，其中函數(shù)y=的性質(zhì)可以借助導(dǎo)數(shù)工具，容易研究，再通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法比較直觀，易于接受.

點(diǎn)評(píng)：此法先求出特殊情況：兩函數(shù)相切時(shí)的m值.再數(shù)形結(jié)合，改變m值，使拋物線開口發(fā)生變化得出結(jié)論.此法易于理解，但比較巧妙，可能很多學(xué)生思維達(dá)不到.

（Ⅲ）解法一：可以證明>，

由圖可知，S梯形ABCD>S曲邊梯形ABCD

點(diǎn)評(píng)：解法一先得出結(jié)論再用分析法證明，解法二用到了求差法比較大小，兩種方法立意不同，但最后都無(wú)一例外地用到了構(gòu)造函數(shù)，研究其性質(zhì)，再回歸原題，構(gòu)造函數(shù)始終是難點(diǎn)，思維不夠靈活的學(xué)生做不下來(lái).解法三運(yùn)算量很小，并且簡(jiǎn)單直觀，但還是難在思維上，必須想到題中兩個(gè)代數(shù)式的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，還需要適當(dāng)?shù)刈冃?所以第三問(wèn)總體難度很大，思維要求高，運(yùn)算也要非常熟練.

通過(guò)對(duì)第21題的分析，我覺(jué)得在以后的數(shù)學(xué)高考備考過(guò)程中對(duì)待難題，不能輕言放棄，應(yīng)該對(duì)學(xué)生思維的靈活度和技巧的運(yùn)用加大訓(xùn)練，同時(shí)還要強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算能力，盡量讓學(xué)生在最后一道題上多拿分.

（作者單位 陜西省西安中學(xué)）