何龍

摘 要：作為解決實際應用問題的主要能力——建模能力也逐漸被高中數學教學所重視，對建模能力的研究日漸深入。這里以“貨幣時間價值模型”的建立為例，分析數學建模能力的三個層次，探討在高中教學中如何培養(yǎng)學生的數學建模能力。

關鍵詞：三個層次；培養(yǎng)；建模能力

高中數學教學加強應用能力的培養(yǎng)已獲得全社會的共識，教育部2003年頒布的《普通高中數學課程標準（實驗稿）》把發(fā)展學生的數學應用意識作為課程的基本理念之一，要求高中數學大力加強數學應用和聯(lián)系實際，增強學生的應用意識，擴展學生的視野。作為解決實際應用問題的主要能力——建模能力也逐漸被高中數學教學所重視，對建模能力的研究日漸深入。這里我們以“貨幣時間價值模型”的建立為例，分析數學建模能力的三個層次，探討在高中教學中如何培養(yǎng)學生的數學建模能力。

一、數學建模能力的三個層次

數學建模能力指對問題做相應的數學化，構建適當的數學模型，并對該模型求解返回到原問題中檢驗，最終將問題解決或作出解釋的能力。需要說明的是，問題可以是現實的應用問題，也可以是純數學問題；可以是常規(guī)，也可以是非常規(guī)的；可以是封閉的，也可以是開放的。荷蘭著名數學家漢斯·弗洛登塔爾認為，公理化、形式化以及模型化等這些發(fā)展數學的過程統(tǒng)稱為數學化，即數學化就是運用數學的思想方法來分析和研究客觀世界的種種現象，并加以整理和組織的過程。數學模型是現實世界當中某一類運動變化過程及結構，一種模擬性的數學結構，是對現實模型理想化，是一種科學的抽象過程。

為了探索數學建模能力的結構層次，我們設計了構建貨幣的時間價值模型逐層深入的3個問題在我校（地級市一中）的高一、高二、高三各選2個班級加以測試。

1.問題1：初始本金a元，年利率為x，試探求n年后本利和An公式。

高一年級2個班108人中正確導出復利公式（模型）有96人，正確率為88.8%。在課本沒有涉及金融投資知識，教師也沒有講過該公式的前提下，能有這么高的正確率出乎筆者的意料。通過座談發(fā)現一部分學生是通過課外閱讀記憶獲取該模型公式；另一部分人則通過存款觀察并通過對本問題思維運算獲得的。而沒有得出公式的學生既有語言理解能力上的不足，也有缺乏想象創(chuàng)造力的錯誤，當然也有數學抽象歸納能力上的欠缺。筆者認為數學建模能力是有結構層次的，初層結構是由觀察力、閱讀力、想象力、思維能力等基本能力組成，其中以思維能力為核心。

2.為了探索建模能力是否存在第二層次，對問題1進行深化處理得到問題2：如果利息不是一年結算一次，而是一年結算多次，初始本金a元，年利率為x，試探求n年后本利和Bn公式。

高二年級2個班111人中正確導出一年結算m次，有52人，正確率為46.8%。其中較為典型的解法是，首先對實際問題進行數學化處理，令利息一年結算m次，n年后共結算mn次，再進行建模解模的探析，聯(lián)想每年結算一次復利公式，得到初始猜想，在賦值上發(fā)現錯誤，對照有，從而將模型調整為，并由數學歸納證明結論正確。由此可以看出，正是在初層結構的基礎上，學生通過數學化達到構建模型和求解模型的，將實際問題歸結為數學模型，因而筆者認為數學建模能力有第二層次，即中層結構（具體能力層）問題的數學能力，建模解模的實踐能力。

3.為了繼續(xù)探求數學建模能力的結構層次，筆者對問題2進行抽象形式化處理得到問題3：試對問題2進行分析，從中你能得到什么樣的投資結論。

高三年級2個班109人，僅16人能基本回答正確，正確率約為14.7%，這從一定程度上說明當前的高中學生缺乏應用問題的訓練，尤其是問題的數學模型不止一個時就會束手無策，教學中應加大數學建模培養(yǎng)力度。典型的解法是立足于問題2的模型，又構建了問題的新模型——二項式模型，展開

通過逐項比較不難得出，即ym隨m單調遞增，又得到結論：m越大，越大，即每年結算利息的次數越多，銀行付出的本利和越多，對儲戶越有利（銀行應避免該狀況發(fā)生）。學生對上述問題的解決是在中層結構基礎上，交叉運用了邏輯思維和運算分析最終上升為一種問題解決的綜合能力。這應該是數學建模能力的歸宿——高層次結構。

二、從三個層次在高中數學教學中培養(yǎng)學生的數學建模能力

1.既然數學建模能力基礎（初層）是由諸多能力因素構成的，因此日常教學中就要有意識地進行針對性的滲透培養(yǎng)。構建系列有相當針對性的現實應用問題供建模教學使用，當然問題一方面要體現建模過程的特點，即問題的數學化，抽象簡化，建模求解，檢驗修改（循環(huán)迭代）的過程；另一方面要避免傳統(tǒng)文字應用題的通病——已將數學化過程甚至建模過程完成，問題不含多余干擾信息，條件不多不少，目標指向清楚，只需設出未知數列等式或不等式就可得到問題的解。

我們仍以“貨幣時間價值模型”為例，教學中通過下面系列問題訓練是培養(yǎng)學生的數學建模能力的基礎。

（1）以每股8.15元購進股票10萬股，一年后以9.05元拋售，該年銀行月利率為0.2%，按月計算得利，請判斷該投資行為是否合理？

（2）某人將全年固定收入的結余部分，每年年終存入銀行，銀行年利率為3.8%（計復利），計劃五年后不再工作，而儲蓄所得利息恰等于現在每年的開支，問所存金額為其年收入的百分比。

（3）某人年初向建行貸款20萬用于購房，年利率為7%，按復利計算，若這筆貸款分15次等額歸還，每年還1次，15年還清并以貸款后次年初開始歸還，問每年應還多少錢？

（4）某公司為了增加流動資金推出新的促銷方式，將原售價50萬元的房產用新方式出售，即該公司與買方簽訂有銀行擔保的書面合同，買方一次性支付該公司60萬元，不但能得到房產權，而且該公司履行滿15年一次性返還買方60萬元，試問買方的在新的促銷方式中可少支付多少萬元，按銀行五年期存款的年利率為5%作計算基準，15年可以連續(xù)存三個五年期。

需要注意：數學建模中的模型背景要盡量簡化，專業(yè)術語要較少，問題要有趣味性，應易激發(fā)學生的好奇心和興趣，利于學生主體參與和創(chuàng)造意識的培養(yǎng)?，F行課本中有許多現成模型需要挖掘重視，如，等比數列求和公式（上述問題中有諸多涉及），只要教學中充分挖潛，作不同的導向，就可演變成一個好的建模問題，這是建模教學中寶貴的問題源，要高度重視。

2.應該承認數學建模能力中層結構的地位是決定性的，它既聯(lián)系著初層結構，又影響高層次結構的完成，教學處理極為關鍵。筆者認為在教學中應注意兩個方面：（1）突破閱讀理解關?，F實應用問題的數學化和建模過程取決于學生能通過閱讀理解將文字語言轉化為數學符號語言，用數學式子表達數量關系并自覺將應用問題的數學化過程按理解的深度與廣度結合體的感覺、知覺、記憶、思維等特點，組成一個具有內部規(guī)律的整體——應用問題的認知結構時才能合理完成。這里閱讀理解往往在很大程度上制約數學化的過程。美國閱讀心理學家史密斯認為閱讀心理有四個逐步深入的層次——字面的理解、解釋、批判性閱讀、創(chuàng)造性閱讀，這里實質也是數學建模能力培養(yǎng)的一個組成部分，教學中要培養(yǎng)學生具有較高的閱讀聯(lián)想、閱讀思維、閱讀情感素質。（2）加強學生的運算（特別是近似計算）能力的培養(yǎng)。構建模型帶有很大的靈活性和實用性，需要較高的運算素養(yǎng)。教學中應力戒將問題的模型構建完畢就不屑一顧的做法，對學生而言有時候解模往往會力不從心。例如，對前面列舉的問題3，有學生這樣獲取模型：設貸款b，每年等額歸還a元，第一年后欠款b-a，第二年后欠款，第15年后欠款。筆者在高二年級2個班111人中能正確運算得到結果只72人，不能合理運算已阻礙學生建模能力的形成，教學中要下大力氣突破。

3.數學建模能力的終極是一種綜合的問題解決能力，因而建模教學中要注重學生思維活動的發(fā)散性和創(chuàng)造性的培養(yǎng)，促進學生在同化——順應的整合過程中形成合理的新建模結構，突出學生的多種思維指向作用，而不是一味地納入教師的思維框架中，避免抑制學生建模能力中創(chuàng)造能力與主體意識的培養(yǎng)。由于建模能力形成的長周期和培養(yǎng)點為多角度、多渠道、多觀點、多層次，尋求建模能力的解決點，以完成知識為載體、思維為核心、能力為體現的三者和諧統(tǒng)一。例如，從問題1出發(fā)鼓勵學生思維觸角立體式搜索，完成問題（1）～（4）的解決，并可將問題遷移到債券的價值問題得到系列模型：設n年期債券，存款年息利率為x，每年付利息a元，面值為A元，則債券價值為Y=a+A，其中，為使債券面值與現值一建立數學模型不完全是為了解決模型的原問題，更有意義的還在于解決具有原型特征的其他許多實際問題，例如上述模型，我們可以建設性解決以下幾類問題：現值Y、利率x、面值A的確定等，這樣教學才會有利于學生形成建模能力的最高層次。

數學建模能力的結構層次是相互聯(lián)系的，下層為上層基礎的同一體，層次上有時不能絕對區(qū)分，是相互滲透的，但只有搞清楚數學建模能力的結構層次，教學中才能有的放矢地培養(yǎng)，學生的數學建模能力才能從本質上得到提高。

參考文獻：

[1]鄭慶全，汪文龍，田玉杰.數學與數學建模：培養(yǎng)創(chuàng)新能力的內容載體和實踐載體.數學教學研究，2010（12）.

[2]葉其孝.中學數學建模.湖南教育出版社，1998-09.

（作者單位 福建省南平第一中學）