許娜

“說數(shù)學(xué)”是指教師在課堂上創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)讓學(xué)生介紹解題思路、總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表自己對(duì)數(shù)學(xué)問題的不同見解.“說數(shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)交流的重要形式之一，它包含“說知識(shí)”“說過程”“說異見”和“說體會(huì)”四個(gè)環(huán)節(jié).本文以《等差數(shù)列復(fù)習(xí)》一課為例，淺析“說數(shù)學(xué)”理念在復(fù)習(xí)課的重要意義.

課堂教學(xué)過程簡(jiǎn)述

《等差數(shù)列復(fù)習(xí)》這一課的內(nèi)容安排：①知識(shí)梳理，包括等差數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，簡(jiǎn)單的性質(zhì)等；②基礎(chǔ)訓(xùn)練，主要是關(guān)于a1，d，n，an，sn的計(jì)算問題，目的是熟悉公式，體會(huì)方程思想的應(yīng)用以及訓(xùn)練計(jì)算速度；③題型示例，設(shè)計(jì)以下兩個(gè)例題：

例1：已知an是等差數(shù)列，其中a1=31，公差d=-8.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并作出它的圖像；（2）數(shù)列an從哪一項(xiàng)開始小于0？（3）求數(shù)列an前n項(xiàng)和的最大值，并求出對(duì)應(yīng)n的值.

本例題的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生從解析式的形式和圖像兩方面體會(huì)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，使學(xué)生理解數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，學(xué)會(huì)用函數(shù)的思想解決數(shù)列問題.

例2：已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，公差d>0，且滿足a2a3=45，a1+a4=14.（1）求數(shù)列an的公差d 的值；（2）令bn=■，若數(shù)列bn也是等差數(shù)列，求非零常數(shù)c的值.

本例題的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生理解等差數(shù)列的概念，經(jīng)歷由一般到特殊的演繹推理過程，培養(yǎng)邏輯思維能力.

例題教學(xué)普遍采用講練結(jié)合模式，即學(xué)生先做，再由教師講解思路，學(xué)生再進(jìn)行鞏固訓(xùn)練.而“說數(shù)學(xué)”的模式，則是學(xué)生先做題，再由學(xué)生上臺(tái)展示解題思路及書寫過程，然后由學(xué)生總結(jié)知識(shí)點(diǎn)和解題方法.教師的作用是組織、引導(dǎo)和評(píng)價(jià).以下是學(xué)生“說數(shù)學(xué)”的過程記錄：

學(xué)生A投影了例1的解題過程，并簡(jiǎn)單講了解題思路：“由于首項(xiàng)和公差已知，直接代入公式就得到通項(xiàng)了.作出圖形是這樣的一些點(diǎn)（指出他作的圖形）.”我對(duì)學(xué)生A提出問題：“你描的這些點(diǎn)是散亂無章的嗎？有規(guī)律嗎？”A生答：“這些點(diǎn)都在直線y=-8x+39上.”我繼續(xù)追問：“那你為什么不把這些點(diǎn)連成直線呢？”A生遲疑片刻，很肯定地說：“不能連成直線，因?yàn)閚的取值是正整數(shù)，圖像不是連續(xù)的！”臺(tái)下的學(xué)生，有不少是把圖像畫成直線的，這時(shí)都“恍然大悟”.于是我及時(shí)給予了A 肯定的評(píng)價(jià)：“很好！A同學(xué)充分理解了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的聯(lián)系，注意到了數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，他的解答是完全正確的.”A生繼續(xù)講解第（2）小題：“由圖像上我們可以看到，這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)都是正的，從第5項(xiàng)開始就變成負(fù)數(shù)了，那么它的和應(yīng)該從第5項(xiàng)開始變小了，所以S4是最大的，最大值是76.”我對(duì)A 生評(píng)價(jià)：“你的想法很有道理，表達(dá)得也很清楚，大家都聽懂了.但我有個(gè)疑問，如果沒有作圖，這道題該怎么解呢？”A生想了想說：“主要是找出從哪一項(xiàng)開始，項(xiàng)變成了負(fù)數(shù)，可以令an<0，解不等式解出n來！”我更進(jìn)一步：“你能否總結(jié)一下一般性的解題方法？”A生感到困難，停頓下來，有點(diǎn)不知所措.臺(tái)下的學(xué)生議論聲更大了.稍后我進(jìn)一步啟發(fā)：“對(duì)一個(gè)等差數(shù)列來說，它具備怎樣的性質(zhì)，它的前n項(xiàng)和才有最大值呢？”臺(tái)下學(xué)生搶答：“數(shù)列是遞減的！”A生補(bǔ)充：“d<0.”“很好！那么我們?cè)鯓诱业绞筍n取最大值的那一項(xiàng)？怎樣用式子表示？”A生：“如果an≥0，an+1<0，那么第n項(xiàng)就是使Sn取最大值的那一項(xiàng).”“非常好！那么對(duì)于Sn取最小值的情況，你也可以總結(jié)出來了吧？”A生很有信心地說：“如果d>0，數(shù)列是遞增的，若an≤0，an+1>0，則第n項(xiàng)是使Sn取最小值的那一項(xiàng).”A生的回答非常準(zhǔn)確，而且與剛上臺(tái)相比，他的自信心有了很大提高，語言表達(dá)非常流暢.臺(tái)下的學(xué)生自發(fā)為他鼓掌.我對(duì)A生的表現(xiàn)給予了中肯的的評(píng)價(jià)，請(qǐng)他回到座位.至此，這道題已經(jīng)解完，并且由學(xué)生自己總結(jié)出了解題方法，效果不錯(cuò).但是，“說數(shù)學(xué)”的環(huán)節(jié)并沒有結(jié)束，我的教學(xué)目標(biāo)也還沒完全達(dá)到.接下來，我鼓勵(lì)學(xué)生提供不同的解題方法，然后從知識(shí)和方法兩方面來給這道題做個(gè)小結(jié).B生考慮了一會(huì)，結(jié)結(jié)巴巴地說：“這道題涉及到的知識(shí)有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像等，方法、第（2）題方法，我的方法是利用二次函數(shù)的性質(zhì).”雖然他講的不是十分全面，但畢竟邁出了第一步，我大力地表?yè)P(yáng)了他，希望他得到鼓勵(lì)，逐漸學(xué)會(huì)并習(xí)慣于自我總結(jié)與反思.以上的教學(xué)過程，基本實(shí)施了“說數(shù)學(xué)”的四個(gè)環(huán)節(jié)——說知識(shí)、說過程、說異見、說體會(huì).在學(xué)生說的過程中，教師注重啟發(fā)，注重評(píng)價(jià)，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情被激發(fā)，在例2時(shí)有更積極主動(dòng)的表現(xiàn).

以下是例2的“說數(shù)學(xué)”過程：

學(xué)生C：在等差數(shù)列an中，a1+a4=a2+a3=14，又已知a2a3=45，那么a2、a3可看作方程x2-14x+45=0的兩根，容易解出a2=5，a3=9或a2=9，a3=5.題目條件有d>0，所以應(yīng)取a2=5，a3=9由此可得d=4.第（2）問我們可以先求Sn，由d=4，可求得a1=1，因此Sn=na1+■d=2n2-n，那么bn=■，如果bn是等差數(shù)列，那bn應(yīng)該是一次函數(shù)，所以將bn變形為bn=■，觀察可知當(dāng)c=-■時(shí)，bn是等差數(shù)列.

教師：C同學(xué)的講解非常清楚，解題過程的書寫也很規(guī)范，對(duì)于第（1）問，他的解法巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，使得計(jì)算過程很簡(jiǎn)便.但是我觀察到第（2）問你的解答過程有涂改的痕跡，你能跟大家說說是怎么回事嗎？

學(xué)生C：我一開始想用2bn= bn-1+bn+1來計(jì)算c，代進(jìn)去發(fā)現(xiàn)太復(fù)雜了，所以放棄了.

教師：很好，C同學(xué)在思路受阻的時(shí)候懂得另辟蹊徑，從函數(shù)的角度去研究這個(gè)問題，說明他很有鉆研精神，而且思維很活躍.那么，對(duì)于他現(xiàn)在的思路，你們認(rèn)同嗎？

很多學(xué)生露出懷疑的表情，議論紛紛，我請(qǐng)學(xué)生D發(fā)表看法.

學(xué)生D：我覺得他的做法有道理，但是好像不太全面，c會(huì)不會(huì)有其它取值呢？

教師：D同學(xué)的問題提得太棒了！c=-■是觀察出來的，它只是bn為等差數(shù)列的一個(gè)充分條件，c還有別的取值嗎？你們有辦法解決這個(gè)問題嗎？

學(xué)生E主動(dòng)要求上講臺(tái)講解，由于還沒來得及把過程寫在學(xué)案上，E生要求板書.

學(xué)生E：如果bn是等差數(shù)列，那么必定有2b2=b1+b3，這是它的必要條件，這樣求出來的c肯定正確.并且這個(gè)式子很簡(jiǎn)單，很容易求.

教師：E同學(xué)的想法非常好，他用特殊代替一般，使計(jì)算得以實(shí)施，求出了c值，這個(gè)c值不會(huì)有遺漏.但是他說這樣求出的c“肯定正確”，你們認(rèn)同嗎？

學(xué)生F：他剛才說這是bn為等差數(shù)列的必要條件，對(duì)b1、b2、b3是成立的，那能說明對(duì)所有的正整數(shù)都成立嗎？

教師：很好！F同學(xué)想得很周到，這個(gè)問題怎么解決呢？

多名學(xué)生：證明bn是等差數(shù)列！

教師：對(duì)！通過證明，我們就能保證“當(dāng)c=-■時(shí)，bn是等差數(shù)列”這個(gè)命題的正確性.下面，請(qǐng)同學(xué)們把這道題的完整的解題過程寫在學(xué)案上.

（證明過程略）

案例分析

1. “說數(shù)學(xué)”有助于復(fù)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成

本節(jié)課由于給了較多的時(shí)間給學(xué)生展示、質(zhì)疑、交流，只完成了一組基礎(chǔ)訓(xùn)練題和兩道例題，從傳統(tǒng)意義上講，似乎容量不足.但這一組習(xí)題、兩道例題所涉及的知識(shí)基本覆蓋了本節(jié)所要掌握的重要知識(shí)點(diǎn)，而解決方法則體現(xiàn)了本節(jié)最重要的數(shù)學(xué)思想——方程思想和函數(shù)思想.學(xué)生對(duì)這些知識(shí)和思想方法掌握得如何呢？在“說知識(shí)”的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了腦中歸納整理和口頭表達(dá)的過程，對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)印象深刻.而思想方法，是學(xué)生自己在解題過程中先體會(huì)，再在教師引導(dǎo)幫助下總結(jié)并用語言表達(dá)出來.建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論提出“學(xué)生要成為意義的主動(dòng)建構(gòu)者”，因此思想方法不是教師灌輸?shù)?，?yīng)是學(xué)生自己的體會(huì).教師的作用是幫助他們將腦海中模糊的概念清晰化，形成文字或語言，使之能進(jìn)行交流和共享.本節(jié)課的“說數(shù)學(xué)”各環(huán)節(jié)，正是基于這樣的目的來設(shè)計(jì).因此，盡管這節(jié)課花的時(shí)間多，做的題不多，但是復(fù)習(xí)目標(biāo)達(dá)成度高，復(fù)習(xí)效果較好.

2.“說數(shù)學(xué)”有助于教學(xué)信息的及時(shí)反饋

“說數(shù)學(xué)”的方式，使學(xué)生有一個(gè)展示自己的平臺(tái)，通過投影作品和口頭講解，他們的思維過程完全暴露出來.這種及時(shí)、快速的信息反饋，無論對(duì)教師還是對(duì)其他學(xué)生，都意義非凡.對(duì)臺(tái)下學(xué)生來說，了解其他同學(xué)的想法，對(duì)自己是一種啟發(fā).同時(shí)，因?yàn)榕_(tái)上講解的是自己的同學(xué)，不是權(quán)威人物，使得他們更有質(zhì)疑的興趣.這種質(zhì)疑，成為了他們積極思考的動(dòng)力.對(duì)教師而言，及時(shí)地了解才能“對(duì)癥下藥”.下一步的教學(xué)策略怎么調(diào)整，怎么啟發(fā)，怎么設(shè)計(jì)問題，都建立在學(xué)生的信息反饋上.本節(jié)課例2的教學(xué)過程中，學(xué)生C的第（2）問的解答思路是我沒有預(yù)計(jì)到的，如果沒有學(xué)生C的展示，我不會(huì)知道其實(shí)很多學(xué)生都是這種做法，也就不會(huì)有后面的質(zhì)疑和辨析.

責(zé)任編輯羅峰